Invariante und Invariante und Algorithmenentwurf Algorithmenentwurf

(1)

Invariante und Invariante und

Algorithmenentwurf Algorithmenentwurf

Timm Grams Timm Grams Hochschule Fulda Hochschule Fulda

Fachbereich Elektrotechnik und Fachbereich Elektrotechnik und

Informationstechnik Informationstechnik

(2)

Einführung Einführung

Was dem Naturwissenschaftler die Naturgesetze, das Was dem Naturwissenschaftler die Naturgesetze, das sind dem Informatiker die Invarianten.

sind dem Informatiker die Invarianten.

Die Invariante erfasst den wesentlichen Kern eines Die Invariante erfasst den wesentlichen Kern eines Algorithmus, sie ist sein „Gesetz“.

Algorithmus, sie ist sein „Gesetz“.

Die Invariante ist Grundlage des Algorithmenent-wurfs.

Bei einem Algorithmus ist konsequent zu unterscheiden zwischen der Handlungsanweisung und der Invarianten.

Die Handlungsanweisung erfasst den dynamischen, die Invariante den statischen Aspekt eines Algorithmus.

(3)

Beispiel: Zahlenwandlung Beispiel: Zahlenwandlung

Wandlung der Dezimalzahl 202 in die Darstellung Wandlung der Dezimalzahl 202 in die Darstellung zur Basis 5

zur Basis 5 Stufe

Stufe k k Relation Relation

0 0 202 = 202 202 = 202   5 5

⁰⁰

1 1 202 = 40 202 = 40   5 5

¹¹

+ 2 + 2   5 5

⁰⁰

2 2 202 = 8 202 = 8   5 5

²²

+ 0 + 0   5 5

¹¹

+ 2 + 2   5 5

⁰⁰

3 3 202 = 1 202 = 1   5 5

³³

+ 3 + 3   5 5

²²

+ 0 + 0   5 5

¹¹

+ 2 + 2   5 5

⁰⁰

(4)

Zahlenwandlung

- Operatoren - Operatoren

Die Zahlenwandlung basiert auf der ganzzahligen Die Zahlenwandlung basiert auf der ganzzahligen Division mit Rest

Division mit Rest

Die dafür nötigen Operatoren in C sind / und % Die dafür nötigen Operatoren in C sind / und %

/ ist der Divisionsoperator / ist der Divisionsoperator

% ist der Modulo-Operator zur Bestimmung des Rests

Beispiele: 202/5 = 40 und 202%5 = 2 Beispiele: 202/5 = 40 und 202%5 = 2

Fundamentale Formel der ganzzahligen Arithmetik:

z z = = ( ( z z / / b b ) · ) · b b + + z z % % b b

(5)

Invariante und Endebedingung Invariante und Endebedingung

Die Invariante Die Invariante ist eine Aussage, die vor Eintritt in ist eine Aussage, die vor Eintritt in den Rechenschritt eines Algorithmus erfüllt ist, und den Rechenschritt eines Algorithmus erfüllt ist, und die nach dem Schritt erneut wahr ist.

die nach dem Schritt erneut wahr ist.

Der Algorithmus endet, wenn die

Der Algorithmus endet, wenn die Endebedingung Endebedingung erfüllt ist

erfüllt ist

(6)

Grundstruktur von Algorithmen in C Grundstruktur von Algorithmen in C

AA Initialisierungs-AnweisungenInitialisierungs-Anweisungen BB Schleifenbedingung.Schleifenbedingung.

Für B Für B  0 wird S 0 wird S ausgeführt,ausgeführt, für B für B = 0 (Endebedingung) = 0 (Endebedingung)

nicht nicht

SS Schleifenanweisung (meist Schleifenanweisung (meist eine Verbundanweisung) eine Verbundanweisung) II InvarianteInvariante

A A

while(

while( B B ) ) S S

I I _ ((B B 0)

I I _ ((B B =0)₌₀₎

II II

B B

S S

A A

(7)

Beispiel: Wandlung der Zahl Beispiel: Wandlung der Zahl Z Z

in Darstellung zur Basis in Darstellung zur Basis B B

I I _ ((zz 0)

I I _ ((zz =0)=0)

II II

z z

r[k++]= z%b;

z= z/b;

k=0; k=0;

while(

while(z z ){ ) {

r[k++]=z%b; r[k++]=z%b;

z=z/b; z=z/b;

} }

Invariante:

b = b = B B

Z Z = z = z   b b

^k^k

+r[k-1] +r[k-1]   b b

^k-1^k-1

+...+r[1] +...+r[1]   b b

¹¹

+r[0] +r[0]   b b

⁰⁰

0 ≤ r[

0 ≤ r[ i i ] < _{] <} B für i B für i < k _{< k}

(8)

Programmbeweis

Programmbeweis mit der symbolischen Methode 1 mit der symbolischen Methode 1

Kursive Großbuchstaben bezeichnen mathematische Variable.

Programmfragmente werden in Anführungszeichen geschrieben.

Anfangs sei z=

Anfangs sei z=ZZ und durchweg gilt b= und durchweg gilt b B.B.

Zu zeigen ist zuerst, dass die Initialisierung Zu zeigen ist zuerst, dass die Initialisierung

„k=0;“„k=0;“

die Invariante wahr macht. Jedenfalls gilt nach der Initialisierung die Invariante wahr macht. Jedenfalls gilt nach der Initialisierung z=z=ZZ und k=0. Also: und k=0. Also:

ZZ = z_{= z}

= z= zbb⁰⁰

= z= bb^k^k + r[k-1] + r[k-1]bb^k-1^k-1+...+r[1]+...+r[1]bb¹¹+r[0]+r[0]bb⁰⁰

 

(9)

Programmbeweis

Programmbeweis mit der symbolischen Methode 2 mit der symbolischen Methode 2

Im zweite Schritt ist zu zeigen, dass die Anweisungsfolge Im zweite Schritt ist zu zeigen, dass die Anweisungsfolge

„„r[k++]=z%b; z=z/b;“r[k++]=z%b; z=z/b;“

die Invariante erhält: Vor der Anweisungsfolge ist k=

die Invariante erhält: Vor der Anweisungsfolge ist k=KK und z=_{und z=}AA. _. Die Invariante wird zu

Die Invariante wird zu

ZZ = ₌AAbb^K^K+r[+r[KK-1]_-1]bb^K-1^K^-1+...+r[1]+...+r[1]bb¹¹+r[0]+r[0]bb⁰⁰

Nach der Anweisungsfolge ist r[r[KK]=_]=AA%b, k=_{%b, k=}KK+1 und z=_{+1 und z=}AA/b _/b (ganzzahliger Quotient). Wegen

(ganzzahliger Quotient). Wegen AA=(=(AA/b)/b)b+b+AA%b gilt%b gilt ZZ = (₌ ((AA/b)_/b)b+b+AA%b)_%b bb^K^K+r[+r[KK-1]_-1]bb^K-1^K^-1+...+r[1]+...+r[1]bb¹¹+r[0]+r[0]bb⁰⁰

= z= bb^K+1^K⁺¹ +r[ +r[KK]_]bb^K^K+r[+r[KK-1]_-1]bb^K-1^K^-1+...+r[1]+...+r[1]bb¹¹+r[0]+r[0]bb⁰⁰

= z= bb^k^k + r[k-1] + r[k-1]bb^k-1^k-1+...+r[1]+...+r[1]bb¹¹+r[0]+r[0]bb⁰⁰

 

(10)

Programmbeweis

Programmbeweis mit der symbolischen Methode 3 mit der symbolischen Methode 3

Im dritten und letzten Schritt ist zu zeigen, dass aus der Im dritten und letzten Schritt ist zu zeigen, dass aus der Bedingung

Bedingung I I  (z=0) das gewünschte Resultat folgt. (z=0) das gewünschte Resultat folgt.

In der Invarianten In der Invarianten

ZZ = z₌ bb^k^k + r[k-1] + r[k-1]bb^k-1^k-1+...+r[1]+...+r[1]bb¹¹+r[0]+r[0]bb⁰⁰ ist z=0 zu setzen. Damit ergibt sich

ZZ = r[k-1]_{= r[k-1]}bb^k-1^k-1+...+r[1]+...+r[1]bb¹¹+r[0]+r[0]bb⁰⁰

Das Array r enthält die Zahlendarstellung der Zahl Z zur Basis B.

 

(11)

Problem Problem

Für Für Z Z = 0 ist die Summe = 0 ist die Summe

r[k-1]

r[k-1]   b b

^k-1^k-1

+...+r[1] +...+r[1]   b b

¹¹

+r[0] +r[0]   b b

⁰⁰

Invariante und Invariante und Algorithmenentwurf Algorithmenentwurf