Invariante Flächensummen

(1)

Invariante Flächensummen

Hans Walser

www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20211111-13

(2)

www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20211111-13 Lakritze

(3)

Invariante Flächensumme

(4)

Als ich das erste Mal auf dem Dampfwagen saß

(5)

Als ich das erste Mal auf dem Dampfwagen saß Ganze Periodenlänge. Schubspiegelsymmetrie

(6)

Achterbahn (Lissajous-Kurve)

(7)

Externer Pivot

(8)

cos t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁼ ⁰ ^cos

( )

^t ⁺ ^k ^d^k

0 2π

∫

⁼ ⁰

sin t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁼ ⁰ ^sin

( )

^t ⁺ ^k ^d^k

0 2π

∫

⁼ ⁰

cos² t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁼ ⁿ₂ ^cos²

( )

^t ⁺ ^k ^d^k

0 2π

∫

⁼ ^π

sin² t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁼ ⁿ₂ ^sin²

( )

^t ⁺ ^k ^d^k

0 2π

∫

⁼ ^π

Beweise?

Schlüsselformeln

(9)

cos t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁼ ⁰ ^cos

( )

^t ⁺ ^k ^d^k

0 2π

∫

⁼ ⁰

sin t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁼ ⁰ ^sin

( )

^t ⁺ ^k ^d^k

0 2π

∫

⁼ ⁰

cos² t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁼ ⁿ₂ ^cos²

( )

^t ⁺ ^k ^d^k

0 2π

∫

⁼ ^π

sin² t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁼ ⁿ₂ ^sin²

( )

^t ⁺ ^k ^d^k

0 2π

∫

⁼ ^π

Beweise?

Schlüsselformeln

(10)

cos t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁼ ⁰ ^cos

( )

^t ⁺ ^k ^d^k

0 2π

∫

⁼ ⁰

sin t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁼ ⁰ ^sin

( )

^t ⁺ ^k ^d^k

0 2π

∫

⁼ ⁰

cos² t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁼ ⁿ₂ ^cos²

( )

^t ⁺ ^k ^d^k

0 2π

∫

⁼ ^π

sin² t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁼ ⁿ₂ ^sin²

( )

^t ⁺ ^k ^d^k

0 2π

∫

⁼ ^π

v!_k = cos t + k ²^π

(

n

)

sin t + k ²^π

(

n

)

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

v!₁ v!₂

v!₃ v!₄ v!₅

t Beweis 1: regelmäßiges n-Eck

Schlüsselformeln

(11)

cos t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁼ ⁰ ^cos

( )

^t ⁺ ^k ^d^k

0 2π

∫

⁼ ⁰

sin t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁼ ⁰ ^sin

( )

^t ⁺ ^k ^d^k

0 2π

∫

⁼ ⁰

cos² t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁼ ⁿ₂ ^cos²

( )

^t ⁺ ^k ^d^k

0 2π

∫

⁼ ^π

sin² t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁼ ⁿ₂ ^sin²

( )

^t ⁺ ^k ^d^k

0 2π

∫

⁼ ^π

Beweis 1: regelmäßiges n-Eck Schlüsselformeln

v!_k = cos t + k ²^π

(

n

)

sin t + k ²^π

(

n

)

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

v!₁ v!₂

v!₂

v!₃ v!₃

v!₄ v!₄

v!₅ v!₅

t

(12)

Beweis 2: komplexe Zahlen cos t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁺ ⁱ ^sin

(

^t ⁺ ^k ²_n^π

)

k=1

∑

n ⁼ ^eⁱ

(

^t⁺^k²ⁿ^π

)

k=1

∑

n ⁼ êît êîk ²ⁿ^π k=1

∑

n

! "# $? #

(13)

(

n

)

k=1

∑

n ⁺ ⁱ ^sin

(

^t ⁺ ^k ²_n^π

)

k=1

∑

n ⁼ ^eⁱ

(

^t⁺^k²ⁿ^π

)

k=1

∑

n

! "# $? #

(14)

(

n

)

k=1

∑

n ⁺ ⁱ ^sin

(

^t ⁺ ^k ²_n^π

)

k=1

∑

n ⁼ ^eⁱ

(

^t⁺^k²ⁿ^π

)

k=1

∑

n

! "# $? #

(15)

cos t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁺ ⁱ ^sin

(

^t ⁺ ^k ²_n^π

)

k=1

∑

n ⁼ ^eⁱ

(

^t⁺^k²ⁿ^π

)

k=1

∑

n

! "# $? #

e^ik ²ⁿ^π

k=1

∑

n ⁼ ^⎛_⎝⎜^eⁱ²ⁿ^π ^⎞_⎠⎟^k k=1

∑

n ⁼ ^eⁱ²ⁿ^π ¹⁻ ^e

i2π

⎛ n

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

n

1−eⁱ²ⁿ^π

Geometrische Reihe: q = eⁱ²ⁿ^π Beweis 2: komplexe Zahlen

(16)

cos t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁺ ⁱ ^sin

(

^t ⁺ ^k ²_n^π

)

k=1

∑

n ⁼ ^eⁱ

(

^t⁺^k²ⁿ^π

)

k=1

∑

n

! "# $? #

e^ik ²ⁿ^π

k=1

∑

n ⁼ ^⎛_⎝⎜^eⁱ²ⁿ^π ^⎞_⎠⎟^k k=1

∑

n ⁼ ^eⁱ²ⁿ^π ¹⁻ ^e

i2π

⎛ n

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

n

1−eⁱ²ⁿ^π

Geometrische Reihe: q = eⁱ²ⁿ^π Beweis 2: komplexe Zahlen

(17)

cos t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁺ ⁱ ^sin

(

^t ⁺ ^k ²_n^π

)

k=1

∑

n ⁼ ^eⁱ

(

^t⁺^k²ⁿ^π

)

k=1

∑

n

! "# $? #

e^ik ²ⁿ^π

k=1

∑

n ⁼ ^⎛_⎝⎜^eⁱ²ⁿ^π ^⎞_⎠⎟^k k=1

∑

n ⁼ ^eⁱ²ⁿ^π ¹⁻ ^e

i2π

⎛ n

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

n

1−eⁱ²ⁿ^π

1− ⎛eⁱ²ⁿ^π

⎝⎜

⎞

⎠⎟

n

= 1− eⁱ²ⁿ^πⁿ = 1− e²^πⁱ = 1−1= 0 Beweis 2: komplexe Zahlen

Zähler:

(18)

cos t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁺ ⁱ ^sin

(

^t ⁺ ^k ²_n^π

)

k=1

∑

n ⁼ ^eⁱ

(

^t⁺^k²ⁿ^π

)

k=1

∑

n

! "# $? #

e^ik ²ⁿ^π

k=1

∑

n ⁼ ^⎛_⎝⎜^eⁱ²ⁿ^π ^⎞_⎠⎟^k k=1

∑

n ⁼ ^eⁱ²ⁿ^π ¹⁻ ^e

i2π

⎛ n

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

n

1−eⁱ²ⁿ^π

⎝⎜

⎞

⎠⎟

n

Zähler:

(19)

cos t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁺ ⁱ ^sin

(

^t ⁺ ^k ²_n^π

)

k=1

∑

n ⁼ ^eⁱ

(

^t⁺^k²ⁿ^π

)

k=1

∑

n

! "# $? #

e^ik ²ⁿ^π

k=1

∑

n ⁼ ^⎛_⎝⎜^eⁱ²ⁿ^π ^⎞_⎠⎟^k k=1

∑

n ⁼ ^eⁱ²ⁿ^π ¹⁻ ^e

i2π

⎛ n

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

n

1−eⁱ²ⁿ^π

⎝⎜

⎞

⎠⎟

n

Zähler:

Eulersche Formel

(20)

cos t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁼ ⁰ ^cos

( )

^t ⁺ ^k ^d^k

0 2π

∫

⁼ ⁰

sin t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁼ ⁰ ^sin

( )

^t ⁺ ^k ^d^k

0 2π

∫

⁼ ⁰

cos² t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁼ ⁿ₂ ^cos²

( )

^t ⁺ ^k ^d^k

0 2π

∫

⁼ ^π

sin² t + k ²^π

(

n

)

k=1

∑

n ⁼ ⁿ₂ ^sin²

( )

^t ⁺ ^k ^d^k

0 2π

∫

⁼ ^π

Beweise?

Schlüsselformeln

e ² ^π ⁱ = 1

⇔

Eulersche Formel

(21)

Pythagoras

(22)

Pythagoras

Abend Morgen

(23)

Pythagoras bei Nacht

Abend Morgen

(24)

Kopernikus

(25)

Kopernikus

(26)

Kopernikus

(27)

(28)

Apollonios (Apollonios von Perge, 265 BC-190 BC)

al-Sijzi

(Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

(29)

A₁, ... , A_n drehen um Schwerpunkt S

(30)

A₁, ... , A_n drehen um Schwerpunkt S

(31)

A₁, ... , A_n drehen um Schwerpunkt S C ein externer Punkt

Summe der Quadrate der Abstände von C zu den Punkten A₁, ... , A_n invariant.

(32)

Beweis:

Ursprung in den Schwerpunkt S A_k:(x_k, y_k), k = 1, ... , n

C:(x_C, y_C)

x_k

k=1

∑

n ⁼ ^0, ^y^k k=1

∑

n ⁼ ⁰

(33)

A_k

(

x_k , y_k

)

^, ^k ⁼ ^1,...,ⁿ

C x

(

_C, y_C

)

Beweis:

Ursprung in den Schwerpunkt S

x_k

k=1

∑

n ⁼ ^0, ^y^k k=1

∑

n ⁼ ⁰

(34)

Beweis:

Ursprung in den Schwerpunkt S

x_k

k=1

∑

n ⁼ ^0, ^y^k k=1

∑

n ⁼ ⁰

A_k

(

x_k , y_k

)

^, ^k ⁼ ^1,...,ⁿ

C x

(

_C, y_C

)

(35)

d C

(

, A_k

)

²

k=1

∑

n ⁼ ^⎛_⎝⎜

(

^x^k ⁻ ^x^C

)

² ⁺

(

^y^k ⁻ ^y^C

)

²^⎞_⎠⎟

k=1

∑

n

= _k

^∑

ⁿ₌₁

(

x_k² + y_k²

)

⁻ ²^x^C _k

^∑

ⁿ₌₁^x^k

=0

!

− 2y_C y_k

k=1

∑

n

=0

!

+ n x

(

_C² + y_C²

)

= d S

(

, A_k

)

²

k=1

∑

n

konstant

! "## ##$

+ n d SC

( )

²

konstant

!"# $#

(36)

d C

(

, A_k

)

²

k=1

∑

n ⁼ ^⎛_⎝⎜

(

^x^k ⁻ ^x^C

)

² ⁺

(

^y^k ⁻ ^y^C

)

²^⎞_⎠⎟

k=1

∑

n

= _k

^∑

ⁿ₌₁

(

x_k² + y_k²

)

⁻ ²^x^C _k

^∑

ⁿ₌₁^x^k

=0

!

− 2y_C y_k

k=1

∑

n

=0

!

+ n x

(

_C² + y_C²

)

= d S

(

, A_k

)

²

k=1

∑

n

konstant

! "## ##$

+ n d SC

( )

²

konstant

!"# $#

(37)

d C

(

, A_k

)

²

k=1

∑

n ⁼ ^⎛_⎝⎜

(

^x^k ⁻ ^x^C

)

² ⁺

(

^y^k ⁻ ^y^C

)

²^⎞_⎠⎟

k=1

∑

n

= _k

^∑

ⁿ₌₁

(

x_k² + y_k²

)

⁻ ²^x^C _k

^∑

ⁿ₌₁^x^k

=0

!

− 2y_C y_k

k=1

∑

n

=0

!

+ n x

(

_C² + y_C²

)

= d S

(

, A_k

)

²

k=1

∑

n

konstant

! "## ##$

+ n d SC

( )

²

konstant

!"# $#

(38)

d C

(

, A_k

)

²

k=1

∑

n ⁼ ^⎛_⎝⎜

(

^x^k ⁻ ^x^C

)

² ⁺

(

^y^k ⁻ ^y^C

)

²^⎞_⎠⎟

k=1

∑

n

= _k

^∑

ⁿ₌₁

(

x_k² + y_k²

)

⁻ ²^x^C _k

^∑

ⁿ₌₁^x^k

=0

!

− 2y_C y_k

k=1

∑

n

=0

!

+ n x

(

_C² + y_C²

)

= d S

(

, A_k

)

²

k=1

∑

n

konstant

! "## ##$

+ n d SC

( )

²

konstant

!"# $#

(39)

a b

A B

C sc

c

2 c

2

S

(40)

a b

A B

C sc

c

2 c

2

a² + b² = 2 ^c

( )

2 ² ⁺ ^2s^c²

S

(41)

rot = blau Apollonios

al-Sijzi

a² + b² = 2 ^c

( )

2 ² ⁺ ^2s^c²

(42)

Sonderfall

rot = blau

s_c = ¹₂ c Sonderfall Pythagoras

a² + b² = 2 ^c

( )

2 ² ⁺ ^2s^c²

(43)

rot = blau Apollonios / al-Sijzi

a² + b² = 2 ^c

( )

2 ² ⁺ ^2s^c²

(44)

a² + b² = 2 ^c

( )

2 ² ⁺ ^2s^c²

(45)

a² + b² = 2 ^c

( )

2 ² ⁺ ^2s^c²

(46)

Modell

(47)

rot = blau

a² + b² = 2 ^c

( )

2 ² ⁺ ^2s^c²

(48)

rot = blau

a² + b² = 2 ^c

( )

2 ² ⁺ ^2s^c²

(49)

rot = blau

a² + b² = 2 ^c

( )

2 ² ⁺ ^2s^c²

(50)

rot = blau

(51)

rot = blau

(52)

Papillon

Schließungsfigur

rot = blau

(53)

Papillon

Schließungsfigur

Beweis der Schließungseigenschaft:

Walser, H. (2021): Spiel mit Quadraten MU Der Mathematikunterricht

Jahrgang 67. Heft 3. August 2021. 17-27

(54)

Papillon

rot = blau

(55)

rot/grün = blau/gelb

ganzzahlig

(56)

6² + 7² = 2² + 9²

36 + 49 = 4 + 81= 85 ganzzahlig

(57)

6² + 7² = 2² + 9²

36 + 49 = 4 + 81= 85

9³ +10³ = 1³ +12³ 729 +1000 = 1+1728

S. Ramanujan 1887-1920 ganzzahlig

(58)

9³ +10³ = 1³ +12³ 729 +1000 = 1+1728

S. Ramanujan 1887-1920

rot = blau

(59)

9³ +10³ = 1³ +12³ 729 +1000 = 1+1728

S. Ramanujan 1887-1920

(60)

59

⁴

+ 158

⁴

= 133

⁴

+ 134

⁴

= 635318657

(61)

Papillon

Schließungsfigur

rot = blau

(62)

Zurück zu Pythagoras

rot = blau

(63)

(64)

rot = blau

(65)

rot = blau

(66)

rot = blau

(67)

Papillon

(68)

Papillon

Umkreise

(69)

Papillon

Gemeinsamer Schnittpunkt

Umkreise

(70)

Papillon Quadrat

Umkreise

(71)

Papillon

(72)

Papillon

Strecke mit Mittelpunkt

(73)

rot = blau Papillon

Strecke mit Mittelpunkt Strecke mit Mittelpunkt

(74)

rot = blau Papillon

Strecke mit Mittelpunkt Strecke mit Mittelpunkt orthogonal

gleich lang

(75)

rot = blau Papillon

Drei kollineare Punkte

(76)

Papillon

gleich lange

schwarze Strecken 45°-Winkel

(77)

rot = 2 schwarz blau = 2 schwarz Papillon

gleich lange

schwarze Strecken 45°-Winkel

(78)

Papillon

(79)

Papillon

(80)

Papillons

(81)

Papillonspirale

(82)

Papillonspirale

rot = ½ blau

(83)