Theorie der kondensierten Materie Univ.-Prof. Andreas L¨auchli und Dr. Thomas Lang

Theorie der kondensierten Materie

Univ.-Prof. Andreas L¨auchli und Dr. Thomas Lang

Blatt 11 16.12.2015 Aufgabe 1: Semiklassische Approximation: Spinwellen

Betrachten Sie eine Spinkette der L¨ange N, deren Dynamik durch den Heisenberg-Hamiltonian H=−J

N−1

X

i=1

S_i·S_i+1, (1)

generiert wird. Hier sei Si ein Spin-S Operator (S²_i =S(S+ 1)), dessen Kompontenten den Kommu- tatorrelationen

[S_mⁱ , S_n^j] = iδ_mnǫ^ijkS_n^k, (2) gen¨ugen. Es seien ferner Spinaufsteige und -absteigeoperatoren, S_m^± =S_m^x ±iSm^y gegeben.

(a) Die Holstein-Primakoff-Transformation dr¨uckt die Spinoperatoren durch bosonische Erzeuger und Vernichter,a^†m undam mit [am, a^†n] =δmn, aus. Zeigen Sie, dass die Transformation

S_m⁻ = a^†_m q

2S−a^†mam, (3)

S_m⁺ = q

2S−a^†mamam, (4)

S_m^z = S−a^†_ma_m, (5)

den Kommutatorrelationen f¨urS_m⁺ und S_m⁻ sowieS_m⁺ undS^z_m gen¨ugen.

(b) Betrachten Sie nun den Fall J > 0 (Ferromagnet). Dr¨ucken Sie Gleichung (1) mit Hilfe der Holtstein-Primakoff-Transformation durch bosonische Operatoren aus und nehme ferner an, dass S≫1 (und auch S≫n_i) sowieN → ∞. Zeige Sie, dass

H =−J N S²

| {z }

const.

+ X

k∈BZ

ω_ka^†_ka_k+O(S⁰). (6) Wie ist das asymptotische Verhalten der Magnondispersionω_k f¨urk→0?

(c) Im Fall des Antiferromagneten (J < 0) ist der klassiche Grundzustand durch eine alternierende Spinkonfiguration | ↑↓↑↓↑↓...i gegeben (N´eel Zustand). Um die oben entwickelte Maschinerie benut- zen zu k¨onnen, machen wir eine Untergitterrotation, die den Spin auf jeder ungeraden Seite um π entlang der x-Achse rotiert, d.h. Sm → Sm f¨urm gerade und Sm → S˜m f¨ur m ungerade. Schreiben Sie den Hamiltonian des Antiferromagneten in den neuen Spinvektoren und diagonalisieren Sie ihn mit Hilfe der Holstein-Primakoff-Transformation f¨urS≫1. Wie ist das Magnonspektrum im Fall des Antiferromagneten?

Hinweis: Verwenden Sie die Operatoren a_j undb_j f¨ur die verschiedenen Untergitter. Man erh¨alt einen Hamiltonian der Form H =P

q(...a^†qa_q+...b^†qb_q+...a_qb_q+...a^†qb^†q), den man mit Hilfe einer Bogoliu- bovrotation diagonalisieren kann.

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Blatt 11 16.12.2015

Aufgabe 2: Jordan-Wigner-Transformation

Wir kommen nochmal auf das ferromagnetische Spin-1/2-Heisenbergmodell zur¨uck, das jedoch eine Anisotropie in z-Richtung hat:

H =−

N−1

X

i=1

J_⊥

2 S_i⁺S_i⁻₊₁+ h.c.

+J_zS_i^zS_i^z+1

. (7)

Die Holstein-Primakoff-Transformation dr¨uckt die Spins durch bosonische Quasiteilchen (“Magonen”) aus. Da ein Spin-1/2 nur zwei Zust¨ande annehmen kann, stellt sich die Frage, ob man diese auch durch spinlose Fermionen beschreiben kann, deren lokaler Hilberraum durch das Pauliprinzip auch nur zwei Zust¨ande (n_f = 0,1) hat.

(a) Zeigen Sie, dass die Transformation

S_m⁺ = f_m^†e^iπPl<mnl , (8)

S_m⁻ = e^−iπPl<mnlf_m, (9)

S_m^z = f_m^†f_m−1

2 , (10)

die Spinkommutatorrelationen erf¨ullt, wobei f_i und f_i^†fermionische Vernichter und Erzeuger sind.

(b) Dr¨ucken Sie Gleichung (7) durch die in (8)-(10) gegebenen Transformation aus. Was passiert f¨ur J_z= 0?

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