Aufgabe 7 3 Punkte

L¨ osungsvorschlag Theoretische Physik F Ubungsblatt 3 ¨

Prof. Dr. G. Sch¨ on und PD Dr. M. Eschrig

Sommersemester 2006

Aufgabe 7 3 Punkte

Wir betrachten die charakteristische Funktion φ(λ1, . . . , λM) =he^iPMj=1λjξji

F¨ur die Aufgabe setzen wir am Schluss alleλj=β.

Es ergibt sich φ(λ1, . . . , λM) =

√detA (2π)^M/2

Z ∞

−∞

d^Mξ e^{−12PMi,j=1ξiAijξj+iPMj=1λjξj} 1 Punkt Die Berechnung des Integrals wird ganz analog zu der in der Vorlesung behandelten Methode durchgef¨uhrt.

Quadratische Erg¨anzung liefert f¨ur den Exponenten im Integral

−1 2

XM

i,j=1

ξiAijξj+i XM

j=1

λjξj+1 2

XM

i,j=1

λiGijλj−1 2

XM

i,j=1

λiGijλj

mitGij = A⁻¹

ij. Es gilt

Aij =Aji ⇒ Gij=Gji, XM

j=1

AijGjk=δik, XM

j=1

GijAjk=δik. Die ersten drei Summanden k¨onnen zusammengefasst werden zu

−1 2

XM

i,j=1

ξi−iX

k

λkGki

!

Aij ξj−iX

k

Gjkλk

!

=−1 2

XM

i,j=1

yiAijyj

mityj=ξj−iP

kGjkλk =ξj−iP

kλkGkj. Wir erhalten somit schließlich

φ(λ1, . . . , λM) =

√detA (2π)^M/2

Z ∞

−∞

d^My e^{−12PMi,j=1yiAijyj}

| {z }

=1 (Normierung)

e^{−12PMi,j=1λiGijλj}

φ(λ1, . . . , λM) =e^{−12PMi,j=1λiGijλj} 1 Punkt

Daraus ergibt sich hξii=1

i d dλi

φ(λ1, . . . , λM)

λ₁=...=λM=0=− XM

j=1

Gijλj

λj=0

= 0

hξiξji=− d² dλidλj

φ(λ1, . . . , λM)

λ₁=...=λM=0 =Gij

1 Punkt Wir setzen schließlichλ1=λ2=· · ·=λM =β, substituierenhξiξjif¨ur Gij und erhalten

he^iβPMk=1ξki=φ(β, β . . . , β) =e^{−β22PMi,j=1hξiξji}.

Aufgabe 8 7 Punkte

a.)

Wir definierenti =i∆t, ∆t = _M^τ, i= 1, . . . , M (wir k¨onnen ti auch um ^∆t₂ verschieben, das gibt dasselbe).

Integale diskretisieren wir folgendermaßen Z τ

0

dtf(t) → X

i

∆t·f(ti). 1 Punkt

Damit wird

ρ({ξ(t)})∼e^{−12PMij=1ξ(ti)(∆t)2g−1(ti−tj)ξ(tj)} 1 Punkt Um die Verbindung zur diskreten Verteilungsfunktion aus Aufgabe 7 herzustellen, setzen wir

ξi=ξ(ti), Aij = (∆t)²g⁻¹(ti−tj). 1 Punkt

b.)

Wir f¨uhren die Bezeichnungsweisen hAi^c f¨ur die Mittelung mit der kontinuierliche Verteilungsfunktion, und hAi^d f¨ur die Mittelung mit der diskreten Verteilungsfunktion ein. Wir diskretisieren hexp

iRτ 0 dtξ(t)

i^c, und erhaltenhexph

i∆tPM k=1ξk

i

i^d. Aus Aufgabe 7 wissen wir jedoch, dass

* exp

"

i∆t XM

k=1

ξk

#+

d

= exp



−(∆t)² 2

XM

ij=1

hξiξjid



. 1 Punkt

Damit ergibt sich, nachdem wir auf der rechten Seite die Doppelsumme im Exponenten wieder durch ein Doppelintegral ersetzen, die gesuchte Beziehung:

exp

i

Z τ 0

dtξ(t)

c

= exp

−1 2

Z τ 0

dt Z τ

0

dt⁰hξ(t)ξ(t⁰)i^c

. 1 Punkt

c.)

Wir findenti am n¨achsten zutundtj am n¨achsten zut⁰. Dahξiξjid=Gij =

A⁻¹

ij, ben¨otigen wirA⁻¹ 1 Punkt .

Es gilt Z τ

0

dt⁰⁰g⁻¹(t−t⁰⁰)g(t⁰⁰−t⁰) =δ(t−t⁰).

Diskretisiert lautet diese Gleichung

∆t XM

j=1

g⁻¹(ti−tj)g(tj−tk) = δik

|{z}∆t

(diskretisierte Deltafunktion)

Warum? Die diskretisierte Form der Deltafunktion,δD(ti−tj), erh¨alt man aus der Normierung f¨ur die Delta- funktion:

Z τ 0

dt δ(t−t⁰) = 1 ⇒ ∆t XM

j=1

δD(ti−tj)

| {z }

δij/∆t

= 1.

Also folgt PM j=1

g⁻¹

ijgjk = δik/(∆t)². Da aber andrerseits (∆t)² g⁻¹

ij =Aij ⇒PM

j=1Aijgjk =δik ist, folgt

A⁻¹

ij=gij =g(ti−tj).

Damit erhalten wir die gesuchte Beziehung:

hξ(t)ξ(t⁰)ic

| {z }

“Korrelationsfunktion”

= g(t−t⁰)

| {z }

(Maß f¨ur Korrelationen)

. 1 Punkt

N¨aherung gut, wenn ∆tklein gegen¨uber der Reichwerte der Korrelationen ist, d.h.g(∆t)≈g(0). 1 Punkt 2

Aufgabe 9 15 Punkte

Wir beginnen mit einigen Vorbetrachtungen. Wir betrachten einen Tunnelkontakt:

innerhalb des Intervalls [0, τ] versuchen N = ω0τ Elektronen (ω0 = charakteristische “attempt frequency”), von 1 kommend, die Barriere zu durchtunneln. Die Zahl der Elektronen, die es schaffen,n(τ), ist eigentlich binomial verteilt:

n(τ) = Z τ

0

dt X∞

j=0

ajδ t−jω⁻¹₀

= XN

j=0

aj

wobeiaj eine stochastische Variable mit Werten 0;1 und der Wahrscheinlichkeitsdichte Paj =T δ(aj−1) + [1−T]δ(aj)

ist.

also isthn(τ)i=N T ^N−→^→∞

T→0 τΓ12im Grenzfall wenn die Binomialverteilung in eine Poissonverteilung ¨ubergeht.

Wir betrachten den Strom als stochastische Variable:

en(τ) = Z τ

0

dt I(t) ⇒ I(t) =e dn dτ

τ=t

=e X∞

j=0

ajδ t−jω⁻¹₀

=eX

l

δ(t−tl)

wobei dietlstochastisch gleichverteilte Zeiten bezeichnen, bei denen jeweils ein Elektron tunnelt.

a.)

hIi=e^−τΓ12 X∞

n=0

Γⁿ₁₂ n!

Z τ 0

dt1. . . Z τ

0

dtn e Xn

l=1

δ(t−tl)

| {z }

=enτⁿ⁻¹

=e^−τΓ12 X∞

n=1

(τΓ12)ⁿ⁻¹ (n−1)!

| {z }

=1

eΓ12 1 Punkt

hIi=eΓ12 ⇒ Γ12 ist mittlere Tunnelrate. 1 Punkt

3

b.)

hI(t)I(t⁰)i=e² X∞

n=0

e^−τΓ12Γⁿ₁₂ n!

Z τ 0

dt1

Z τ 0

dtn

Xn

l=1

Xn

m=1

δ(t−tl)δ(t⁰−tm)

=e² X∞

n=0

e^−τΓ12Γⁿ₁₂ n!



τⁿ⁻²n(n−1)

| {z }

Terme mitl6=m

+τⁿ⁻¹nδ(t−t⁰)

| {z }

Terme mitl=m



 1 Punkt

=e²Γ²₁₂+e²Γ12δ(t−t⁰) = hIi²+ehIiδ(t−t⁰) 1 Punkt

⇒ Stromfluktuationen (=“Rauschen”):

hδI(t)δI(t⁰)i=h(I(t)− hIi) (I(t⁰)− hIi)i=hI(t)I(t⁰)i − hIi²= δ(t−t⁰)ehIi 1 Punkt Hier: durch Diskretheit der Elektronenladung verursachte Fluktuationen = “Schrotrauschen”.

c.)

I(t) =e

"_n X12

l=1

δ

t−t⁽¹²⁾_l

−

n₂₁

X

m=1

δ

t−t⁽²¹⁾_m #

=I12−I21

h i=

" _∞ X

n₁₂=0

e^−τΓ12Γⁿ₁₂¹² n12!

Z τ 0

dt⁽¹²⁾₁ . . . Z τ

0

dt⁽¹²⁾_n

12

# " _∞ X

n₂₁=0

e^−τΓ21Γⁿ₂₁²¹ n21!

Z τ 0

dt⁽²¹⁾₁ . . . Z τ

0

dt⁽²¹⁾_n

21

#

1 Punkt

⇒finde hIi=e[Γ12−Γ21] 1 Punkt

und

hI(t)I(t⁰)i=hI12(t)I12(t⁰)i+hI21(t)I21(t⁰)i − hI12(t)I21(t⁰)i − hI21(t)I12(t⁰)i 1 Punkt benutze (siehe b)

hI12(t)I12(t⁰)i=e²Γ²₁₂+e²Γ12δ(t−t⁰) hI21(t)I21(t⁰)i=e²Γ²₂₁+e²Γ21δ(t−t⁰) und

hI12(t)I21(t⁰)i=hI12ihI21i=e²Γ12Γ21=hI21(t)I12(t⁰)i 1 Punkt so dass

hI(t)I(t⁰)i=e²(Γ12−Γ21)²+e²(Γ12+ Γ21)δ(t−t⁰) = hIi²+e²(Γ12+ Γ21)δ(t−t⁰) 1 Punkt

⇒Rauschen nicht mehr proportional zuhIi; unkorrelierte Rauschquellen addieren sich!

d.)

Ohmscher Kontakt:hIi= ^V_R =e[Γ12−Γ21] detailliertes Gleichgewicht: Γ12/Γ21= exp (eV /kT) also

V eR = Γ12

1− 1

e^eVkT

⇒ Γ12= V eR

e^eVkT

e^eVkT −1 1 Punkt

und Γ21= V

eR 1

e^eVkT −1 ; Γ12+ Γ21= V eRcoth

eV 2kT

1 Punkt

hδI(t)δI(t⁰)i= eV

R δ(t−t⁰) coth eV

2kT

=ehIicoth eV

2kT

δ(t−t⁰) 2 Punkte

⇒ S(ω) = 2ehIicoth eV

2kT

kTeV

−→ 4kT

R . . .thermisches (Nyquist) Rauschen eines Widerstands

4