Zentralübung 16.05.2019: Reguläre Ausdrücke, Anwenden des Pumping-Lemmas

(1)

Formale Sprachen und Komplexit¨ at

Sommersemester 2019

Zentral¨ ubung 16.05.2019:

Regul¨ are Ausdr¨ ucke,

Anwenden des Pumping-Lemmas

Prof. Dr. David Sabel

LFE Theoretische Informatik

(2)

Aufgabe

Geben Sie regul¨ are Ausdr¨ ucke f¨ ur jede der folgenden formalen Sprachen an, die genau die jeweilige formale Sprache erzeugen:

a) {u ∈ {a, b}

^∗

| |u| = 4}

(a|b)(a|b)(a|b)(a|b)

b) {u ∈ {a, b}

^∗

| |u| ≤ 4}

(ε|a|b)(ε|a|b)(ε|a|b)(ε|a|b) oder (ε | (a|b) | (a|b)(a|b) | (a|b)(a|b)(a|b) | (a|b)(a|b)(a|b)(a|b))

c) {u ∈ {a, b}

^∗

| |u| ≥ 4}

(a|b)(a|b)(a|b)(a|b)(a|b)

^∗

d) {u ∈ {a, b}

^∗

| u enth¨ alt nicht bbbb als Teilwort}

(ε|b|bb|bbb)(a|ab|abb|abbb)

^∗

oder (a|ba|bba|bbba)

^∗

(ε|b|bb|bbb)

(3)

Aufgabe

Geben Sie regul¨ are Ausdr¨ ucke f¨ ur jede der folgenden formalen Sprachen an, die genau die jeweilige formale Sprache erzeugen:

a) {u ∈ {a, b}

^∗

| |u| = 4} (a|b)(a|b)(a|b)(a|b) b) {u ∈ {a, b}

^∗

| |u| ≤ 4}

(ε|a|b)(ε|a|b)(ε|a|b)(ε|a|b) oder (ε | (a|b) | (a|b)(a|b) | (a|b)(a|b)(a|b) | (a|b)(a|b)(a|b)(a|b))

c) {u ∈ {a, b}

^∗

| |u| ≥ 4}

(a|b)(a|b)(a|b)(a|b)(a|b)

^∗

d) {u ∈ {a, b}

^∗

| u enth¨ alt nicht bbbb als Teilwort}

(ε|b|bb|bbb)(a|ab|abb|abbb)

^∗

oder (a|ba|bba|bbba)

^∗

(ε|b|bb|bbb)

(4)

Aufgabe

Geben Sie regul¨ are Ausdr¨ ucke f¨ ur jede der folgenden formalen Sprachen an, die genau die jeweilige formale Sprache erzeugen:

a) {u ∈ {a, b}

^∗

| |u| = 4} (a|b)(a|b)(a|b)(a|b)

b) {u ∈ {a, b}

^∗

| |u| ≤ 4} (ε|a|b)(ε|a|b)(ε|a|b)(ε|a|b) oder (ε | (a|b) | (a|b)(a|b) | (a|b)(a|b)(a|b) | (a|b)(a|b)(a|b)(a|b)) c) {u ∈ {a, b}

^∗

| |u| ≥ 4}

(a|b)(a|b)(a|b)(a|b)(a|b)

^∗

d) {u ∈ {a, b}

^∗

| u enth¨ alt nicht bbbb als Teilwort}

(ε|b|bb|bbb)(a|ab|abb|abbb)

^∗

oder (a|ba|bba|bbba)

^∗

(ε|b|bb|bbb)

(5)

Aufgabe

Geben Sie regul¨ are Ausdr¨ ucke f¨ ur jede der folgenden formalen Sprachen an, die genau die jeweilige formale Sprache erzeugen:

a) {u ∈ {a, b}

^∗

| |u| = 4} (a|b)(a|b)(a|b)(a|b)

b) {u ∈ {a, b}

^∗

| |u| ≤ 4} (ε|a|b)(ε|a|b)(ε|a|b)(ε|a|b) oder (ε | (a|b) | (a|b)(a|b) | (a|b)(a|b)(a|b) | (a|b)(a|b)(a|b)(a|b)) c) {u ∈ {a, b}

^∗

| |u| ≥ 4} (a|b)(a|b)(a|b)(a|b)(a|b)

^∗

d) {u ∈ {a, b}

^∗

| u enth¨ alt nicht bbbb als Teilwort}

(ε|b|bb|bbb)(a|ab|abb|abbb)

^∗

oder (a|ba|bba|bbba)

^∗

(ε|b|bb|bbb)

(6)

Aufgabe

Geben Sie regul¨ are Ausdr¨ ucke f¨ ur jede der folgenden formalen Sprachen an, die genau die jeweilige formale Sprache erzeugen:

a) {u ∈ {a, b}

^∗

| |u| = 4} (a|b)(a|b)(a|b)(a|b)

b) {u ∈ {a, b}

^∗

| |u| ≤ 4} (ε|a|b)(ε|a|b)(ε|a|b)(ε|a|b) oder (ε | (a|b) | (a|b)(a|b) | (a|b)(a|b)(a|b) | (a|b)(a|b)(a|b)(a|b)) c) {u ∈ {a, b}

^∗

| |u| ≥ 4} (a|b)(a|b)(a|b)(a|b)(a|b)

^∗

d) {u ∈ {a, b}

^∗

| u enth¨ alt nicht bbbb als Teilwort}

(ε|b|bb|bbb)(a|ab|abb|abbb)

^∗

oder (a|ba|bba|bbba)

^∗

(ε|b|bb|bbb)

(7)

Daten

Geben Sie einen regul¨ aren Ausdruck an, der die Sprache aller g¨ ultigen Daten im Format TT-MM-JJJJ erzeugt, außer den 29.

Februar f¨ ur Schaltjahre.

( (((0(1|...|9)) | 1(0|...|9) | 2(0|...|8))(0(1|...|9))|1(0|1|2))

|29(01|03|04|05|06|07|08|09|10|11|12)

|30(01|03|04|05|06|07|08|09|10|11|12)

|31(01|03|05|07|08|10|12) )

(0|...|9)(0|...|9)(0|...|9)(0|...|9)

(8)

Daten

Geben Sie einen regul¨ aren Ausdruck an, der die Sprache aller g¨ ultigen Daten im Format TT-MM-JJJJ erzeugt, außer den 29.

Februar f¨ ur Schaltjahre.

( (((0(1|...|9)) | 1(0|...|9) | 2(0|...|8))(0(1|...|9))|1(0|1|2))

|29(01|03|04|05|06|07|08|09|10|11|12)

|30(01|03|04|05|06|07|08|09|10|11|12)

|31(01|03|05|07|08|10|12) )

(0|...|9)(0|...|9)(0|...|9)(0|...|9)

(9)

Aufgabe: Regul¨ arer Ausdruck → Endlicher Automat

Konstruieren Sie mit dem Verfahren aus der Vorlesung einen NFA mit ε- ¨ Uberg¨ angen und eindeutigen Start- und Endzust¨ anden, der als Sprache genau die durch den regul¨ aren Ausdruck

ba(b|c)

^∗

erzeugte Sprache akzeptiert.

b a

b

c ε

ε

ε ε

ε ε ε

ε

(10)

Aufgabe: Regul¨ arer Ausdruck → Endlicher Automat

Konstruieren Sie mit dem Verfahren aus der Vorlesung einen NFA mit ε- ¨ Uberg¨ angen und eindeutigen Start- und Endzust¨ anden, der als Sprache genau die durch den regul¨ aren Ausdruck

ba(b|c)

^∗

erzeugte Sprache akzeptiert.

b a

b

c ε

ε

ε ε

ε ε ε

ε

(11)

DFA → regul¨ arer Ausdruck

Wesentliche Ideen: Seien {z

₁

, . . . , z

_n

} die Zust¨ ande des DFA, konstruiere regul¨ are Ausdr¨ ucke α

^k_i,j

:

α

^k_i,j

repr¨ asentiert alle Worte, mit denen man im DFA von z

i

zu z

j

kommt, ohne als Zwischenzustand ein z

_r

zu besuchen, mit r > k.

α

⁰_i,i

ist (ε|a

₁

| . . . |a

_m

) f¨ ur alle a

x

∈ Σ mit δ(z

i

, a

x

) = z

i

α

⁰_i,j

ist entweder (a

₁

| . . . |a

_m

) f¨ ur alle a

_x

∈ Σ mit δ(z

_i

, a

_x

) = z

_j

oder

∅ (falls es kein solches a

x

gibt)

α

^k+1_i,j

= α

^k_i,j

| α

^k_i,k+1

(α

^k_k+1,k+1

)

^∗

α

_k+1,j^k

Sei z

₁

der Startzustand und z

_l

, z

_l+1

, . . . , z

_q

die Endzust¨ ande. Dann

ist α

ⁿ_1,l

| . . . |α

ⁿ_1,q

der zum DFA passende regul¨ are Ausdruck.

(12)

Beispiel

z1 z5

z3

z2

z4

a

b b b

a

b a, b

a, b

Durch Hinschauen?

z.B. aa(baa)

^∗

a

Durch Kleene’s Konstruktion (ange- deutet und mit Hinschauen)

Wir brauchen α

⁵_1,2

:

α

⁵_1,2

= α

⁴_1,2

|α

⁴_1,5

(α

⁴_5,5

)

^∗

α

⁴_5,2

= ∅|α

⁴_1,5

(α

⁴_5,5

)

^∗

α

⁴_5,2

= α

⁴_1,5

(α

⁴_5,5

)

^∗

α

⁴_5,2

= a(ε|aba)

^∗

aa

= a(aba)

^∗

aa (Vereinfachung) α

⁴_1,2

= ∅ (durch Hinschauen, jeder Weg

von z

₁

zu z

₂

muss z

₅

benutzen) α

⁴_1,5

= a (durch Hinschauen, Schleife

l¨ auft ¨ uber z

5

: geht nicht) α

⁴_5,5

= ε|aba (weitere Schleifen laufen

durch z

₅

: geht nicht) α

⁴_5,2

= aa (durch Hinschauen, Schleife

l¨ auft ¨ uber z

5

: geht nicht)

(13)

Beispiel

z1 z5

z3

z2

z4

a

b b b

a

b a, b

a, b

Durch Hinschauen?

z.B. aa(baa)

^∗

a

Durch Kleene’s Konstruktion (ange- deutet und mit Hinschauen)

Wir brauchen α

⁵_1,2

:

α

⁵_1,2

= α

⁴_1,2

|α

⁴_1,5

(α

⁴_5,5

)

^∗

α

⁴_5,2

= ∅|α

⁴_1,5

(α

⁴_5,5

)

^∗

α

⁴_5,2

= α

⁴_1,5

(α

⁴_5,5

)

^∗

α

⁴_5,2

= a(ε|aba)

^∗

aa

= a(aba)

^∗

aa (Vereinfachung) α

⁴_1,2

= ∅ (durch Hinschauen, jeder Weg

von z

₁

zu z

₂

muss z

₅

benutzen) α

⁴_1,5

= a (durch Hinschauen, Schleife

l¨ auft ¨ uber z

5

: geht nicht) α

⁴_5,5

= ε|aba (weitere Schleifen laufen

durch z

₅

: geht nicht) α

⁴_5,2

= aa (durch Hinschauen, Schleife

l¨ auft ¨ uber z

5

: geht nicht)

(14)

Beispiel

z1 z5

z3

z2

z4

a

b b b

a

b a, b

a, b

Durch Hinschauen?

z.B. aa(baa)

^∗

a

Durch Kleene’s Konstruktion (ange- deutet und mit Hinschauen)

Wir brauchen α

⁵_1,2

:

α

⁵_1,2

= α

⁴_1,2

|α

⁴_1,5

(α

⁴_5,5

)

^∗

α

⁴_5,2

= ∅|α

⁴_1,5

(α

⁴_5,5

)

^∗

α

⁴_5,2

= α

⁴_1,5

(α

⁴_5,5

)

^∗

α

⁴_5,2

= a(ε|aba)

^∗

aa

= a(aba)

^∗

aa (Vereinfachung) α

⁴_1,2

= ∅ (durch Hinschauen, jeder Weg

von z

₁

zu z

₂

muss z

₅

benutzen) α

⁴_1,5

= a (durch Hinschauen, Schleife

l¨ auft ¨ uber z

5

: geht nicht) α

⁴_5,5

= ε|aba (weitere Schleifen laufen

durch z

₅

: geht nicht) α

⁴_5,2

= aa (durch Hinschauen, Schleife

l¨ auft ¨ uber z

5

: geht nicht)

(15)

Beispiel

z1 z5

z3

z2

z4

a

b b b

a

b a, b

a, b

Durch Hinschauen?

z.B. aa(baa)

^∗

a

Durch Kleene’s Konstruktion (ange- deutet und mit Hinschauen)

Wir brauchen α

⁵_1,2

:

α

⁵_1,2

= α

⁴_1,2

|α

⁴_1,5

(α

⁴_5,5

)

^∗

α

⁴_5,2

= ∅|α

⁴_1,5

(α

⁴_5,5

)

^∗

α

⁴_5,2

= α

⁴_1,5

(α

⁴_5,5

)

^∗

α

⁴_5,2

= a(ε|aba)

^∗

aa

= a(aba)

^∗

aa (Vereinfachung) α

⁴_1,2

= ∅ (durch Hinschauen, jeder Weg

von z

₁

zu z

₂

muss z

₅

benutzen) α

⁴_1,5

= a (durch Hinschauen, Schleife

l¨ auft ¨ uber z

5

: geht nicht) α

⁴_5,5

= ε|aba (weitere Schleifen laufen

durch z

₅

: geht nicht)

α

⁴

= aa (durch Hinschauen, Schleife

(16)

Anwendung des Pumping-Lemmas

Pumping-Lemma:

Sprache regul¨ ar = ⇒ Sprache erf¨ ullt die Pumping-Eigenschaft Zeige, dass eine Sprache nicht regul¨ ar ist, durch Kontraposition:

Sprache erf¨ ullt nicht die Pumping-Eigenschaft

= ⇒ Sprache ist nicht regul¨ ar

(17)

Erf¨ ullt / erf¨ ullt nicht die Pumping-Eigenschaft

Formale Sprache L erf¨ ullt die Pumping-Eigenschaft Es gibt eine Zahl n ∈ N

>0

, sodass jedes Wort z ∈ L, welches Mindestl¨ ange n hat (d.h. |z| ≥ n), als z = uvw geschrieben werden kann, so dass gilt:

|uv| ≤ n

|v| ≥ 1

f¨ ur alle i ≥ 0: uv

ⁱ

w ∈ L.

Formale Sprache L erf¨ ullt nicht die Pumping-Eigenschaft:

F¨ ur jede Zahl n ∈ N

>0

gibt es ein Wort z ∈ L mit |z| ≥ n, sodass f¨ ur jede Zerlegung z = uvw mit

|uv| ≤ n und

|v| ≥ 1

(18)

Anwendung des Pumping-Lemmas

Pumping-Lemma:

Sprache regul¨ ar = ⇒ Sprache erf¨ ullt die Pumping-Eigenschaft Zeige, dass eine Sprache nicht regul¨ ar ist, durch Kontraposition:

Sprache erf¨ ullt nicht die Pumping-Eigenschaft

= ⇒ Sprache ist nicht regul¨ ar Formale Sprache L erf¨ ullt nicht die Pumping-Eigenschaft:

F¨ ur jede Zahl n ∈ N

>0

gibt es ein Wort z ∈ L mit |z| ≥ n, sodass f¨ ur jede Zerlegung z = uvw mit

|uv| ≤ n und

|v| ≥ 1

ein i ≥ 0 existiert mit uv

ⁱ

w 6∈ L.

(19)

Beispiel

Aufgabe

Zeigen Sie: L = {a

^j

b

^j

| j ∈ N } ist nicht regul¨ ar.

Beweisschritte:

1

Die Zahl n ∈ N

>0

sei beliebig gew¨ ahlt (

” vom Gegner“)

2

W¨ ahle ein Wort z ∈ L mit |z| ≥ n (wir suchen aus)

3

Sei z = uvw beliebige Zerlegung mit |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 (

” vom Gegner“)

4

F¨ ur jede solche Zerlegung gebe ein i ∈ N an mit uv

ⁱ

w 6∈ L (wir suchen aus)

(20)

Beispiel

Aufgabe

Zeigen Sie: L = {a

^j

b

^j

| j ∈ N } ist nicht regul¨ ar.

Falsche Beweisversuche: Versuch 1

1

Die Zahl n ∈ N

>0

sei beliebig gew¨ ahlt (

” vom Gegner“) Sei n = 100 vom Gegner gew¨ ahlt

2

W¨ ahle ein Wort z ∈ L mit |z| ≥ n (wir suchen aus)

3

Sei z = uvw beliebige Zerlegung mit |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 (

” vom Gegner“)

4

F¨ ur jede solche Zerlegung gebe ein i ∈ N an mit uv

ⁱ

w 6∈ L (wir suchen aus)

(21)

Beispiel

Aufgabe

Zeigen Sie: L = {a

^j

b

^j

| j ∈ N } ist nicht regul¨ ar.

Falsche Beweisversuche: Versuch 1

1

Die Zahl n ∈ N

>0

sei beliebig gew¨ ahlt (

” vom Gegner“) Sei n = 100 vom Gegner gew¨ ahlt

NEIN: Wir m¨ ussen f¨ ur alle Wahlm¨ oglichkeiten des Gegners argumentieren

2

W¨ ahle ein Wort z ∈ L mit |z| ≥ n (wir suchen aus)

3

Sei z = uvw beliebige Zerlegung mit |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 (

” vom Gegner“)

4

F¨ ur jede solche Zerlegung gebe ein i ∈ N an mit uv

ⁱ

w 6∈ L (wir suchen aus)

(22)

Beispiel

Aufgabe

Zeigen Sie: L = {a

^j

b

^j

| j ∈ N } ist nicht regul¨ ar.

Falsche Beweisversuche: Versuch 2

1

Die Zahl n ∈ N

>0

sei beliebig gew¨ ahlt (

” vom Gegner“) Sei n ∈ N

>0

vom Gegner gew¨ ahlt

2

W¨ ahle ein Wort z ∈ L mit |z| ≥ n (wir suchen aus) Wir w¨ ahlen z = a

²

b

²

∈ L.

3

Sei z = uvw beliebige Zerlegung mit |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 (

” vom Gegner“)

4

F¨ ur jede solche Zerlegung gebe ein i ∈ N an mit uv

ⁱ

w 6∈ L (wir suchen aus)

(23)

Beispiel

Aufgabe

Zeigen Sie: L = {a

^j

b

^j

| j ∈ N } ist nicht regul¨ ar.

Falsche Beweisversuche: Versuch 2

1

Die Zahl n ∈ N

>0

sei beliebig gew¨ ahlt (

” vom Gegner“) Sei n ∈ N

>0

vom Gegner gew¨ ahlt

2

W¨ ahle ein Wort z ∈ L mit |z| ≥ n (wir suchen aus) Wir w¨ ahlen z = a

²

b

²

∈ L.

NEIN: |z| ≥ n gilt nicht!

3

Sei z = uvw beliebige Zerlegung mit |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 (

” vom Gegner“)

4

F¨ ur jede solche Zerlegung gebe ein i ∈ N an mit uv

ⁱ

w 6∈ L (wir suchen aus)

(24)

Beispiel

Aufgabe

Zeigen Sie: L = {a

^j

b

^j

| j ∈ N } ist nicht regul¨ ar.

Falsche Beweisversuche: Versuch 3

1

Die Zahl n ∈ N

>0

sei beliebig gew¨ ahlt (

” vom Gegner“) Sei n ∈ N

>0

vom Gegner gew¨ ahlt

2

W¨ ahle ein Wort z ∈ L mit |z| ≥ n (wir suchen aus) Wir w¨ ahlen z = a

ⁿ

.

3

Sei z = uvw beliebige Zerlegung mit |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 (

” vom Gegner“)

4

F¨ ur jede solche Zerlegung gebe ein i ∈ N an mit uv

ⁱ

w 6∈ L (wir suchen aus)

(25)

Beispiel

Aufgabe

Zeigen Sie: L = {a

^j

b

^j

| j ∈ N } ist nicht regul¨ ar.

Falsche Beweisversuche: Versuch 3

1

Die Zahl n ∈ N

>0

sei beliebig gew¨ ahlt (

” vom Gegner“) Sei n ∈ N

>0

vom Gegner gew¨ ahlt

2

W¨ ahle ein Wort z ∈ L mit |z| ≥ n (wir suchen aus) Wir w¨ ahlen z = a

ⁿ

.

NEIN: z ∈ L gilt nicht!

3

Sei z = uvw beliebige Zerlegung mit |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 (

” vom Gegner“)

4

F¨ ur jede solche Zerlegung gebe ein i ∈ N an mit uv

ⁱ

w 6∈ L (wir suchen aus)

(26)

Beispiel

Aufgabe

Zeigen Sie: L = {a

^j

b

^j

| j ∈ N } ist nicht regul¨ ar.

Falsche Beweisversuche: Versuch 4

1

Die Zahl n ∈ N

>0

sei beliebig gew¨ ahlt (

” vom Gegner“) Sei n ∈ N

>0

vom Gegner gew¨ ahlt

2

W¨ ahle ein Wort z ∈ L mit |z| ≥ n (wir suchen aus) Wir w¨ ahlen z = a

ⁿ

b

ⁿ

∈ L.

3

Sei z = uvw beliebige Zerlegung mit |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 (

” vom Gegner“) Der Gegner zerlegt z in z = uvw mit u = a

ⁿ⁻¹

, v = a und w = b

ⁿ

(damit ist |uv| ≤ n und |v| ≥ 1 erf¨ ullt)

4

F¨ ur jede solche Zerlegung gebe ein i ∈ N an mit uv

ⁱ

w 6∈ L (wir suchen aus)

(27)

Beispiel

Aufgabe

Zeigen Sie: L = {a

^j

b

^j

| j ∈ N } ist nicht regul¨ ar.

Falsche Beweisversuche: Versuch 4

1

Die Zahl n ∈ N

>0

sei beliebig gew¨ ahlt (

” vom Gegner“) Sei n ∈ N

>0

vom Gegner gew¨ ahlt

2

W¨ ahle ein Wort z ∈ L mit |z| ≥ n (wir suchen aus) Wir w¨ ahlen z = a

ⁿ

b

ⁿ

∈ L.

3

Sei z = uvw beliebige Zerlegung mit |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 (

” vom Gegner“) Der Gegner zerlegt z in z = uvw mit u = a

ⁿ⁻¹

, v = a und w = b

ⁿ

(damit ist |uv| ≤ n und |v| ≥ 1 erf¨ ullt)

NEIN: Wir m¨ ussen f¨ ur alle Wahlm¨ oglichkeiten des Gegners argumentieren

4

F¨ ur jede solche Zerlegung gebe ein i ∈ N an mit uv

ⁱ

w 6∈ L (wir suchen aus)

(28)

Beispiel

Aufgabe

Zeigen Sie: L = {a

^j

b

^j

| j ∈ N } ist nicht regul¨ ar.

Korrekter Beweis:

1

Die Zahl n ∈ N

>0

sei beliebig gew¨ ahlt (

” vom Gegner“) Sei n ∈ N

>0

vom Gegner gew¨ ahlt

2

W¨ ahle ein Wort z ∈ L mit |z| ≥ n (wir suchen aus) Wir w¨ ahlen z = a

ⁿ

b

ⁿ

∈ L.

3

Sei z = uvw beliebige Zerlegung mit |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 (

” vom Gegner“) Sei z zerlegt in z = uvw mit |uv| ≤ n und |v| ≥ 1

4

F¨ ur jede solche Zerlegung gebe ein i ∈ N an mit uv

ⁱ

w 6∈ L (wir suchen aus)

Dann ist u = a

^j

v = a

^k

und w = a

^l

b

ⁿ

mit k > 0, j + k + l = n und damit

f¨ ur i = 0: uv

ⁱ

w = a

ⁿ⁻¹

b

ⁿ

6∈ L

(29)

Beispiel: Finde den Fehler

Sei L = {a

ⁿ

a

ⁿ

| n ∈ N }.

Behauptung L ist nicht regul¨ ar.

Beweis mit dem Pumping-Lemma:

Sei n ∈ N

>0

beliebig.

Wir w¨ ahlen z = a

ⁿ

a

ⁿ

∈ L.

Sei z = uvw mit |uv| ≤ n und v ≤ 1 eine Zerlegung von z.

Dann ist u = a

^d

, v = a

^e

, und w = a

^n+n−d−e

und e > 1, d + e ≤ n. Dann ist uv

⁰

w = a

^n−e

a

ⁿ

6∈ L.

D.h. das Pumping-Lemma zeigt, dass L nicht regul¨ ar ist.

(30)

Beispiel: Finde den Fehler

Sei L = {a

ⁿ

a

ⁿ

| n ∈ N }.

Behauptung L ist nicht regul¨ ar.

Beweis mit dem Pumping-Lemma:

Sei n ∈ N

>0

beliebig.

Wir w¨ ahlen z = a

ⁿ

a

ⁿ

∈ L.

Sei z = uvw mit |uv| ≤ n und v ≤ 1 eine Zerlegung von z.

Dann ist u = a

^d

, v = a

^e

, und w = a

^n+n−d−e

und e > 1, d + e ≤ n. Dann ist uv

⁰

w = a

^n−e

a

ⁿ

6∈ L.

D.h. das Pumping-Lemma zeigt, dass L nicht regul¨ ar ist.

(31)

Beispiel: Finde den Fehler

Sei L = {a

ⁿ

a

ⁿ

| n ∈ N }.

Behauptung L ist nicht regul¨ ar.

Beweis mit dem Pumping-Lemma:

Sei n ∈ N

>0

beliebig.

Wir w¨ ahlen z = a

ⁿ

a

ⁿ

∈ L.

Sei z = uvw mit |uv| ≤ n und v ≤ 1 eine Zerlegung von z.

Dann ist u = a

^d

, v = a

^e

, und w = a

^n+n−d−e

und e > 1, d + e ≤ n. Dann ist uv

⁰

w = a

^n−e

a

ⁿ

6∈ L.

D.h. das Pumping-Lemma zeigt, dass L nicht regul¨ ar ist.

Beachte: L ist regul¨ ar, z.B. wird L durch den regul¨ aren Ausdruck

(aa)

^∗

erzeugt!!!

(32)

Beispiel: L erf¨ ullt die Pumping-Eigenschaft

Satz

L = {a

ⁿ

a

ⁿ

| n ∈ N } erf¨ ullt die Pumping-Eigenschaft Beweis:

Sei n = 2.

Sei z ∈ L mit |z| ≥ n.

Wir zerlegen z = uvw mit u = ε, v = z[1]z[2], w der Suffix von z ohne die ersten beiden Buchstaben.

Da z ∈ L, ist z = a

^j

a

^j

und dann gilt: v = aa, w = a

^j−1

a

^j−1

.

Daher gilt auch: uv

ⁱ

w = a

ⁱ

a

ⁱ

a

^j−1

a

^j−1

= a

^i+j−1

a

^i+j−1

∈ L

f¨ ur alle i ∈ N .

(33)

Aufgabe

Zeigen Sie mit dem Pumping-Lemma, dass die folgenden Sprachen nicht regul¨ ar sind:

L

₁

= {w ∈ {a, b}

^∗

| #

_a

(w) = #

_b

(w)}

L

₂

= {a

ⁿ

bbc

^m

| n, m ∈ N , m > n}

L

3

= {a

ⁿ

$a

ⁿ

| n ∈ N }

L

4

= {w ∈ {a, b}

^∗

| |w| = n

²

mit n ∈ N }

(34)

Satz

L

₁

= {w ∈ {a, b}

^∗

| #

_a

(w) = #

_b

(w)} ist nicht regul¨ ar.

Beweis:

1

Die Zahl n ∈ N

>0

sei beliebig gew¨ ahlt (

” vom Gegner“).

Sei n ∈ N

>0

beliebig.

2

W¨ ahle ein Wort z ∈ L

₁

mit |z| ≥ n (wir suchen aus) Sei z = a

ⁿ

b

ⁿ

(dann gilt z ∈ L

₁

und |z| ≥ n)

3

Sei z = uvw beliebige Zerlegung mit |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 (

” vom Gegner“) Sei z = uvw mit |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 eine Zerlegung von z.

4

F¨ ur jede solche Zerlegung gebe ein i ∈ N an mit uv

ⁱ

w 6∈ L

₁

(wir suchen aus) Da |uv| ≤ n und |v| > 0 gilt v = a

^k

mit k > 0 und daher

uv

⁰

w = a

^n−k

b

ⁿ

6∈ L

₁

(d.h. f¨ ur i = 0 gilt uv

ⁱ

w 6∈ L

₁

)

(35)

Satz

L

₂

= {a

ⁿ

bbc

^m

| n, m ∈ N , m > n} ist nicht regul¨ ar.

Beweis:

1

Die Zahl n ∈ N

>0

sei beliebig gew¨ ahlt (

” vom Gegner“).

Sei n ∈ N

>0

beliebig.

2

W¨ ahle ein Wort z ∈ L

₂

mit |z| ≥ n (wir suchen aus) Sei z = a

ⁿ

bbc

ⁿ⁺¹

(dann gilt z ∈ L

₂

und |z| ≥ n)

3

Sei z = uvw beliebige Zerlegung mit |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 (

” vom Gegner“) Sei z = uvw mit |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 eine Zerlegung von z.

4

F¨ ur jede solche Zerlegung gebe ein i ∈ N an mit uv

ⁱ

w 6∈ L

₂

(wir suchen aus) Da |uv| ≤ n und |v| > 0 gilt v = a

^k

mit k > 0 und daher

uv

³

w = a

^n+2k

bbc

ⁿ⁺¹

6∈ L

₂

(d.h. f¨ ur i = 3 gilt uv

ⁱ

w 6∈ L

₂

)

(36)

Satz

L

₃

= {a

ⁿ

$a

ⁿ

| n ∈ N } ist nicht regul¨ ar.

Beweis:

1

Die Zahl n ∈ N

>0

sei beliebig gew¨ ahlt (

” vom Gegner“).

Sei n ∈ N

>0

beliebig.

2

W¨ ahle ein Wort z ∈ L

₃

mit |z| ≥ n (wir suchen aus) Sei z = a

ⁿ

$a

ⁿ

(dann gilt z ∈ L

₃

und |z| ≥ n)

3

Sei z = uvw beliebige Zerlegung mit |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 (

” vom Gegner“) Sei z = uvw mit |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 eine Zerlegung von z.

4

F¨ ur jede solche Zerlegung gebe ein i ∈ N an mit uv

ⁱ

w 6∈ L

₃

(wir suchen aus) Da |uv| ≤ n und |v| > 0 gilt v = a

^k

mit k > 0 und daher

uv

⁰

w = a

^n−k

$a

ⁿ

6∈ L

₃

(d.h. f¨ ur i = 0 gilt uv

ⁱ

w 6∈ L

₃

)

(37)

Satz

L

₄

= {w ∈ {a, b}

^∗

| |w| = n

²

mit n ∈ N } ist nicht regul¨ ar.

Beweis:

1

Die Zahl n ∈ N

>0

sei beliebig gew¨ ahlt (

” vom Gegner“).

Sei n ∈ N

>0

beliebig.

2

W¨ ahle ein Wort z ∈ L

₄

mit |z| ≥ n (wir suchen aus) Sei z = a

ⁿ²

(dann gilt z ∈ L

₄

und |z| ≥ n)

3

Sei z = uvw beliebige Zerlegung mit |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 (

” vom Gegner“) Sei z = uvw mit |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 eine Zerlegung von z.

4

F¨ ur jede solche Zerlegung gebe ein i ∈ N an mit uv

ⁱ

w 6∈ L

₄

(wir suchen aus) Dann ist u = a

^l

, v = a

^k

und w = a

ⁿ²^−k−l

, wobei k + l ≤ n und k > 0.

Daher ist uv

⁰

w = a

^l+n²^−k−l

= a

ⁿ²^−k

, wobei |a

ⁿ²^−k

| = n

²

− k. a

ⁿ²^−k

6∈ L

4

, da n

²

− k keine Quadratzahl sein kann:

n²−k < n² (dak >0)

n²−k≥n²−n(dak+l≤n) undn²−n=n(n−1)>(n−1)² dahern²−k >(n−1)²