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Abgabe: Dienstag, 11.11.03 in der Vorlesung

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Prof. Dr. M. Rapoport WS 2003/04 Dr. U. G¨ ortz

Lineare Algebra I 4. ¨ Ubungsblatt

Abgabe: Dienstag, 11.11.03 in der Vorlesung

Aufgabe 1

a) Welche der folgenden Teilmengen von R

3

sind linear abh¨ angig?

M

1

=

 0 0 0

 ,

 1 5 7

 ,

 3 2 1

, M

2

=

 3 5 2

 ,

 1 1 1

 ,

 3 6 2

 ,

M

3

=

 3 5 2

 ,

 1 2 3

 ,

 e 0

− π

 ,

 2 5 7

 .

b) Zeige, dass

B =

 

 

 3 5 2 2

 ,

 1 1 1

− 1

 ,

 3 6 2 2

 ,

 4 7 3 2

 

 

eine Basis von Q

4

ist. Ersetze gem¨ aß dem Basiserg¨ anzungssatz zwei der Vekto-

ren aus B durch

 1 3 0 2

 und

− 2 1 2 1

, so dass wieder eine Basis vorliegt.

Aufgabe 2

a) Es seien die folgenden Vektoren in V = Q

4

gegeben:

a =

 1 2 0

− 3

, b =

 0

− 1 1 0

, c =

 2

− 4 3

− 1

, d =

 1 0 1

− 2

 .

Sei U der von a, b, c, d erzeugte Unterraum. Gib eine Basis von U an.

b) Seien nun

W =

*

 2 3

− 1 1

 ,

 0 1 0 0

 ,

 3 6

− 2 2

 +

, W

0

=

*

 1 0 0 4

 ,

 4 0 0 1

 +

zwei Unterr¨ aume von Q

4

. Gib Basen von W ∩ W

0

und W + W

0

an.

Hinweis: Dimensionsformel f¨ ur Untervektorr¨ aume.

(2)

Aufgabe 3

a) Gib ein Beispiel eines Vektorraums V und einer Teilmenge M ⊆ V an, so dass f¨ ur alle v, w ∈ M mit v 6 = w die Vektoren v und w linear unabh¨ angig sind, M jedoch linear abh¨ angig ist.

b) Sei K ein K¨ orper, V ein K-Vektorraum und M = { v

1

, . . . , v

n

} ⊆ V eine Teilmenge mit 0 6∈ M. Zeige, dass M genau dann linear unabh¨ angig ist, wenn f¨ ur alle i ∈ { 1, 2, . . . , n − 1 } gilt:

h v

1

, . . . , v

i

i ∩ h v

i+1

, . . . , v

n

i = { 0 } .

Aufgabe 4

Sei K ein K¨ orper, a = (a

1

, . . . , a

n

), b = (b

1

, . . . , b

n

) ∈ K

n

. Zeige: a und b sind

genau dann linear unabh¨ angig, wenn a

i

b

j

− a

j

b

i

6 = 0 f¨ ur mindestens ein Paar

i, j.

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