Invariante Flächensummen

(1)

Invariante Flächensummen

Hans Walser

www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20201105-07

(2)

rot = blau

(3)

Invariante Summe a² + b²

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

rot = blau Invariante Summe a² + b²

(15)

(16)

„pythagoreisch“

(17)

„pythagoreisch“

(18)

„pythagoreisch“

(19)

„pythagoreisch“

(20)

„pythagoreisch“

(21)

„pythagoreisch“

(22)

„pythagoreisch“

(23)

„pythagoreisch“

(24)

„pythagoreisch“

(25)

„pythagoreisch“

(26)

„pythagoreisch“

(27)

Zerlegungsbeweis Invariante Summe a² + b²

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

Gelenkmodell

(37)

Gelenkmodell

(38)

Gelenkmodell

(39)

Gelenkmodell

(40)

Gelenkmodell

(41)

Gelenkmodell

(42)

Gelenkmodell

(43)

Gelenkmodell

(44)

Gelenkmodell

(45)

Gelenkmodell

(46)

Gelenkmodell

(47)

Gelenkmodell

(48)

Gelenkmodell

(49)

Gelenkmodell

(50)

Gelenkmodell

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

Zerlegungsbeweis

(57)

rot = blau Satz von al-Sijzi 

(Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

(58)

a! b!

1 2

c! s! Satz von al-Sijzi 

(59)

a! = s! + ¹₂ c! ⇒ a!² = s!² + s!c! + ¹₄ c!² b! = s! − ¹₂ c! ⇒ !

b² = s!² − s!c! + ¹₄ c!²

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒ a² + b² = 2s² + ¹₂ c² a!

b!

1 2

(60)

a! = s! + ¹₂ c! ⇒ a!² = s!² + s!c! + ¹₄ c!² b! = s! − ¹₂ c! ⇒ !

b² = s!² − s!c! + ¹₄ c!²

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒ a² + b² = 2s² + ¹₂ c² a!

b!

1 2

(61)

a! = s! + ¹₂ c! ⇒ a!² = s!² + s!c! + ¹₄ c!² b! = s! − ¹₂ c! ⇒ !

b² = s!² − s!c! + ¹₄ c!²

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒ a² + b² = 2s² + ¹₂ c² a!

b!

1 2

(62)

a! = s! + ¹₂ c! ⇒ a!² = s!² + s!c! + ¹₄ c!² b! = s! − ¹₂ c! ⇒ !

b² = s!² − s!c! + ¹₄ c!²

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒ a² + b² = 2s² + ¹₂ c² a!

b!

1 2

(63)

a! = s! + ¹₂ c! ⇒ a!² = s!² + s!c! + ¹₄ c!² b! = s! − ¹₂ c! ⇒ !

b² = s!² − s!c! + ¹₄ c!²

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒ a² + b² = 2s² + ¹₂ c² Satz von al-Sijzi 

rot = blau

(64)

a! = s! + ¹₂ c! ⇒ a!² = s!² + s!c! + ¹₄ c!² b! = s! − ¹₂ c! ⇒ !

b² = s!² − s!c! + ¹₄ c!²

⎫

⎬⎪

⎭⎪

rot = blau

(65)

a! = s! + ¹₂ c! ⇒ a!² = s!² + s!c! + ¹₄ c!² b! = s! − ¹₂ c! ⇒ !

b² = s!² − s!c! + ¹₄ c!²

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒ a² + b² = 2s² + ¹₂ c²

(66)

a! = s! + ¹₂ c! ⇒ a!² = s!² + s!c! + ¹₄ c!² b! = s! − ¹₂ c! ⇒ !

b² = s!² − s!c! + ¹₄ c!²

⎫

⎬⎪

⎭⎪

rot = blau

(67)

a! = s! + ¹₂ c! ⇒ a!² = s!² + s!c! + ¹₄ c!² b! = s! − ¹₂ c! ⇒ !

b² = s!² − s!c! + ¹₄ c!²

⎫

⎬⎪

⎭⎪

Sonderfall s = ¹₂ c

rot = blau

(68)

a! = s! + ¹₂ c! ⇒ a!² = s!² + s!c! + ¹₄ c!² b! = s! − ¹₂ c! ⇒ !

b² = s!² − s!c! + ¹₄ c!²

⎫

⎬⎪

⎭⎪

Modell rot = blau

(69)

a! = s! + ¹₂ c! ⇒ a!² = s!² + s!c! + ¹₄ c!² b! = s! − ¹₂ c! ⇒ !

b² = s!² − s!c! + ¹₄ c!²

⎫

⎬⎪

⎭⎪

rot = blau

(70)

a! = s! + ¹₂ c! ⇒ a!² = s!² + s!c! + ¹₄ c!² b! = s! − ¹₂ c! ⇒ !

b² = s!² − s!c! + ¹₄ c!²

⎫

⎬⎪

⎭⎪

rot = blau

(71)

a! = s! + ¹₂ c! ⇒ a!² = s!² + s!c! + ¹₄ c!² b! = s! − ¹₂ c! ⇒ !

b² = s!² − s!c! + ¹₄ c!²

⎫

⎬⎪

⎭⎪

rot = blau

(72)

a! = s! + ¹₂ c! ⇒ a!² = s!² + s!c! + ¹₄ c!² b! = s! − ¹₂ c! ⇒ !

b² = s!² − s!c! + ¹₄ c!²

⎫

⎬⎪

⎭⎪

rot = blau

(73)

a! = s! + ¹₂ c! ⇒ a!² = s!² + s!c! + ¹₄ c!² b! = s! − ¹₂ c! ⇒ !

b² = s!² − s!c! + ¹₄ c!²

⎫

⎬⎪

⎭⎪

rot = blau

(74)

Satz von al-Sijzi 

rot = blau

(75)

rot = blau

(76)

rot = blau

(77)

Satz von al-Sijzi

Parallelogramm: a² + b² + a² + b² = e² + f ²

a

a b

e b f

rot = blau

(78)

Satz von al-Sijzi Parallelogramm:

rot = blau

(79)

Satz von al-Sijzi Parallelogramm:

rot = blau

(80)

Satz von al-Sijzi

Parallelogramm: a² + b² + a² + b² = e² + f ²

a

a b

e b f

rot = blau

(81)

7² + 9² + 7² + 9²

!##260"##$ = 8² +14²

!"# $260#

(82)

7² + 9² + 7² + 9²

!##260"##$ = 8² +14²

!"# $260#

(83)

7² + 9² + 7² + 9²

!##260"##$ = 8² +14²

!"# $260#

(84)

a! = s! + ¹₂ c! ⇒ a!² = s!² + s!c! + ¹₄ c!² b! = s! − ¹₂ c! ⇒ !

b² = s!² − s!c! + ¹₄ c!²

⎫

⎬⎪

⎭⎪

rot = blau

(85)

a! = s! + ¹₂ c! ⇒ a!² = s!² + s!c! + ¹₄ c!² b! = s! − ¹₂ c! ⇒ !

b² = s!² − s!c! + ¹₄ c!²

⎫

⎬⎪

⎭⎪

rot = blau

(86)

a! = s! + ¹₂ c! ⇒ a!² = s!² + s!c! + ¹₄ c!² b! = s! − ¹₂ c! ⇒ !

b² = s!² − s!c! + ¹₄ c!²

⎫

⎬⎪

⎭⎪

rot = blau

(87)

Satz von al-Sijzi

(88)

Satz von al-Sijzi

(89)

a! = s! + ¹₂ c! ⇒ a!² = s!² + s!c! + ¹₄ c!² b! = s! − ¹₂ c! ⇒ !

b² = s!² − s!c! + ¹₄ c!²

⎫

⎬⎪

⎭⎪

rot = blau

(90)

a! = s! + ¹₂ c! ⇒ a!² = s!² + s!c! + ¹₄ c!² b! = s! − ¹₂ c! ⇒ !

b² = s!² − s!c! + ¹₄ c!²

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒ a² + b² = 2s² + ¹₂ c² Satz von al-Sijzi

rot = blau

(91)

a! = s! + ¹₂ c! ⇒ a!² = s!² + s!c! + ¹₄ c!² b! = s! − ¹₂ c! ⇒ !

b² = s!² − s!c! + ¹₄ c!²

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒ a² + b² = 2s² + ¹₂ c² Satz von al-Sijzi

rot = blau

(92)

Satz von al-Sijzi

rot = blau

(93)

Satz von al-Sijzi

rot = blau

(94)

Papillon

Schließungsfigur

rot = blau

(95)

rot/grün = blau/gelb

(96)

6² + 7² = 2² + 9²

36 + 49 = 4 +81= 85

(97)

6² + 7² = 2² + 9²

36 + 49 = 4 +81= 85

9³ +10³ =1³ +12³ 729 +1000 =1+1728

S. Ramanujan 1887-1920

(98)

Papillon

rot = blau

(99)

Papillon

Umkreis

(100)

Papillon

Gemeinsamer  Schnittpunkt

Umkreis

(101)

Papillon

Gemeinsamer  Schnittpunkt

Umkreis

(102)

Papillon Quadrat

Umkreis

(103)

Papillon

(104)

Papillon

Strecke mit Mittelpunkt

(105)

rot = blau Papillon

Strecke mit Mittelpunkt Strecke mit Mittelpunkt

(106)

rot = blau Papillon

Strecke mit Mittelpunkt Strecke mit Mittelpunkt gleich lang

orthogonal

(107)

rot = blau Papillon

Drei kollineare Punkte

(108)

Papillon

gleich lange 

schwarze Strecken  45°-Winkel

(109)

rot = 2 schwarz blau = 2 schwarz Papillon

gleich lange 

(110)

rot = 2 schwarz blau = 2 schwarz Papillon

gleich lange 

(111)

Papillon

(112)

Papillon

rot = blau

(113)

Papillon

(114)

Papillon

Optische Täuschung?

(115)

Papillon

(116)

Papillon

(117)

Papillon

(118)

Papillons

(119)

Papillonspirale

(120)

Papillonspirale

rot = ½ blau

(121)

Hypotenuse fest Geozentrisches Weltbild

(122)

(123)

(124)

(125)

(126)

(127)

(128)

Die kopernikanische Wende Heliozentrisches Weltbild Nikolaus Kopernikus

1473-1543

(129)

Pythagoras

(130)

Pythagoras

Hypotenuse dreht

(131)

Pythagoras

Hypotenuse dreht

(132)

Pythagoras

Hypotenuse dreht

(133)

Pythagoras

Hypotenuse dreht

(134)

Pythagoras / al-Sijzi

Hypotenuse dreht

(135)

Hypotenuse dreht

(136)

Hypotenuse dreht

(137)

Hypotenuse dreht

(138)

Hypotenuse dreht

(139)

(140)

(141)

(142)

(143)

(144)

a₃ a₂

a₁

(145)

a₃ a₂

a₁ Pythagoras / al-Sijzi

a₁² + a₂² + a₃² invariant

(146)

a₃ a₂

(147)

a₃ a₂

(148)

a₃ a₂

(149)

a_k²

k=1

∑

n ^invariant

a₃

a₄ a₅ a₂

(150)

Pythagoras / al-Sijzi a_k²

k=1

∑

n ^invariant

(151)

r!₁ r!₂

r!₃

r!₄

r!₅

C p,0

( )

r!_k = r cos k ²^π

n +ϕ

( )

r sin k ²^π

n +ϕ

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥ a_k²

k=1

∑

n ^invariant

(152)

r!₁ r!₂

r!₃

r!₄

r!₅

C p,0

( )

r!₂ r!₃

r!₄

r!₅

r!_k

k=1

∑

n ⁼ ⁰^! ^⇒

r cos k ²^π

n +ϕ

( )

⁼ ⁰

k=1

∑

n

r sin k ²^π

n +ϕ

( )

⁼ ⁰

k=1

∑

n

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪ r!_k = r cos k ²^π

n +ϕ

( )

r sin k ²^π

n +ϕ

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥ a_k²

k=1

∑

n ^invariant

(153)

r!₁ r!₂

r!₃

r!₄

r!₅

C p,0

( )

r!₂ r!₃

r!₄

r!₅

r!_k

k=1

∑

n ⁼ ⁰^! ^⇒

r cos k ²^π

n +ϕ

( )

⁼ ⁰

k=1

∑

n

r sin k ²^π

n +ϕ

( )

⁼ ⁰

k=1

∑

n

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪ r!_k = r cos k ²^π

n +ϕ

( )

r sin k ²^π

n +ϕ

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥ a_k²

k=1

∑

n ^invariant

unabhängig von ϕ

(154)

r!₁ r!₂

r!₃

r!₄

r!₅

C p,0

( )

n +ϕ

( )

r sin k ²^π

n +ϕ

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥ a_k² = rcos k ²^π

n +ϕ

( )

⁻ ^p

( )

² ⁺

(

^r^sin

⁽

^k ²ⁿ^π ⁺^ϕ

⁾ )

²

= r²cos² k ²^π

n +ϕ

( )

⁻ ²^pr ^cos

(

^k ²ⁿ^π ⁺^ϕ

)

⁺ ^p² ⁺ ^r² ^sin²

(

^k ²ⁿ^π ⁺^ϕ

)

= r² − 2prcos k ²^π

n +ϕ

( )

⁺ ^p²

a₃

a₄ a₅ a₂

a₁ a_k²

k=1

∑

n ^invariant

(155)

r!₁ r!₂

r!₃

r!₄

r!₅

C p,0

( )

n +ϕ

( )

r sin k ²^π

n +ϕ

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

n +ϕ

( )

⁻ ^p

( )

² ⁺

(

^r^sin

⁽

^k ²ⁿ^π ⁺^ϕ

⁾ )

²

= r²cos² k ²^π

n +ϕ

( )

⁻ ²^pr ^cos

(

^k ²ⁿ^π ⁺^ϕ

)

⁺ ^p² ⁺ ^r² ^sin²

(

^k ²ⁿ^π ⁺^ϕ

)

n +ϕ

( )

⁺ ^p²

a₃

a₄ a₅ a₂

a₁ a_k²

k=1

∑

n ^invariant

(156)

r!₁ r!₂

r!₃

r!₄

r!₅

C p,0

( )

n +ϕ

( )

r sin k ²^π

n +ϕ

( )

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

n +ϕ

( )

⁻ ^p

( )

² ⁺

(

^r^sin

⁽

^k ²ⁿ^π ⁺^ϕ

⁾ )

²

= r²cos² k ²^π

n +ϕ

( )

⁻ ²^pr ^cos

(

^k ²ⁿ^π ⁺^ϕ

)

⁺ ^p² ⁺ ^r² ^sin²

(

^k ²ⁿ^π ⁺^ϕ

)

n +ϕ

( )

⁺ ^p²

a₃

a₄ a₅ a₂

a₁ a_k²

k=1

∑

n ^invariant

(157)

a_k²

k=1

∑

n ⁼ _k

^∑

ⁿ₌₁

(

^r² ⁻ ²^pr^cos

(

^k ²_n^π ⁺^ϕ

)

⁺ ^p²

)

= nr² − 2pr cos k ²^π

n +ϕ

( )

k=1

∑

n

!##"0 ##$

+ np² = n r

(

² + p²

)

a_k² = rcos k ²^π

n +ϕ

( )

⁻ ^p

( )

² ⁺

(

^r^sin

⁽

^k ²ⁿ^π ⁺^ϕ

⁾ )

²

= r²cos² k ²^π

n +ϕ

( )

⁻ ²^pr ^cos

(

^k ²ⁿ^π ⁺^ϕ

)

⁺ ^p² ⁺ ^r² ^sin²

(

^k ²ⁿ^π ⁺^ϕ

)

n +ϕ

( )

⁺ ^p²

(158)

a_k²

k=1

∑

n ⁼ _k

^∑

ⁿ₌₁

(

^r² ⁻ ²^pr^cos

(

^k ²_n^π ⁺^ϕ

)

⁺ ^p²

)

n +ϕ

( )

k=1

∑

n

!##"0 ##$

+ np² = n r

(

² + p²

)

unabhängig von ϕ

(159)

k=1

∑

n ⁼ _k

^∑

ⁿ₌₁

(

^r² ⁻ ²^pr^cos

(

^k ²_n^π ⁺^ϕ

)

⁺ ^p²

)

n +ϕ

( )

k=1

∑

n

!##"0 ##$

+ np² = n r

(

² + p²

)

(160)

a_k²

k=1

∑

n ⁼ ^{n r}

(

² ⁺ ^p²

)

a_k²

k=1

∑

n ⁼ _k

^∑

ⁿ₌₁

(

^r² ⁻ ²^pr^cos

(

^k ²_n^π ⁺^ϕ

)

⁺ ^p²

)

n +ϕ

( )

k=1

∑

n

!##"0 ##$

+ np² = n r

(

² + p²

)

(161)

k=1

∑

n ⁼ ^{n r}

(

² ⁺ ^p²

)

r

r² + p²

C(p, 0, 0) (0, 0, 0)

(0, 0, –p)

(162)

k=1

∑

n ⁼ ^{n r}

(

² ⁺ ^p²

)

n = 5

rot = blau

(163)

k=1

∑

n ⁼ ^{n r}

(

² ⁺ ^p²

)

n = 5

rot = blau

(164)

k=1

∑

n ⁼ ^{n r}

(

² ⁺ ^p²

)

n = 5

rot = blau

(165)

k=1

∑

n ⁼ ^{n r}

(

² ⁺ ^p²

)

n = 5

rot = blau

(166)

k=1

∑

n ⁼ ^{n r}

(

² ⁺ ^p²

)

n = 5

rot = blau

(167)

k=1

∑

n ⁼ ^{n r}

(

² ⁺ ^p²

)

n = 5

rot = blau

(168)

k=1

∑

n ⁼ ^{n r}

(

² ⁺ ^p²

)

n = 5

rot = blau

(169)

k=1

∑

n ⁼ ^{n r}

(

² ⁺ ^p²

)

n = 5

rot = blau

(170)

Sonderfall:

a_k²

k=1

∑

n ⁼ ^{n r}

(

² ⁺ ^p²

)

p = r

180° / 90° 120° / 60° 90° / 45° 72° / 36°

n-Stern / n-Fächer

(171)

Sonderfall:

a_k²

k=1

∑

n ⁼ ^{n r}

(

² ⁺ ^p²

)

p = r

180° / 90° 120° / 60° 90° / 45° 72° / 36°

n-Stern / n-Fächer

⇒ a_k²

k=1

∑

n ⁼ ^2nr²

(172)

Sonderfall:

a_k²

k=1

∑

n ⁼ ^{n r}

(

² ⁺ ^p²

)

p = r

180° / 90° 120° / 60° 90° / 45° 72° / 36°

n-teiliger Propeller / n-teiliger Fächer

⇒ a_k²

k=1

∑

n ⁼ ^2nr²

(173)

Pythagoras n = 3

rot = blau

⇒ a_k²

k=1

∑

3 ⁼ ^6r²

(174)

Pythagoras n = 3

rot = blau

⇒ a_k²

k=1

∑

3 ⁼ ^6r²

(175)

Pythagoras n = 3

rot = blau

⇒ a_k²

k=1

∑

3 ⁼ ^6r²

(176)

Pythagoras n = 3

rot = blau

⇒ a_k²

k=1

∑

3 ⁼ ^6r²

(177)

Pythagoras n = 3

rot = blau

⇒ a_k²

k=1

∑

3 ⁼ ^6r²

(178)

Pythagoras n = 3

rot = blau

⇒ a_k²

k=1

∑

3 ⁼ ^6r²

(179)

Pythagoras n = 3

rot = blau

⇒ a_k²

k=1

∑

3 ⁼ ^6r²

(180)

Pythagoras n = 3

rot = blau

⇒ a_k²

k=1

∑

3 ⁼ ^6r²

(181)

Pythagoras n = 3

rot = blau

⇒ a_k²

k=1

∑

3 ⁼ ^6r²

(182)

Pythagoras n = 3

rot = blau

⇒ a_k²

k=1

∑

3 ⁼ ^6r²

(183)

Ganzzahlige Lösungen?

n = 3 ⇒ a_k²

k=1

∑

3 ⁼ ^6r²

(184)

n = 3 ⇒ a_k²

k=1

∑

3 ⁼ ^6r²

(185)

n = 3 ⇒ a_k²

k=1

∑

3 ⁼ ^6r²

(186)

n = 3 ⇒ a_k²

k=1

∑

3 ⁼ ^6r²

(187)

n = 3 ⇒ a_k²

k=1

∑

3 ⁼ ^6r²

(188)

n = 3 ⇒ a_k²

k=1

∑

3 ⁼ ^6r²

Invariante Flächensummen

Invariante Flächensummen

∑

∑

( )

( )

( )

∑

( )

∑

( )

∑

( )

∑

( )

( )

∑

( )

∑

( )

∑

( )

∑

( )

( )

∑

( )

( )

( )

( )

( )

(

(

) )

( )

(

)

(

)

( )

∑

( )

( )

( )

( )

( )

(

(

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