Regul¨areSprachen:Regularit¨atwiderlegen,SatzvonMyhill-Nerode,Eigenschaftenregul¨arerSprachen FormaleSprachenundKomplexit¨at

Formale Sprachen und Komplexit¨ at

Sommersemester 2019

Regul¨ are Sprachen: Regularit¨ at widerlegen, Satz von Myhill-Nerode,

Eigenschaften regul¨ arer Sprachen

Prof. Dr. David Sabel

LFE Theoretische Informatik

Inhalts¨ ubersicht

Nichtregularit¨ at beweisen: Das Pumping-Lemma Der Satz von Myhill-Nerode

Minimierung von Automaten

Abschlusseigenschaften regul¨ arer Sprachen

Entscheidbarkeitsresultate f¨ ur regul¨ are Sprachen

Motivation zum Pumping-Lemma

alle Sprachen rekursiv aufz¨ ahlbar

kontextsensitiv kontextfrei

regul¨ ar

Formalismen zur Darstellung von regul¨ aren Sprachen:

Endliche Automaten Regul¨ are Ausdr¨ ucke Regul¨ are Grammatiken

Wie zeigt man, dass eine formale Sprache nicht regul¨ ar ist?

⇒ Das Pumping-Lemma ist ein Werkzeug daf¨ ur!

Motivation zum Pumping-Lemma

alle Sprachen rekursiv aufz¨ ahlbar

kontextsensitiv kontextfrei

regul¨ ar

Formalismen zur Darstellung von regul¨ aren Sprachen:

Endliche Automaten Regul¨ are Ausdr¨ ucke Regul¨ are Grammatiken

Wie zeigt man, dass eine formale Sprache nicht regul¨ ar ist?

⇒ Das Pumping-Lemma ist ein Werkzeug daf¨ ur!

Idee des Pumping-Lemmas: Beispiel

Beispiel: DFA M:

Von M erkannte W¨ orter der L¨ ange 3,

4, 5, 6, . . .

Beobachtung 1: Jedes Wort z mit L¨ ange > 3, das M erkennt, muss mindestens eine Schleife durchlaufen.

Beobachtung 2: Wenn wir die Schleife mehrfach durchlaufen, wird das entsprechende Wort immer noch erkannt, d.h.

W¨ orter in L(M ) mit L¨ ange > 3 k¨ onnen wir aufpumpen und verbleiben in der Sprache L(M)

z

z

z

z

z

z

z

b

a

b b

a b

b b

a

Idee des Pumping-Lemmas: Beispiel

Beispiel: DFA M:

Von M erkannte W¨ orter der L¨ ange 3,

4, 5, 6, . . .

Beobachtung 1: Jedes Wort z mit L¨ ange > 3, das M erkennt, muss mindestens eine Schleife durchlaufen.

Beobachtung 2: Wenn wir die Schleife mehrfach durchlaufen, wird das entsprechende Wort immer noch erkannt, d.h.

W¨ orter in L(M) mit L¨ ange > 3 k¨ onnen wir aufpumpen und verbleiben in der Sprache L(M )

z

z

z

z

z

z

z

b

a

b b

a b

b b

a

Idee des Pumping-Lemmas: Beispiel

Beispiel: DFA M:

Von M erkannte W¨ orter der L¨ ange 3, 4,

5, 6, . . .

Beobachtung 1: Jedes Wort z mit L¨ ange > 3, das M erkennt, muss mindestens eine Schleife durchlaufen.

Beobachtung 2: Wenn wir die Schleife mehrfach durchlaufen, wird das entsprechende Wort immer noch erkannt, d.h.

W¨ orter in L(M) mit L¨ ange > 3 k¨ onnen wir aufpumpen und verbleiben in der Sprache L(M )

z

z

z

z

z

z

z

b

a

b b

a b

b b

a

Idee des Pumping-Lemmas: Beispiel

Beispiel: DFA M:

Von M erkannte W¨ orter der L¨ ange 3, 4, 5,

6, . . .

Beobachtung 1: Jedes Wort z mit L¨ ange > 3, das M erkennt, muss mindestens eine Schleife durchlaufen.

Beobachtung 2: Wenn wir die Schleife mehrfach durchlaufen, wird das entsprechende Wort immer noch erkannt, d.h.

W¨ orter in L(M) mit L¨ ange > 3 k¨ onnen wir aufpumpen und verbleiben in der Sprache L(M )

z

z

z

z

z

z

z

b

a

b b

a b

b b

a

Idee des Pumping-Lemmas: Beispiel

Beispiel: DFA M:

Von M erkannte W¨ orter der L¨ ange 3, 4, 5,

6, . . .

Beobachtung 1: Jedes Wort z mit L¨ ange > 3, das M erkennt, muss mindestens eine Schleife durchlaufen.

Beobachtung 2: Wenn wir die Schleife mehrfach durchlaufen, wird das entsprechende Wort immer noch erkannt, d.h.

W¨ orter in L(M) mit L¨ ange > 3 k¨ onnen wir aufpumpen und verbleiben in der Sprache L(M )

z

z

z

z

z

z

z

b

a

b b

a b

b b

a

Idee des Pumping-Lemmas: Beispiel

Beispiel: DFA M:

Von M erkannte W¨ orter der L¨ ange 3, 4, 5, 6, . . .

Beobachtung 1: Jedes Wort z mit L¨ ange > 3, das M erkennt, muss mindestens eine Schleife durchlaufen.

Beobachtung 2: Wenn wir die Schleife mehrfach durchlaufen, wird das entsprechende Wort immer noch erkannt, d.h.

W¨ orter in L(M) mit L¨ ange > 3 k¨ onnen wir aufpumpen und verbleiben in der Sprache L(M )

z

z

z

z

z

z

z

b

a

b b

a b

b b

a

Idee des Pumping-Lemmas: Beispiel

Beispiel: DFA M:

Von M erkannte W¨ orter der L¨ ange 3, 4, 5, 6, . . .

Beobachtung 1: Jedes Wort z mit L¨ ange > 3, das M erkennt, muss mindestens eine Schleife durchlaufen.

Beobachtung 2: Wenn wir die Schleife mehrfach durchlaufen, wird das entsprechende Wort immer noch erkannt, d.h.

W¨ orter in L(M) mit L¨ ange > 3 k¨ onnen wir aufpumpen und verbleiben in der Sprache L(M )

z

z

z

z

z

z

z

b

a

b b

a b

b b

a

Idee des Pumping-Lemmas: Beispiel

Beispiel: DFA M:

Von M erkannte W¨ orter der L¨ ange 3, 4, 5, 6, . . .

Beobachtung 1: Jedes Wort z mit L¨ ange > 3, das M erkennt, muss mindestens eine Schleife durchlaufen.

Beobachtung 2: Wenn wir die Schleife mehrfach durchlaufen, wird das entsprechende Wort immer noch erkannt, d.h.

W¨ orter in L(M) mit L¨ ange > 3 k¨ onnen wir aufpumpen und verbleiben in der Sprache L(M )

z

z

z

z

z

z

z

b

a

b b

a b

b b

a

Idee des Pumping-Lemmas: Beispiel

Beispiel: DFA M:

Von M erkannte W¨ orter der L¨ ange 3, 4, 5, 6, . . .

Beobachtung 1: Jedes Wort z mit L¨ ange > 3, das M erkennt, muss mindestens eine Schleife durchlaufen.

Beobachtung 2: Wenn wir die Schleife mehrfach durchlaufen, wird das entsprechende Wort immer noch erkannt, d.h.

W¨ orter in L(M) mit L¨ ange > 3 k¨ onnen wir aufpumpen und verbleiben in der Sprache L(M )

z

z

z

z

z

z

z

b

a

b b

a b

b b

a

Idee des Pumping-Lemmas: Beispiel

Beispiel: DFA M:

Von M erkannte W¨ orter der L¨ ange 3, 4, 5, 6, . . .

Beobachtung 1: Jedes Wort z mit L¨ ange > 3, das M erkennt, muss mindestens eine Schleife durchlaufen.

Beobachtung 2: Wenn wir die Schleife mehrfach durchlaufen, wird das entsprechende Wort immer noch erkannt, d.h.

W¨ orter in L(M) mit L¨ ange > 3 k¨ onnen wir aufpumpen

z

z

z

z

z

z

z

b

a

b b

a b

b b

a

Idee des Pumping-Lemmas: Beispiel

Beispiel: DFA M:

Von M erkannte W¨ orter der L¨ ange 3, 4, 5, 6, . . .

Beobachtung 1: Jedes Wort z mit L¨ ange > 3, das M erkennt, muss mindestens eine Schleife durchlaufen.

Beobachtung 2: Wenn wir die Schleife mehrfach durchlaufen, wird das entsprechende Wort immer noch erkannt, d.h.

W¨ orter in L(M) mit L¨ ange > 3 k¨ onnen wir aufpumpen und verbleiben in der Sprache L(M )

z

z

z

z

z

z

z

b

a

b b

a b

b b

a

Idee des Pumping-Lemmas: Beispiel

Beispiel: DFA M:

Von M erkannte W¨ orter der L¨ ange 3, 4, 5, 6, . . .

Beobachtung 1: Jedes Wort z mit L¨ ange > 3, das M erkennt, muss mindestens eine Schleife durchlaufen.

Beobachtung 2: Wenn wir die Schleife mehrfach durchlaufen, wird das entsprechende Wort immer noch erkannt, d.h.

W¨ orter in L(M) mit L¨ ange > 3 k¨ onnen wir aufpumpen

z

z

z

z

z

z

z

b

a

b b

a b

b b

a

Idee des Pumping-Lemmas: Allgemeiner

Gilt das allgemein?

z

z

u w

v

Wenn ein endlicher Automat n Zust¨ ande hat, dann m¨ ussen

akzeptierte W¨ orter der L¨ ange ≥ n eine Schleife durchlaufen

Diese W¨ orter kann man aufpumpen: uvw, uvvw ,uvvvw, . . .

Allgemein: uv

w f¨ ur i = 0, 1, 2, . . . liegen in der erkannten Sprache

Das Pumping-Lemma

Lemma 4.9.1 (Pumping-Lemma)

Jede regul¨ are Sprache L hat die folgende Pumping-Eigenschaft:

Es gibt eine Zahl n ∈ N

, sodass jedes Wort z ∈ L, welches Mindestl¨ ange n hat (d.h. |z| ≥ n), als z = uvw geschrieben werden kann, so dass gilt:

|uv| ≤ n

|v| ≥ 1

f¨ ur alle i ≥ 0: uv

w ∈ L.

Die Zahl n nennt man auch die Pumping-Konstante der Sprache L

z

z

u w

v

Beweis des Pumping-Lemmas (1)

Sei M = (Z, Σ, δ, z

, E) ein DFA, der L akzeptiert mit |Z | = n.

Jeder Lauf f¨ ur ein z ∈ L besucht |z| + 1 Zust¨ ande. Sei |z| ≥ n.

Sei q

, q

, . . . q

die besuchte Folge mit q

= z

und q

∈ E.

Da |Z| = n, wird sp¨ atestens nach Lesen von n Zeichen ein Zustand erneut besucht

Sei q

(mit k ≤ n) der erste Zustand, der bereits besucht wurde:

D.h. es gibt j < k, sodass q

= q

und k ist minimal, z = uvw mit

q0 qj=qk q|z|

u w

v

q|z|

Beweis des Pumping-Lemmas (2)

. . .

D.h. es gibt j < k, sodass q

= q

und k ist minimal, z = uvw mit

q0 u qj=qk w q_|z|

v

q_|z|

Wir zeigen nun die drei geforderten Eigenschaften der Zerlegung:

Aus j < k folgt |v| ≥ 1.

Aus k ≤ n folgt |uv| ≤ n.

Aus q

= q

folgt b δ(q

, u) = q

= δ(q b

, uv) = q

und somit δ(q b

, uw) = b δ(q

, uvw) = q

∈ E, d.h. uv

w ∈ L(M).

Sei i > 0. Aus b δ(q

, v) = q

= q

folgt b δ(q

, v

) = q

und daher δ(uv b

w) = b δ(q

, v

w) = δ(q b

, w) = q

∈ E.

Daher gilt uv

w ∈ L(M) f¨ ur alle i ∈ .

Endliche Sprachen

Zur Erinnerung: Pumping-Eigenschaft

Es gibt eine Zahl n ∈ N

, sodass jedes Wort z ∈ L, welches Mindestl¨ ange n hat (d.h. |z| ≥ n), als z = uvw geschrieben werden kann, so dass gilt:

|uv| ≤ n

|v| ≥ 1

f¨ ur alle i ≥ 0: uv

w ∈ L.

Als pr¨ adikatenlogische Formel:

∃n ∈ N

:

∀z ∈ L:

(|z| ≥ n ⇒

∃u, v, w:(z=uvw ∧ |uv| ≤ n ∧ |v| ≥ 1 ∧ ∀i ≥ 0:(uv

w ∈ L))) Warum erf¨ ullen endliche Sprachen das Pumping-Lemma?

W¨ ahle n gr¨ oßer als die L¨ ange des l¨ angsten Worts!

Endliche Sprachen

Zur Erinnerung: Pumping-Eigenschaft

Es gibt eine Zahl n ∈ N

, sodass jedes Wort z ∈ L, welches Mindestl¨ ange n hat (d.h. |z| ≥ n), als z = uvw geschrieben werden kann, so dass gilt:

|uv| ≤ n

|v| ≥ 1

f¨ ur alle i ≥ 0: uv

w ∈ L.

Als pr¨ adikatenlogische Formel:

∃n ∈ N

:

∀z ∈ L:

(|z| ≥ n ⇒

∃u, v, w:(z=uvw ∧ |uv| ≤ n ∧ |v| ≥ 1 ∧ ∀i ≥ 0:(uv

w ∈ L)))

Warum erf¨ ullen endliche Sprachen das Pumping-Lemma?

Anwendung des Pumping-Lemmas

Pumping-Lemma:

Sprache regul¨ ar = ⇒ Sprache erf¨ ullt die Pumping-Eigenschaft Zeige, dass eine Sprache nicht regul¨ ar ist, durch Kontraposition:

Sprache erf¨ ullt nicht die Pumping-Eigenschaft

= ⇒ Sprache ist nicht regul¨ ar

Umformung der negierten Pumping-Eigenschaft

¬(∃n∈N>0:∀z∈L:(|z| ≥n⇒ ∃u, v, w:(z=uvw∧ |uv| ≤n∧ |v| ≥1∧ ∀i≥0:(uvⁱw∈L))))

←→ ∀n∈N>0:¬(∀z∈L:(|z| ≥n⇒ ∃u, v, w:(z=uvw∧ |uv| ≤n∧ |v| ≥1∧ ∀i≥0:(uvⁱw∈L))))

←→ ∀n∈N>0:(∃z∈L:(¬(|z| ≥n⇒ ∃u, v, w:(z=uvw∧ |uv| ≤n∧ |v| ≥1∧ ∀i≥0:(uvⁱw∈L)))))

←→ ∀n∈N>0:(∃z∈L:(¬(¬(|z| ≥n)∨(∃u, v, w:(z=uvw∧ |uv| ≤n∧ |v| ≥1∧ ∀i≥0:(uvⁱw∈L))))))

←→ ∀n∈N>0:(∃z∈L:((|z| ≥n)∧ ¬(∃u, v, w:(z=uvw∧ |uv| ≤n∧ |v| ≥1∧ ∀i≥0:(uvⁱw∈L)))))

←→ ∀n∈N>0:(∃z∈L:((|z| ≥n)∧(∀u, v, w:(¬(z=uvw∧ |uv| ≤n∧ |v| ≥1∧ ∀i≥0:(uvⁱw∈L))))))

←→ ∀n∈N>0:(∃z∈L:((|z| ≥n)∧(∀u, v, w:(¬(z=uvw∧ |uv| ≤n∧ |v| ≥1)∨ ¬(∀i≥0:uvⁱw∈L)))))

←→ ∀n∈N>0:(∃z∈L:((|z| ≥n)∧(∀u, v, w:((z=uvw∧ |uv| ≤n∧ |v| ≥1)⇒ ¬(∀i≥0:uvⁱw∈L)))))

←→ ∀n∈N>0:(∃z∈L:((|z| ≥n)∧(∀u, v, w:((z=uvw∧ |uv| ≤n∧ |v| ≥1)⇒ ∃i≥0:uvⁱw6∈L)))))

Formale Sprache L erf¨ ullt nicht die Pumping-Eigenschaft: F¨ ur jede Zahl n ∈ N

gibt es ein Wort z ∈ L mit |z| ≥ n, sodass f¨ ur jede Zerlegung z = uvw mit

|uv| ≤ n und

|v| ≥ 1

ein i ≥ 0 existiert mit uv

w 6∈ L.

Umformung der negierten Pumping-Eigenschaft

¬(∃n∈N>0:∀z∈L:(|z| ≥n⇒ ∃u, v, w:(z=uvw∧ |uv| ≤n∧ |v| ≥1∧ ∀i≥0:(uvⁱw∈L))))

←→ ∀n∈N>0:¬(∀z∈L:(|z| ≥n⇒ ∃u, v, w:(z=uvw∧ |uv| ≤n∧ |v| ≥1∧ ∀i≥0:(uvⁱw∈L))))

←→ ∀n∈N>0:(∃z∈L:(¬(|z| ≥n⇒ ∃u, v, w:(z=uvw∧ |uv| ≤n∧ |v| ≥1∧ ∀i≥0:(uvⁱw∈L)))))

←→ ∀n∈N>0:(∃z∈L:(¬(¬(|z| ≥n)∨(∃u, v, w:(z=uvw∧ |uv| ≤n∧ |v| ≥1∧ ∀i≥0:(uvⁱw∈L))))))

←→ ∀n∈N>0:(∃z∈L:((|z| ≥n)∧ ¬(∃u, v, w:(z=uvw∧ |uv| ≤n∧ |v| ≥1∧ ∀i≥0:(uvⁱw∈L)))))

←→ ∀n∈N>0:(∃z∈L:((|z| ≥n)∧(∀u, v, w:(¬(z=uvw∧ |uv| ≤n∧ |v| ≥1∧ ∀i≥0:(uvⁱw∈L))))))

←→ ∀n∈N>0:(∃z∈L:((|z| ≥n)∧(∀u, v, w:(¬(z=uvw∧ |uv| ≤n∧ |v| ≥1)∨ ¬(∀i≥0:uvⁱw∈L)))))

←→ ∀n∈N>0:(∃z∈L:((|z| ≥n)∧(∀u, v, w:((z=uvw∧ |uv| ≤n∧ |v| ≥1)⇒ ¬(∀i≥0:uvⁱw∈L)))))

←→ ∀n∈N>0:(∃z∈L:((|z| ≥n)∧(∀u, v, w:((z=uvw∧ |uv| ≤n∧ |v| ≥1)⇒ ∃i≥0:uvⁱw6∈L)))))

Formale Sprache L erf¨ ullt nicht die Pumping-Eigenschaft:

F¨ ur jede Zahl n ∈ N

gibt es ein Wort z ∈ L mit |z| ≥ n, sodass f¨ ur jede Zerlegung z = uvw mit

|uv| ≤ n und

|v| ≥ 1

ein i ≥ 0 existiert mit uv

w 6∈ L.

Anwendung des Pumping-Lemmas

Satz

Die Sprache L = {a

b

| j ∈ N } ist nicht regul¨ ar.

Beweis: Wir zeigen, dass L die Pumping-Eigenschaft nicht erf¨ ullt und schließen mit dem Pumping-Lemma, dass L nicht regul¨ ar ist:

Sei n ∈ N

beliebig. Wir w¨ ahlen z ∈ L: z = a

b

(damit ist auch |z| ≥ n erf¨ ullt). Sei z = uvw eine beliebige Zerlegung von z, sodass |uv| ≤ n und |v| ≥ 1.

Dann ist u = a

, v = a

mit r + s ≤ n, s > 0 und w = a

b

mit r + s + t = n.

Daher k¨ onnen wir z.B. i = 2 w¨ ahlen und erhalten

uv

w = uv

w = a

a

a

a

b

= a

b

6∈ L,da s > 0.

Anwendung des Pumping-Lemmas

Satz

Die Sprache L = {a

b

| j ∈ N } ist nicht regul¨ ar.

Beweis: Wir zeigen, dass L die Pumping-Eigenschaft nicht erf¨ ullt und schließen mit dem Pumping-Lemma, dass L nicht regul¨ ar ist:

Sei n ∈ N

beliebig. Wir w¨ ahlen z ∈ L: z = a

b

(damit ist auch |z| ≥ n erf¨ ullt). Sei z = uvw eine beliebige Zerlegung von z, sodass |uv| ≤ n und |v| ≥ 1.

Dann ist u = a

, v = a

mit r + s ≤ n, s > 0 und w = a

b

mit r + s + t = n.

Daher k¨ onnen wir z.B. i = 2 w¨ ahlen und erhalten

uv

w = uv

w = a

a

a

a

b

= a

b

6∈ L,da s > 0.

Anwendung des Pumping-Lemmas

Satz

Die Sprache L = {a

b

| j ∈ N } ist nicht regul¨ ar.

Beweis: Wir zeigen, dass L die Pumping-Eigenschaft nicht erf¨ ullt und schließen mit dem Pumping-Lemma, dass L nicht regul¨ ar ist:

Sei n ∈ N

beliebig. Wir w¨ ahlen z ∈ L:

z = a

b

(damit ist auch |z| ≥ n erf¨ ullt).

Sei z = uvw eine beliebige Zerlegung von z, sodass |uv| ≤ n und |v| ≥ 1.

Dann ist u = a

, v = a

mit r + s ≤ n, s > 0 und w = a

b

mit r + s + t = n.

Daher k¨ onnen wir z.B. i = 2 w¨ ahlen und erhalten

uv

w = uv

w = a

a

a

a

b

= a

b

6∈ L,da s > 0.

Anwendung des Pumping-Lemmas

Satz

Die Sprache L = {a

b

| j ∈ N } ist nicht regul¨ ar.

Beweis: Wir zeigen, dass L die Pumping-Eigenschaft nicht erf¨ ullt und schließen mit dem Pumping-Lemma, dass L nicht regul¨ ar ist:

Sei n ∈ N

beliebig. Wir w¨ ahlen z ∈ L:

z = a

b

(damit ist auch |z| ≥ n erf¨ ullt).

Sei z = uvw eine beliebige Zerlegung von z, sodass |uv| ≤ n und |v| ≥ 1.

Dann ist u = a

, v = a

mit r + s ≤ n, s > 0 und w = a

b

mit r + s + t = n.

Daher k¨ onnen wir z.B. i = 2 w¨ ahlen und erhalten

uv

w = uv

w = a

a

a

a

b

= a

b

6∈ L,da s > 0.

Anwendung des Pumping-Lemmas

Satz

Die Sprache L = {a

b

| j ∈ N } ist nicht regul¨ ar.

Beweis: Wir zeigen, dass L die Pumping-Eigenschaft nicht erf¨ ullt und schließen mit dem Pumping-Lemma, dass L nicht regul¨ ar ist:

Sei n ∈ N

beliebig. Wir w¨ ahlen z ∈ L:

z = a

b

(damit ist auch |z| ≥ n erf¨ ullt).

Sei z = uvw eine beliebige Zerlegung von z, sodass |uv| ≤ n und |v| ≥ 1.

Dann ist u = a

, v = a

mit r + s ≤ n, s > 0 und w = a

b

mit r + s + t = n.

Daher k¨ onnen wir z.B. i = 2 w¨ ahlen und erhalten

uv

w = uv

w = a

a

a

a

b

= a

b

6∈ L,da s > 0.

Beweise Nicht-Regularit¨ at als Spiel

Sei L die formale Sprache.

1

Der Gegner w¨ ahlt die Zahl n ∈ N

.

2

Wir w¨ ahlen das Wort z ∈ L mit |z| ≥ n.

3

Der Gegner w¨ ahlt Zerlegung z = uvw mit |uv| ≤ n und |v| ≥ 1.

4

Wir gewinnen das Spiel, wenn wir ein i ≥ 0 angeben k¨ onnen, sodass uv

w 6∈ L.

Wenn wir das Spiel f¨ ur alle Wahlm¨ oglichkeiten des Gegners

gewinnen, dann haben wir die Nichtregularit¨ at von L nachgewiesen.

Beispiel

Satz

Die Sprache L = {a

| p ist Primzahl} ist nicht regul¨ ar.

Wir zeigen, dass wir das eben eingef¨ uhrte Spiel stets gewinnen:

1

Sei n ∈ N

vom Gegner gew¨ ahlt.

2

Wir w¨ ahlen z ∈ L als z = a

mit p ist die n¨ achste Primzahl, die gr¨ oßer gleich n ist.

3

Der Gegner w¨ ahlt Zerlegung u = a

, v = a

, w = a

mit uvw = a

, |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 (und damit s ≥ 1).

4

Wir w¨ ahlen i = p + 1. Dann ist uv

w 6∈ L, denn uv

w =

a

(a

)

a

= a

= a

= a

= a

und f¨ ur s ≥ 1 folgt, dass p · (s + 1) keine Primzahl sein

kann.

Beispiel

Satz

Die Sprache L = {a

| p ist Primzahl} ist nicht regul¨ ar.

Wir zeigen, dass wir das eben eingef¨ uhrte Spiel stets gewinnen:

1

Sei n ∈ N

vom Gegner gew¨ ahlt.

2

Wir w¨ ahlen z ∈ L als z = a

mit p ist die n¨ achste Primzahl, die gr¨ oßer gleich n ist.

3

Der Gegner w¨ ahlt Zerlegung u = a

, v = a

, w = a

mit uvw = a

, |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 (und damit s ≥ 1).

4

Wir w¨ ahlen i = p + 1. Dann ist uv

w 6∈ L, denn uv

w =

a

(a

)

a

= a

= a

= a

= a

und f¨ ur s ≥ 1 folgt, dass p · (s + 1) keine Primzahl sein

kann.

Beispiel

Satz

Die Sprache L = {a

| p ist Primzahl} ist nicht regul¨ ar.

Wir zeigen, dass wir das eben eingef¨ uhrte Spiel stets gewinnen:

1

Sei n ∈ N

vom Gegner gew¨ ahlt.

2

Wir w¨ ahlen z ∈ L als z = a

mit p ist die n¨ achste Primzahl, die gr¨ oßer gleich n ist.

3

Der Gegner w¨ ahlt Zerlegung u = a

, v = a

, w = a

mit uvw = a

, |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 (und damit s ≥ 1).

4

Wir w¨ ahlen i = p + 1. Dann ist uv

w 6∈ L, denn uv

w =

a

(a

)

a

= a

= a

= a

= a

und f¨ ur s ≥ 1 folgt, dass p · (s + 1) keine Primzahl sein

kann.

Beispiel

Satz

Die Sprache L = {a

| p ist Primzahl} ist nicht regul¨ ar.

Wir zeigen, dass wir das eben eingef¨ uhrte Spiel stets gewinnen:

1

Sei n ∈ N

vom Gegner gew¨ ahlt.

2

Wir w¨ ahlen z ∈ L als z = a

mit p ist die n¨ achste Primzahl, die gr¨ oßer gleich n ist.

3

Der Gegner w¨ ahlt Zerlegung u = a

, v = a

, w = a

mit uvw = a

, |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 (und damit s ≥ 1).

4

Wir w¨ ahlen i = p + 1. Dann ist uv

w 6∈ L, denn uv

w =

a

(a

)

a

= a

= a

= a

= a

und f¨ ur s ≥ 1 folgt, dass p · (s + 1) keine Primzahl sein

kann.

Beispiel

Satz

Die Sprache L = {a

| n ist Quadratzahl} ist nicht regul¨ ar.

1

Sei n ∈ N

vom Gegner gew¨ ahlt.

2

Wir w¨ ahlen z = a

∈ L.

3

Sei z = uvw vom Gegner zerlegt, sodass |uv| ≤ n und

|v| ≥ 1.

4

Wir w¨ ahlen i = 2, d.h. wir betrachten uv

w = a

.

k≤n²+n(denn|uv| ≤nund daher|v| ≤n).

Dann kann k jedoch keine Quadratzahl sein, denn n

+ n = (n + 1) · n < (n + 1)

.

Daher gilt uv

w 6∈ L.

Das Pumping-Lemma zeigt somit, dass L nicht regul¨ ar ist.

Beispiel

Satz

Die Sprache L = {a

| n ist Quadratzahl} ist nicht regul¨ ar.

1

Sei n ∈ N

vom Gegner gew¨ ahlt.

2

Wir w¨ ahlen z = a

∈ L.

3

Sei z = uvw vom Gegner zerlegt, sodass |uv| ≤ n und

|v| ≥ 1.

4

Wir w¨ ahlen i = 2, d.h. wir betrachten uv

w = a

.

k≤n²+n(denn|uv| ≤nund daher|v| ≤n).

Dann kann k jedoch keine Quadratzahl sein, denn n

+ n = (n + 1) · n < (n + 1)

.

Daher gilt uv

w 6∈ L.

Das Pumping-Lemma zeigt somit, dass L nicht regul¨ ar ist.

Beispiel

Satz

Die Sprache L = {a

| n ist Quadratzahl} ist nicht regul¨ ar.

1

Sei n ∈ N

vom Gegner gew¨ ahlt.

2

Wir w¨ ahlen z = a

∈ L.

3

Sei z = uvw vom Gegner zerlegt, sodass |uv| ≤ n und

|v| ≥ 1.

4

Wir w¨ ahlen i = 2, d.h. wir betrachten uv

w = a

.

k≤n²+n(denn|uv| ≤nund daher|v| ≤n).

Dann kann k jedoch keine Quadratzahl sein, denn n

+ n = (n + 1) · n < (n + 1)

.

Daher gilt uv

w 6∈ L.

Das Pumping-Lemma zeigt somit, dass L nicht regul¨ ar ist.

Beispiel

Satz

Die Sprache L = {a

| n ist Quadratzahl} ist nicht regul¨ ar.

1

Sei n ∈ N

vom Gegner gew¨ ahlt.

2

Wir w¨ ahlen z = a

∈ L.

3

Sei z = uvw vom Gegner zerlegt, sodass |uv| ≤ n und

|v| ≥ 1.

4

Wir w¨ ahlen i = 2, d.h. wir betrachten uv

w = a

.

k≤n²+n(denn|uv| ≤nund daher|v| ≤n).

Dann kann k jedoch keine Quadratzahl sein, denn n

+ n = (n + 1) · n < (n + 1)

.

Daher gilt uv

w 6∈ L.

Das Pumping-Lemma zeigt somit, dass L nicht regul¨ ar ist.

Beispiel

Satz

Die Sprache L = {a

| n ∈ N } ist nicht regul¨ ar.

Beweis:

Sei n ∈ N

beliebig.

Sei z ∈ L mit |z| ≥ n das Wort z = a

. Sei z = uvw mit |uv| ≤ n und |v| = k ≥ 1.

Dann ist 1 ≤ k ≤ n und uv

w = a

und 2

+ k 6= 2

da 2

+ k < 2

= 2

+ 2

denn k ≤ n < 2

.

Daher ist uv

w 6∈ L.

Mit dem Pumping-Lemma folgt, dass L nicht regul¨ ar ist.

Beispiel

Satz

Die Sprache L = {a

| n ∈ N } ist nicht regul¨ ar.

Beweis:

Sei n ∈ N

beliebig.

Sei z ∈ L mit |z| ≥ n das Wort z = a

.

Sei z = uvw mit |uv| ≤ n und |v| = k ≥ 1.

Dann ist 1 ≤ k ≤ n und uv

w = a

und 2

+ k 6= 2

da 2

+ k < 2

= 2

+ 2

denn k ≤ n < 2

.

Daher ist uv

w 6∈ L.

Mit dem Pumping-Lemma folgt, dass L nicht regul¨ ar ist.

Beispiel

Satz

Die Sprache L = {a

| n ∈ N } ist nicht regul¨ ar.

Beweis:

Sei n ∈ N

beliebig.

Sei z ∈ L mit |z| ≥ n das Wort z = a

. Sei z = uvw mit |uv| ≤ n und |v| = k ≥ 1.

Dann ist 1 ≤ k ≤ n und uv

w = a

und 2

+ k 6= 2

da 2

+ k < 2

= 2

+ 2

denn k ≤ n < 2

.

Daher ist uv

w 6∈ L.

Mit dem Pumping-Lemma folgt, dass L nicht regul¨ ar ist.

Beispiel

Satz

Die Sprache L = {a

| n ∈ N } ist nicht regul¨ ar.

Beweis:

Sei n ∈ N

beliebig.

Sei z ∈ L mit |z| ≥ n das Wort z = a

. Sei z = uvw mit |uv| ≤ n und |v| = k ≥ 1.

Dann ist 1 ≤ k ≤ n und uv

w = a

und 2

+ k 6= 2

da 2

+ k < 2

= 2

+ 2

denn k ≤ n < 2

.

Daher ist uv

w 6∈ L.

Mit dem Pumping-Lemma folgt, dass L nicht regul¨ ar ist.

Beispiel

Satz

Die Sprache L = {w ∈ {a, b}

| w ist Palindrom} ist nicht regul¨ ar.

Sei n ∈ N

beliebig.

Wir w¨ ahlen z = a

ba

∈ L als Wort mit Mindestl¨ ange n. Sei z = uvw mit |uv| ≤ n und |v| ≥ 1.

Dann ist uv

w = a

ba

mit k = n − |v| < n kein Palindrom.

Mit dem Pumping-Lemma folgt, dass L nicht regul¨ ar ist.

Beispiel

Satz

Die Sprache L = {w ∈ {a, b}

| w ist Palindrom} ist nicht regul¨ ar.

Sei n ∈ N

beliebig.

Wir w¨ ahlen z = a

ba

∈ L als Wort mit Mindestl¨ ange n. Sei z = uvw mit |uv| ≤ n und |v| ≥ 1.

Dann ist uv

w = a

ba

mit k = n − |v| < n kein Palindrom.

Mit dem Pumping-Lemma folgt, dass L nicht regul¨ ar ist.

Beispiel

Satz

Die Sprache L = {w ∈ {a, b}

| w ist Palindrom} ist nicht regul¨ ar.

Sei n ∈ N

beliebig.

Wir w¨ ahlen z = a

ba

∈ L als Wort mit Mindestl¨ ange n.

Sei z = uvw mit |uv| ≤ n und |v| ≥ 1.

Dann ist uv

w = a

ba

mit k = n − |v| < n kein Palindrom.

Mit dem Pumping-Lemma folgt, dass L nicht regul¨ ar ist.

Beispiel

Satz

Die Sprache L = {w ∈ {a, b}

| w ist Palindrom} ist nicht regul¨ ar.

Sei n ∈ N

beliebig.

Wir w¨ ahlen z = a

ba

∈ L als Wort mit Mindestl¨ ange n.

Sei z = uvw mit |uv| ≤ n und |v| ≥ 1.

Dann ist uv

w = a

ba

mit k = n − |v| < n kein Palindrom.

Mit dem Pumping-Lemma folgt, dass L nicht regul¨ ar ist.

Beispiel

Satz

Die Sprache L = {w ∈ {a, b}

| w ist Palindrom} ist nicht regul¨ ar.

Sei n ∈ N

beliebig.

Wir w¨ ahlen z = a

ba

∈ L als Wort mit Mindestl¨ ange n.

Sei z = uvw mit |uv| ≤ n und |v| ≥ 1.

Dann ist uv

w = a

ba

mit k = n − |v| < n kein Palindrom.

Mit dem Pumping-Lemma folgt, dass L nicht regul¨ ar ist.

Pumping-Eigenschaft ist nicht hinreichend

Lemma

Es gibt Sprachen, die die Pumping-Eigenschaft erf¨ ullen aber nicht regul¨ ar sind. Die Sprache L = {a

b

c

| k, l ∈ N } ∪ {b, c}

ist eine solche Sprache.

Beweis, dass L die Pumping-Eigenschaft erf¨ ullt:

Sei n ≥ 1 beliebig. Sei z ∈ L mit |z| ≥ n

Wenn z ∈ {b, c}

, zerlege z = uvw mit u = ε,v das erste Symbol von z und w der n − 1-Zeichen lange Suffix von z. Offensichtlich gilt

|v| ≥ 1, |uv| ≤ n und uv

w ∈ {b, c}

⊆ L f¨ ur alle i ∈ N.

Wenn z von der Form a

b

c

ist und z 6∈ {b, c}

, dann muss k > 0 gelten und wir zerlegen z = uvw mit u = ε, v = a, w = a

b

c

. Da |v| = 1, |uv| ≤ n und uv

w = a

b

c

∈ L f¨ ur alle i ∈ N , erf¨ ullt L die Eigenschaften des Pumping-Lemmas.

Beweis, dass L nicht regul¨ ar ist folgt sp¨ ater!

Pumping-Eigenschaft ist nicht hinreichend

Lemma

Es gibt Sprachen, die die Pumping-Eigenschaft erf¨ ullen aber nicht regul¨ ar sind. Die Sprache L = {a

b

c

| k, l ∈ N } ∪ {b, c}

ist eine solche Sprache.

Beweis, dass L die Pumping-Eigenschaft erf¨ ullt:

Sei n ≥ 1 beliebig.

Sei z ∈ L mit |z| ≥ n

Wenn z ∈ {b, c}

, zerlege z = uvw mit u = ε,v das erste Symbol von z und w der n − 1-Zeichen lange Suffix von z. Offensichtlich gilt

|v| ≥ 1, |uv| ≤ n und uv

w ∈ {b, c}

⊆ L f¨ ur alle i ∈ N.

Wenn z von der Form a

b

c

ist und z 6∈ {b, c}

, dann muss k > 0 gelten und wir zerlegen z = uvw mit u = ε, v = a, w = a

b

c

. Da |v| = 1, |uv| ≤ n und uv

w = a

b

c

∈ L f¨ ur alle i ∈ N , erf¨ ullt L die Eigenschaften des Pumping-Lemmas.

Beweis, dass L nicht regul¨ ar ist folgt sp¨ ater!

Pumping-Eigenschaft ist nicht hinreichend

Lemma

Es gibt Sprachen, die die Pumping-Eigenschaft erf¨ ullen aber nicht regul¨ ar sind. Die Sprache L = {a

b

c

| k, l ∈ N } ∪ {b, c}

ist eine solche Sprache.

Beweis, dass L die Pumping-Eigenschaft erf¨ ullt:

Sei n ≥ 1 beliebig.

Sei z ∈ L mit |z| ≥ n

Wenn z ∈ {b, c}

, zerlege z = uvw mit u = ε,v das erste Symbol von z und w der n − 1-Zeichen lange Suffix von z. Offensichtlich gilt

|v| ≥ 1, |uv| ≤ n und uv

w ∈ {b, c}

⊆ L f¨ ur alle i ∈ N.

Wenn z von der Form a

b

c

ist und z 6∈ {b, c}

, dann muss k > 0 gelten und wir zerlegen z = uvw mit u = ε, v = a, w = a

b

c

. Da |v| = 1, |uv| ≤ n und uv

w = a

b

c

∈ L f¨ ur alle i ∈ N , erf¨ ullt L die Eigenschaften des Pumping-Lemmas.

Beweis, dass L nicht regul¨ ar ist folgt sp¨ ater!

Pumping-Eigenschaft ist nicht hinreichend

Lemma

Es gibt Sprachen, die die Pumping-Eigenschaft erf¨ ullen aber nicht regul¨ ar sind. Die Sprache L = {a

b

c

| k, l ∈ N } ∪ {b, c}

ist eine solche Sprache.

Beweis, dass L die Pumping-Eigenschaft erf¨ ullt:

Sei n ≥ 1 beliebig.

Sei z ∈ L mit |z| ≥ n

Wenn z ∈ {b, c}

, zerlege z = uvw mit u = ε,v das erste Symbol von z und w der n − 1-Zeichen lange Suffix von z. Offensichtlich gilt

|v| ≥ 1, |uv| ≤ n und uv

w ∈ {b, c}

⊆ L f¨ ur alle i ∈ N.

Wenn z von der Form a

b

c

ist und z 6∈ {b, c}

, dann muss k > 0 gelten und wir zerlegen z = uvw mit u = ε, v = a, w = a

b

c

. Da |v| = 1, |uv| ≤ n und uv

w = a

b

c

∈ L f¨ ur alle i ∈ N , erf¨ ullt L die Eigenschaften des Pumping-Lemmas.

Beweis, dass L nicht regul¨ ar ist folgt sp¨ ater!

Pumping-Eigenschaft ist nicht hinreichend

Lemma

Es gibt Sprachen, die die Pumping-Eigenschaft erf¨ ullen aber nicht regul¨ ar sind. Die Sprache L = {a

b

c

| k, l ∈ N } ∪ {b, c}

ist eine solche Sprache.

Beweis, dass L die Pumping-Eigenschaft erf¨ ullt:

Sei n ≥ 1 beliebig.

Sei z ∈ L mit |z| ≥ n

Wenn z ∈ {b, c}

, zerlege z = uvw mit u = ε,v das erste Symbol von z und w der n − 1-Zeichen lange Suffix von z. Offensichtlich gilt

|v| ≥ 1, |uv| ≤ n und uv

w ∈ {b, c}

⊆ L f¨ ur alle i ∈ N.

Wenn z von der Form a

b

c

ist und z 6∈ {b, c}

, dann muss k > 0 gelten und wir zerlegen z = uvw mit u = ε, v = a, w = a

b

c

. Da |v| = 1, |uv| ≤ n und uv

w = a

b

c

∈ L f¨ ur alle i ∈ N , erf¨ ullt L die Eigenschaften des Pumping-Lemmas.

Beweis, dass L nicht regul¨ ar ist folgt sp¨ ater!

Pumping-Eigenschaft ist nicht hinreichend

Lemma

Es gibt Sprachen, die die Pumping-Eigenschaft erf¨ ullen aber nicht regul¨ ar sind. Die Sprache L = {a

b

c

| k, l ∈ N } ∪ {b, c}

ist eine solche Sprache.

Beweis, dass L die Pumping-Eigenschaft erf¨ ullt:

Sei n ≥ 1 beliebig.

Sei z ∈ L mit |z| ≥ n

Wenn z ∈ {b, c}

, zerlege z = uvw mit u = ε,v das erste Symbol von z und w der n − 1-Zeichen lange Suffix von z. Offensichtlich gilt

|v| ≥ 1, |uv| ≤ n und uv

w ∈ {b, c}

⊆ L f¨ ur alle i ∈ N.

Wenn z von der Form a

b

c

ist und z 6∈ {b, c}

, dann muss k > 0

gelten und wir zerlegen z = uvw mit u = ε, v = a, w = a

b

c

.

Da |v| = 1, |uv| ≤ n und uv

w = a

b

c

∈ L f¨ ur alle i ∈ N ,

erf¨ ullt L die Eigenschaften des Pumping-Lemmas.

Mengendiagramm

Regul¨ are Sprachen Sprachen, die die Pumping-Eigenschaft erf¨ ullen

Alle Sprachen

Wichtige Konsequenz

Das Pumping-Lemma kann nicht verwendet werden,

um zu zeigen, dass eine Sprache regul¨ ar ist.

Mengendiagramm

Regul¨ are Sprachen Sprachen, die die Pumping-Eigenschaft erf¨ ullen

Alle Sprachen

Wichtige Konsequenz

Das Pumping-Lemma kann nicht verwendet werden,

um zu zeigen, dass eine Sprache regul¨ ar ist.

Zusammenfassung Pumping-Lemma

Das Pumping-Lemma formuliert eine notwendige Bedingung f¨ ur regul¨ are Sprachen:

Sehr informell:

W¨ orter einer regul¨ aren Sprache k¨ onnen aufgepumpt wer- den, wenn sie lang genug sind.

Anwendung:

L erf¨ ullt die Pumping-Eigenschaft nicht

= ⇒ L nicht regul¨ ar Das Pumping-Lemma gibt keine hinreichende Bedingung f¨ ur regul¨ are Sprachen, d.h. Regularit¨ at kann nicht mit dem Pumping-Lemma gezeigt werden.

Nicht-Regularit¨ at widerlegen funktioniert nicht in jedem Fall

mit dem Pumping-Lemma!

Die Nerode-Relation

Definition (Nerode-Relation ∼

)

Sei L eine formale Sprache ¨ uber Σ. Die Nerode-Relation

∼

⊆ Σ

× Σ

zu L ist definiert f¨ ur alle Worte u, v ∈ Σ

durch:

u ∼

v ⇐⇒ ∀w ∈ Σ

: uw ∈ L ⇐⇒ vw ∈ L

Informell: u ∼

v, wenn sich ihr Enthaltensein in L gleich verh¨ alt bez¨ uglich beliebiger Erweiterung um denselben Suffix.

Beispiel: L = {ab

| n ∈ N } Gilt a ∼

ab ?

X

Gilt a ∼

b ?

× (z.B. w = ε oder w = b

)

Gilt ε ∼

a ?

× (z.B. w = b

oder w = ab

)

Gilt aau ∼

aav mit u, v ∈ {a, b}

?

X

Gilt ab

∼

ab

?

X

Gilt aau ∼

bv mit u, v ∈ {a, b}

?

X

Die Nerode-Relation

Definition (Nerode-Relation ∼

)

Sei L eine formale Sprache ¨ uber Σ. Die Nerode-Relation

∼

⊆ Σ

× Σ

zu L ist definiert f¨ ur alle Worte u, v ∈ Σ

durch:

u ∼

v ⇐⇒ ∀w ∈ Σ

: uw ∈ L ⇐⇒ vw ∈ L

Informell: u ∼

v, wenn sich ihr Enthaltensein in L gleich verh¨ alt bez¨ uglich beliebiger Erweiterung um denselben Suffix.

Beispiel: L = {ab

| n ∈ N } Gilt a ∼

ab ?

X

Gilt a ∼

b ?

× (z.B. w = ε oder w = b

)

Gilt ε ∼

a ?

× (z.B. w = b

oder w = ab

)

Gilt aau ∼

aav mit u, v ∈ {a, b}

?

X

Gilt ab

∼

ab

?

X

Gilt aau ∼ bv mit u, v ∈ {a, b}

?

X

Die Nerode-Relation

Definition (Nerode-Relation ∼

)

Sei L eine formale Sprache ¨ uber Σ. Die Nerode-Relation

∼

⊆ Σ

× Σ

zu L ist definiert f¨ ur alle Worte u, v ∈ Σ

durch:

u ∼

v ⇐⇒ ∀w ∈ Σ

: uw ∈ L ⇐⇒ vw ∈ L

Informell: u ∼

v, wenn sich ihr Enthaltensein in L gleich verh¨ alt bez¨ uglich beliebiger Erweiterung um denselben Suffix.

Beispiel: L = {ab

| n ∈ N }

Gilt a ∼

ab ? X

Gilt a ∼

b ?

× (z.B. w = ε oder w = b

)

Gilt ε ∼

a ?

× (z.B. w = b

oder w = ab

)

Gilt aau ∼

aav mit u, v ∈ {a, b}

?

X

Gilt ab

∼

ab

?

X

X

Die Nerode-Relation

Definition (Nerode-Relation ∼

)

Sei L eine formale Sprache ¨ uber Σ. Die Nerode-Relation

∼

⊆ Σ

× Σ

zu L ist definiert f¨ ur alle Worte u, v ∈ Σ

durch:

u ∼

v ⇐⇒ ∀w ∈ Σ

: uw ∈ L ⇐⇒ vw ∈ L

Informell: u ∼

v, wenn sich ihr Enthaltensein in L gleich verh¨ alt bez¨ uglich beliebiger Erweiterung um denselben Suffix.

Beispiel: L = {ab

| n ∈ N }

Gilt a ∼

ab ? X

Gilt a ∼

b ? × (z.B. w = ε oder w = b

) Gilt ε ∼

a ?

× (z.B. w = b

oder w = ab

)

Gilt aau ∼

aav mit u, v ∈ {a, b}

?

X

Gilt ab

∼

ab

?

X

Gilt aau ∼ bv mit u, v ∈ {a, b}

?

X

Die Nerode-Relation

Definition (Nerode-Relation ∼

)

Sei L eine formale Sprache ¨ uber Σ. Die Nerode-Relation

∼

⊆ Σ

× Σ

zu L ist definiert f¨ ur alle Worte u, v ∈ Σ

durch:

u ∼

v ⇐⇒ ∀w ∈ Σ

: uw ∈ L ⇐⇒ vw ∈ L

Informell: u ∼

v, wenn sich ihr Enthaltensein in L gleich verh¨ alt bez¨ uglich beliebiger Erweiterung um denselben Suffix.

Beispiel: L = {ab

| n ∈ N }

Gilt a ∼

ab ? X

Gilt a ∼

b ? × (z.B. w = ε oder w = b

) Gilt ε ∼

a ? × (z.B. w = b

oder w = ab

) Gilt aau ∼

aav mit u, v ∈ {a, b}

?

X

Gilt ab

∼

ab

?

X

X

Die Nerode-Relation

Definition (Nerode-Relation ∼

)

Sei L eine formale Sprache ¨ uber Σ. Die Nerode-Relation

∼

⊆ Σ

× Σ

zu L ist definiert f¨ ur alle Worte u, v ∈ Σ

durch:

u ∼

v ⇐⇒ ∀w ∈ Σ

: uw ∈ L ⇐⇒ vw ∈ L

Informell: u ∼

v, wenn sich ihr Enthaltensein in L gleich verh¨ alt bez¨ uglich beliebiger Erweiterung um denselben Suffix.

Beispiel: L = {ab

| n ∈ N }

Gilt a ∼

ab ? X

Gilt a ∼

b ? × (z.B. w = ε oder w = b

) Gilt ε ∼

a ? × (z.B. w = b

oder w = ab

) Gilt aau ∼

aav mit u, v ∈ {a, b}

? X

Gilt ab

∼

ab

?

X

Gilt aau ∼ bv mit u, v ∈ {a, b}

?

X