Zentral¨ubung 16.05.2019: Regul¨are Ausdr¨ucke, Anwenden des Pumping-Lemmas

Formale Sprachen und Komplexit¨at

Sommersemester 2019

Zentral¨ ubung 16.05.2019:

Regul¨ are Ausdr¨ ucke,

Anwenden des Pumping-Lemmas

Prof. Dr. David Sabel

LFE Theoretische Informatik

Letzte ¨Anderung der Folien: 16. Mai 2019

Aufgabe

Geben Sie regul¨are Ausdr¨ucke f¨ur jede der folgenden formalen Sprachen an, die genau die jeweilige formale Sprache erzeugen:

a) {u∈ {a, b}^∗ | |u|= 4} (a|b)(a|b)(a|b)(a|b)

b) {u∈ {a, b}^∗ | |u| ≤4} (ε|a|b)(ε|a|b)(ε|a|b)(ε|a|b) oder (ε|(a|b) |(a|b)(a|b)|(a|b)(a|b)(a|b)|(a|b)(a|b)(a|b)(a|b)) c) {u∈ {a, b}^∗ | |u| ≥4} (a|b)(a|b)(a|b)(a|b)(a|b)^∗ d) {u∈ {a, b}^∗ |u enth¨alt nichtbbbbals Teilwort}

(ε|b|bb|bbb)(a|ab|abb|abbb)^∗ oder(a|ba|bba|bbba)^∗(ε|b|bb|bbb)

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Daten

Geben Sie einen regul¨aren Ausdruck an, der die Sprache aller g¨ultigen Daten im Format TT-MM-JJJJ erzeugt, außer den 29.

Februar f¨ur Schaltjahre.

( (((0(1|...|9))|1(0|...|9)|2(0|...|8))(0(1|...|9))|1(0|1|2))

|29(01|03|04|05|06|07|08|09|10|11|12)

|30(01|03|04|05|06|07|08|09|10|11|12)

|31(01|03|05|07|08|10|12) )

(0|...|9)(0|...|9)(0|...|9)(0|...|9)

Aufgabe: Regul¨ arer Ausdruck → Endlicher Automat

Konstruieren Sie mit dem Verfahren aus der Vorlesung einen NFA mitε- ¨Uberg¨angen und eindeutigen Start- und Endzust¨anden, der als Sprache genau die durch den regul¨aren Ausdruck

ba(b|c)^∗ erzeugte Sprache akzeptiert.

b a

b

c ε

ε

ε ε

ε ε ε

ε ε

DFA → regul¨ arer Ausdruck

Wesentliche Ideen: Seien {z₁, . . . , z_n} die Zust¨ande des DFA, konstruiere regul¨are Ausdr¨ucke α^k_i,j:

α^k_i,j repr¨asentiert alle Worte, mit denen man im DFA vonz_i zu z_j kommt, ohne als Zwischenzustand einz_r zu besuchen, mitr > k.

α⁰_i,i ist(ε|a₁|. . .|a_m)f¨ur alle a_x ∈Σmitδ(z_i, a_x) =z_i

α⁰_i,j ist entweder (a₁|. . .|a_m) f¨ur allea_x∈Σmitδ(z_i, a_x) =z_j oder

∅ (falls es kein solchesa_x gibt)

α^k+1_i,j =α^k_i,j |α^k_i,k+1(α^k_k+1,k+1)^∗α^k_k+1,j

Sei z₁ der Startzustand undz_l, z_l+1, . . . , z_q die Endzust¨ande. Dann istαⁿ_1,l|. . .|αⁿ_1,q der zum DFA passende regul¨are Ausdruck.

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Beispiel

z1 z5

z3

z2

z4

a a

b b b

a

b a, b

a, b

Durch Hinschauen?

z.B.aa(baa)^∗a

Durch Kleene’s Konstruktion (ange- deutet und mit Hinschauen)

Wir brauchenα⁵_1,2:

α⁵_1,2 = α⁴_1,2|α_1,5⁴ (α⁴_5,5)^∗α_5,2⁴

= ∅|α⁴_1,5(α⁴_5,5)^∗α⁴_5,2

= α⁴_1,5(α⁴_5,5)^∗α⁴_5,2

= a(ε|aba)^∗aa

= a(aba)^∗aa(Vereinfachung) α⁴_1,2 = ∅ (durch Hinschauen, jeder Weg

vonz₁ zuz₂mussz₅benutzen) α⁴_1,5 = a (durch Hinschauen, Schleife

l¨auft ¨uberz₅: geht nicht) α⁴_5,5 = ε|aba (weitere Schleifen laufen

durch z₅: geht nicht) α⁴_5,2 = aa (durch Hinschauen, Schleife

l¨auft ¨uberz₅: geht nicht)

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Anwendung des Pumping-Lemmas

Pumping-Lemma:

Sprache regul¨ar =⇒ Sprache erf¨ullt die Pumping-Eigenschaft Zeige, dass eine Sprache nicht regul¨ar ist, durch Kontraposition:

Sprache erf¨ullt nichtdie Pumping-Eigenschaft

=⇒ Sprache ist nichtregul¨ar

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Erf¨ ullt / erf¨ ullt nicht die Pumping-Eigenschaft

Formale Sprache L erf¨ullt die Pumping-Eigenschaft Es gibt eine Zahln∈N>0, sodass jedesWort z∈L, welches Mindestl¨ange nhat (d.h. |z| ≥n), als z=uvw geschrieben werden kann, so dass gilt:

|uv| ≤n

|v| ≥1

f¨ur alle i≥0:uvⁱw∈L.

Formale Sprache L erf¨ulltnicht die Pumping-Eigenschaft:

F¨urjede Zahln∈N>0 gibt esein Wortz∈L mit|z| ≥n, sodass f¨ur jedeZerlegungz=uvw mit

|uv| ≤nund

|v| ≥1

ein i≥0existiert mituvⁱw6∈L.

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Anwendung des Pumping-Lemmas

Pumping-Lemma:

Sprache regul¨ar =⇒ Sprache erf¨ullt die Pumping-Eigenschaft Zeige, dass eine Sprache nicht regul¨ar ist, durch Kontraposition:

Sprache erf¨ullt nichtdie Pumping-Eigenschaft

=⇒ Sprache ist nichtregul¨ar Formale Sprache L erf¨ullt nichtdie Pumping-Eigenschaft:

F¨ur jedeZahln∈N>0 gibt esein Wortz∈L mit|z| ≥n, sodass f¨urjede Zerlegungz=uvw mit

|uv| ≤nund

|v| ≥1

ein i≥0 existiertmituvⁱw6∈L.

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Beispiel

Aufgabe

Zeigen Sie:L={a^jb^j|j∈N}ist nicht regul¨ar.

Korrekter Beweis:

1 Die Zahln∈N>0sei beliebig gew¨ahlt (

”vom Gegner“) Sein∈N>0vom Gegner gew¨ahlt

2 W¨ahle ein Wortz∈Lmit|z| ≥n(wir suchen aus) Wir w¨ahlenz=aⁿbⁿ∈L.

3 Seiz=uvw beliebige Zerlegung mit|uv| ≤n,|v| ≥1(

”vom Gegner“) Seizzerlegt inz=uvw mit|uv| ≤nund|v| ≥1

4 F¨ur jede solche Zerlegung gebe eini∈Nan mituvⁱw6∈L(wir suchen aus) Dann istu=a^j v=a^k undw=a^lbⁿ mitk >0,j+k+l=nund damit f¨uri= 0:uvⁱw=aⁿ⁻¹bⁿ6∈L

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Beispiel: Finde den Fehler

Sei L={aⁿaⁿ|n∈N}.

Behauptung L ist nicht regul¨ar.

Beweis mit dem Pumping-Lemma:

Sein∈N>0 beliebig.

Wir w¨ahlenz=aⁿaⁿ∈L.

Seiz=uvw mit|uv| ≤nundv≤1 eine Zerlegung vonz.

Dann istu=a^d,v=a^e, und w=a^n+n−d−e und e >1, d+e≤n. Dann ist uv⁰w=a^n−eaⁿ6∈L.

D.h. das Pumping-Lemma zeigt, dass Lnicht regul¨ar ist.

Beachte: List regul¨ar, z.B. wirdL durch den regul¨aren Ausdruck (aa)^∗ erzeugt!!!

Beispiel: L erf¨ ullt die Pumping-Eigenschaft

Satz

L={aⁿaⁿ|n∈N} erf¨ullt die Pumping-Eigenschaft Beweis:

Sei n= 2.

Sei z∈Lmit|z| ≥n.

Wir zerlegenz=uvw mitu=ε,v=z[1]z[2],w der Suffix von zohne die ersten beiden Buchstaben.

Da z∈L, istz=a^ja^j und dann gilt:v=aa,w=a^j−1a^j−1. Daher gilt auch: uvⁱw=aⁱaⁱa^j−1a^j−1=a^i+j−1a^i+j−1∈L f¨ur alle i∈N.

Aufgabe

Zeigen Sie mit dem Pumping-Lemma, dass die folgenden Sprachen nicht regul¨ar sind:

L₁={w∈ {a, b}^∗ |#_a(w) = #_b(w)}

L₂={aⁿbbc^m |n, m∈N, m > n}

L₃={aⁿ$aⁿ|n∈N}

L₄={w∈ {a, b}^∗ | |w|=n² mitn∈N}

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Satz

L1={w∈ {a, b}^∗|#a(w) = #b(w)} ist nicht regul¨ar.

Beweis:

1 Die Zahln∈N^>0sei beliebig gew¨ahlt (

”vom Gegner“).

Sein∈N^>0beliebig.

2 W¨ahle ein Wortz∈L1mit |z| ≥n(wir suchen aus) Seiz=aⁿbⁿ(dann giltz∈L1und|z| ≥n)

3 Seiz=uvw beliebige Zerlegung mit|uv| ≤n,|v| ≥1(

”vom Gegner“) Seiz=uvw mit|uv| ≤n,|v| ≥1eine Zerlegung vonz.

4 F¨ur jede solche Zerlegung gebe eini∈Nan mituvⁱw6∈L1(wir suchen aus) Da|uv| ≤nund|v|>0giltv=a^kmitk >0und daher

uv⁰w=a^n−kbⁿ6∈L1(d.h. f¨uri= 0giltuvⁱw6∈L1)

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Satz

L2={aⁿbbc^m|n, m∈N, m > n} ist nicht regul¨ar.

Beweis:

1 Die Zahln∈N>0sei beliebig gew¨ahlt (

”vom Gegner“).

Sein∈N>0beliebig.

2 W¨ahle ein Wortz∈L2mit|z| ≥n(wir suchen aus) Seiz=aⁿbbcⁿ⁺¹ (dann giltz∈L2und|z| ≥n)

3 Seiz=uvwbeliebige Zerlegung mit|uv| ≤n,|v| ≥1(

”vom Gegner“) Seiz=uvwmit|uv| ≤n,|v| ≥1eine Zerlegung von z.

4 F¨ur jede solche Zerlegung gebe eini∈Nan mituvⁱw6∈L2(wir suchen aus) Da|uv| ≤nund|v|>0giltv=a^k mitk >0und daher

uv³w=a^n+2kbbcⁿ⁺¹6∈L2(d.h. f¨uri= 3giltuvⁱw6∈L2)

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Satz

L3={aⁿ$aⁿ|n∈N}ist nicht regul¨ar.

Beweis:

1 Die Zahln∈N>0sei beliebig gew¨ahlt (

”vom Gegner“).

Sein∈N>0beliebig.

2 W¨ahle ein Wortz∈L3mit |z| ≥n(wir suchen aus) Seiz=aⁿ$aⁿ (dann giltz∈L3 und|z| ≥n)

3 Seiz=uvw beliebige Zerlegung mit|uv| ≤n,|v| ≥1(

”vom Gegner“) Seiz=uvw mit|uv| ≤n,|v| ≥1eine Zerlegung vonz.

4 F¨ur jede solche Zerlegung gebe eini∈Nan mituvⁱw6∈L3(wir suchen aus) Da|uv| ≤nund|v|>0giltv=a^kmitk >0und daher

uv⁰w=a^n−k$aⁿ6∈L3(d.h. f¨uri= 0giltuvⁱw6∈L3)

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Satz

L4={w∈ {a, b}^∗| |w|=n²mitn∈N} ist nicht regul¨ar.

Beweis:

1 Die Zahln∈N^>0sei beliebig gew¨ahlt (

”vom Gegner“).

Sein∈N^>0beliebig.

2 W¨ahle ein Wortz∈L4mit|z| ≥n(wir suchen aus) Seiz=aⁿ² (dann giltz∈L4und|z| ≥n)

3 Seiz=uvwbeliebige Zerlegung mit|uv| ≤n,|v| ≥1(

”vom Gegner“) Seiz=uvwmit|uv| ≤n,|v| ≥1eine Zerlegung von z.

4 F¨ur jede solche Zerlegung gebe eini∈Nan mituvⁱw6∈L4(wir suchen aus) Dann istu=a^l, v=a^k undw=a^n2−k−l, wobeik+l≤nundk >0.

Daher istuv⁰w=a^l+n2−k−l=a^n2−k, wobei|a^n2−k|=n²−k.a^n2−k6∈L4, dan²−kkeine Quadratzahl sein kann:

n²−k < n² (dak >0)

n²−k≥n²−n(dak+l≤n) undn²−n=n(n−1)>(n−1)² dahern²−k >(n−1)²

D.h. f¨uri= 0giltuvⁱw6∈L4

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