Algebra I
Universit¨at Leipzig
Professor Dr. J.S. Wilson
wilson@math.uni-leipzig.de
¨
Uberblick
Worum geht es? Gruppen, Ringe (und Moduln), K¨orper Gruppen
Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung |G | (also, mit |G | Elementen).
1861 Cauchy ‘Satz von Lagrange’. H Untergruppe von G ) |H| teilt |G |.
1872 Sylow. Sei |G | = pam, mit p prim und keinem Teiler von m. Dann hat G Untergruppen der Ordnung pa.
ca. 1895. Jordan und H¨older. ¨Uber die Zusammensetzung der ‘Bausteine’ der endlichen Gruppen.
Bausteine = einfache Gruppen, d.h. Gruppen S 6= {1}, keine Normalteiler außer {1}, S. (z.B. |S| prim).
1965. Feit–Thompson. |G | ungerade, G einfach ) |G | prim. Beweis 250 Seiten.
1984 Vollst¨andige Klassifierung der endlichen einfachen Gruppen angek¨undigt.
Ringe.
z.B. Z, Q, C[x], Polynome in einer Ver¨anderlichen x mit komplexen Koeffizienten. Moduln sind etwa wie Vektorr¨aume ¨uber allgemeine Ringe anstatt nur K¨orper. Ringe und ihre Moduln bilden die
Grundlage f¨ur moderne algebraische Geometrie und Zahlentheorie.
K¨
orpertheorie.
Anwendungen an L¨osungen von Polynomgleichungen. x2 + bx + c = 0 (mit b, c 2 Q) hat L¨osungen
x = 12( b ± pb2 4c) 2 C.
1800–32. N.H. Abel, E. Galois. Eine allgemeine Polynomgleichung xn + cn 1xn 1 + · · · + c0 = 0
mit n > 5 hat keine L¨osungen in denen nur W¨urzelziehungen auftreten.
Anwendungen an Konstruktionen mit Lineal und Zirkel. Anwendungen in vielen der wichtigsten Entwicklungen der modernen Mathematik.
Abbildungen
Das Product (oder Kompositum) fg (oder manchmal f g ) von Abbildungen g : X ! Y und f : Y ! Z ist die Abbildung
fg : X ! Z definiert durch
(fg )(x) = f (g (x)) 8x 2 X .
F¨ur jede Menge X wird die Identit¨atsabbildung 1X : X ! X definiert durch
1X(x) = x 8x 2 X . Auch geschrieben idX.
(1.1) (a) (Assoziativit¨at) F¨ur h : X ! Y , g : Y ! Z und f : Z ! W gilt (fg)h = f (gh).
f : X ! Y heißt bijektiv falls (i) injektiv und auch (ii) surjektiv, d.h. falls
(i) f (x1) = f (x2) ) x1 = x2 und
(ii) (8 y 2 Y )(9 x 2 X ) mit f (x) = y.
(1.2) F¨ur f : X ! Y sind folgende ¨aquivalent: (i) f ist bijektiv;
(ii) 9 g : Y ! X mit fg = 1Y and gf = 1X.
Falls f bijektiv ist, dann ist die durch (ii) gegebene Abbildung g eindeutig bestimmt; sie wird f 1 geschrieben.
(1.3) Das Produkt fg von zwei Permutationen f , g von X ist ebenfalls eine Permutation von X .
Formale Definition einer Gruppe
Eine Gruppe ist eine Menge G mit einer Verkn¨upfung (Multiplikation, Produktoperation)
G ⇥ G ! G ; (x, y) 7! xy derart, dass gilt
(1) (xy )z = x(yz) 8x, y, z 2 G (Assoziativit¨at)
(2) 91 2 G , mit 1x = x1 = x 8x 2 G (Einselement)
Notation/Berechnung mit Permutationen.
F¨ur ⇡ 2 Sn schreibe ⇡ = ✓ 1 . . . n ⇡(1) . . . ⇡(n) ◆ . Berechnung ist einfach! Z.B., in S3, seiena = ✓ 1 2 3 2 1 3 ◆ , b = ✓ 1 2 3 1 3 2 ◆ .
⇡ heißt ein r -Zyklus, wenn es verschiedene x1, . . . , xr gibt mit
⇡(xi) = xi+1 f¨ur 1 6 i < r, ⇡(xr) = x1, ⇡(y ) = y f¨ur alle andere y .
F¨ur diesen Zyklus, schreibe ⇡ = (x1, x2, . . . , xr). Auch gilt
⇡ = (x2, x3, . . . , xr, x1), und
⇡ = (x1, ⇡(x1), . . . , ⇡r 1(x1)), mit ⇡r(x1) = x1.
Ein 2-Zyklus heißt eine Transposition.
Bemerkungen zu den Gruppenaxiomen
(1) Auch in einem Produkt mit vielen Faktoren ¨andert die Stellung der Klammern das Produkt nicht. (Z.B. (xy )(zt) = (x(yz))t.) Das kann man mit Induktion beweisen, anhand des Assoziativgesetzes. Also lassen wir die Klammern weg.
(2) G heißt abelsch falls gh = hg f¨ur alle g , h 2 G . Manchmal wird die ‘Gruppenmultiplication’ mit + bezeichnet (also schreiben wir g + h anstatt gh). Dann schreiben wir auch 0 f¨ur das
Einselement, und g f¨ur das Inverse von g . Die Axiome sind dann wie folgt:
(10) (x + y ) + z = x + (y + z) 8x, y, z 2 G ;
(20) 90 2 G , mit 0 + x = x 8x 2 G ;
(30) 8x 2 G 9 ( x) 2 G , mit x + ( x) = 0;
(4) x + y = y + x 8x, y 2 G . (Kommutativgesetz) Dann sagt man ‘Die Gruppe ist additiv geschrieben’.
(1.4) Sei G eine Gruppe.
(a) Das Einselement ist eindeutig bestimmt. (b) x 2 G und x2 = x ) x = 1.
(c) Jedes g hat nur ein Inverses g 1. (d) g 1 hat Inverselement g .
Definition. Eine Teilmenge H einer Gruppe G heißt Untergruppe
von G , und wir schreiben H 6 G, falls H selbst eine Gruppe mit der in G definierten Multiplication ist.
(1.5) Sei H 6 G. Dann haben G, H dasselbe Einselement. F¨ur h 2 H, stimmen die Inversen von h in H und in G ¨uberein.
(1.6) (Untergruppenkriterium) Sei G eine Gruppe, H ✓ G . Folgende sind ¨aquivalent:
(i) H 6 G;
Definition. Sei H 6 G und x 2 G. Die Linksnebenklasse (LNK) xH ist die Menge {xh | h 2 H}.
Die Rechtsnebenklasse Hx wird ¨ahnlich definiert.
Die Menge aller LNK wird (G : H) geschrieben, die Anzahl der LNK (wenn endlich) wird |G : H| geschrieben;
(1.7) Sei H 6 G. F¨ur x, y 2 G sei x ⇠ y , x 1y 2 H. Dann ist ⇠ ein ¨Aquivalenzrelation auf G und die ¨Aquivalenzklassen sind die LNK.
(1.8) Falls H endlich ist, dann besitzt xH genau |H| Elemente.
(1.9) (Satz von Lagrange) F¨ur G endlich und H 6 G gilt |G | = |G : H||H|. Also |H| teilt |G |.
Korollare. (a) o(g ) teilt |G | f¨ur jedes g 2 G .
(b) F¨ur Untergruppen K 6 H 6 G mit G endlich gilt |G : K | = |G : H| |H : K |.
Definition. Eine Untergruppe K von G heißt Normalteiler von G (geschrieben K / G ), falls k 2 K und g 2 G ) gkg 1 2 K .
Beispiele. F¨ur alle G gilt 1 / G und G / G .
F¨ur G abelsch, sind alle Untergruppen Normalteiler.
(1.10) Sei K 6 G. Es gilt K / G genau dann, wenn gK = Kg f¨ur alle g 2 G .
F¨ur Teilmengen S, T einer Gruppe G schreibe ST = {st | s 2 S, t 2 T }.
Also H 6 G, K 6 G ) H ✓ HK und K ✓ HK.
(1.11) Seien H, K Untergruppen von G . (a) HK 6 G genau dann wenn HK = KH.
(1.11) Seien H, K Untergruppen von G . (a) HK 6 G genau dann wenn HK = KH. (b) Sei K / G . Dann ist HK 6 G.
(c) H \ K 6 G .
(d) Sei G endlich. Dann gilt
Wirkungen von Gruppen
Sei X eine nichtleere Menge, G eine Gruppe. Eine Wirkung von G auf X ist eine Abbildung G ⇥ X ! X (mit Bild von (g, x)
geschrieben gx), derart dass:
1x = x 8x 2 X ;
Bahnen, Stabilisatoren
Sei G ⇥ X ! X eine Wirkung auf X , sei x 2 X . Die Bahn O(x) von x ist {gx | g 2 G }.
Die Wirkung ist transitiv falls es nur eine Bahn gibt. Z.B. ist die Wirkung (2) oben transitiv.
(1.12) Sei G ⇥ X ! X eine Wirkung auf X .
(a) F¨ur x, y 2 X schreibe x ⇠ y , y = gx f¨ur ein Element
g 2 G . Dann ist ⇠ eine ¨Aquivalenzrelation. Die ¨Aquivalenzklasse von x ist gleich der Bahn O(x) von x.
(1.12) Sei G ⇥ X ! X eine Wirkung auf X .
(b) Sei x 2 X . Dann ist StabG(x) eine Untergruppe, und f¨ur g 2 G gilt StabG(gx) = g (StabG(x))g 1.
(c) Bahn–Stabilisator Satz. Sei x 2 X und schreibe H = StabG(x).
Es gibt eine Bijektion ✓ : (G : H) ! O(x), definiert durch gH 7! gx. Insbesondere, falls G endlich ist, gilt
|O(x)| = |G : H| = |G |/|H|, also |O(x) teilt |G |.
Zentralisatoren, Zentrum, Normalisatoren
Sei x 2 G , T ✓ G , H 6 G .Zentralisator von x: CG(x) = {g 2 G | gx = xg} = Menge aller Elemente die mit x kommutieren.
Zentralisator von T :
CG(T ) = {g 2 G | gt = tg f¨ur alle t 2 T } = Tt2T CG(x).
Zentrum von G : Z(G ) = Menge der Elemente, die mit allen Elementen von G kommutieren, = Tg2G CG(g ).
Normalisator von H in G : NG(H) = {g | gHg 1 = H}.
Konjugierten
Seien x, g 2 G , T ✓ G . Dann sind gxg 1, {gtg 1 | t 2 T }
Konjugierten von x, T . Die Konjugiertenklasse von x ist cclG(x) = {gxg 1 | g 2 G }.
(1.13)
(a) CG(x), CG(T ), NG(H), Z(G ) sind Untergruppen von G . (b) Z(G ) / G , H / NG(H).
Beispiel. Sei T ⇢ G , und sei X = {xTx 1 | x 2 G }. Die Wirkung von G auf X durch Konjugation wird so definiert:
(g , xTx 1) 7! g(xTx 1)g 1(= (gx)T (gx) 1). Verifikation dass dieses eine Wirkung ist, ist eine ¨Ubung. Sie m¨ussen das Bild von (g , xTx 1) als g (xTx 1) und nicht gxTx 1 schreiben!
F¨ur H 6 G ist NG(H) der Stabilisator von H in der Wirkung von G auf den Konjugierten von H: also NG(H) 6 G, noch ein Beweis von (1.13)(c).
(1.14) F¨ur H 6 G mit |H| = m und g 2 G ist auch gHg 1 eine Untergruppe der Ordnung m.
Definitionen. Eine endliche p-Gruppe ist eine Gruppe mit
Ordnung eine Potenz der Primzahl p. Eine Sylow p-Untergruppe
von G ist eine Untergruppe der Ordnung pa, wo |G | = pam mit p - m.
Definitionen. Eine endliche p-Gruppe ist eine Gruppe mit
Ordnung eine Potenz der Primzahl p. Eine Sylow p-Untergruppe
von G ist eine Untergruppe der Ordnung pa, wo |G | = pam mit p - m.
Beispiel. Sei |G | = pa > 1, p prim. Sei X = G , sei die Wirkung g (x) = gxg 1 f¨ur x 2 X , g 2 G . (Schreibe g(x) anstatt gx f¨ur die Wirkung, da gx = gxg 1 ist verwirrend!)
Bemerkung. Seien p prim, m, a > 0 ganze Zahlen mit p - m. Dann ist der Binomialkoeffizient
✓ pam pa ◆ = (p am)! (pa)!(pam pa)! = pam pa · pam 1 pa 1 · · · pam (pa 1) 1
(1.16) (S¨atze von Sylow, 1871)
Sei G eine endliche Gruppe, der Ordnung pam, wo p - m (d.h. p teilt m nicht).
(1) G hat Sylow p-Untergruppen. (Abk¨urzung SpU.)
(2) (a) jede p-Untergruppe von G ist in einer Sylow p-Untergruppe enthalten, und
(b) die Sylow p-Untergruppen von G sind alle zueinander konjugiert.
(3) F¨ur die Anzahl np der Sylow p-Untergruppen gilt (a) np ⌘ 1 (mod p) und (b) np | m.
(1.16) (S¨atze von Sylow, 1871)
Sei G eine endliche Gruppe, der Ordnung pam, wo p - m (d.h. p teilt m nicht).
(1.16) (S¨atze von Sylow, 1871)
Sei G eine endliche Gruppe, der Ordnung pam, wo p - m (d.h. p teilt m nicht).
(1) G hat Sylow p-Untergruppen. (Abk¨urzung SpU.)
(2) (a) jede p-Untergruppe von G ist in einer Sylow p-Untergruppe enthalten, und
(b) die Sylow p-Untergruppen von G sind alle zueinander konjugiert.
(1.16) (S¨atze von Sylow, 1871)
Sei G eine endliche Gruppe, der Ordnung pam, wo p - m (d.h. p teilt m nicht).
(1) G hat Sylow p-Untergruppen. (Abk¨urzung SpU.)
(3) F¨ur die Anzahl np der Sylow p-Untergruppen gilt (a) np ⌘ 1 (mod p) und (b) np | m.
Zykluszerlegung in S
nSei X eine endliche Menge. Der Tr¨ager einer Permutation ⇢ 2 Sym X ist die Menge supp(⇢) = {x 2 X | ⇢(x) 6= x}. Z.B. ist supp((1, 5, 4) ) = {1, 4, 5}.
Zwei Permutationen ↵, heißen disjunkt falls supp(↵) \ supp( ) = ;.
(1.17) (a) Disjunkte Permutationen ↵, kommutieren, d.h. ↵ = ↵.
(1.17) (b) Jede Permutation ⇢ 6= 1 l¨aßt sich als Produkt von disjunkten Zyklen schreiben.
Z.B. ist ✓ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 2 7 9 6 8 3 5 1 ◆ = (1, 4, 9)(3, 7)(5, 6, 8) = (7, 3)(6, 8, 5)(9, 1, 4).
(1.17) (c) Sei ⇢ ein Produkt 1 . . . r von disjunkten Zyklen. Dann
sind die Mengen supp( i) genau die Bahnen in X von h⇢i, die mehr als ein Element enthalten, d.h., sie sind die Mengen
{⇢i(x) | i 2 Z} mit x 2 supp(⇢).
Beweis. Klar.
(1.17) (d) Sei ⇢ = 1 2 . . . r = 1 2 . . . s, f¨ur disjunkte Zyklen 1, . . . , r und disjunkte Zyklen 1, . . . , s. Dann gilt r = s und
(1.17)(e) Sei X endlich mit |X | > 1. Dann l¨aßt sich jedes ⇢ 2 Sym X als Produkt von Transpositionen schreiben.
Wichtige Berechnung. F¨ur ✓ 2 Sn und ein Zyklus (a1, a2, . . . , ar)
gilt
Gerade und ungerade Permutationen
Sei f ein Polynom in n Ver¨anderlichen x1, . . . , xn. F¨ur ⇢ 2 Sn sei
⇢f (x
1, . . . , xn) der Polynom f (x⇢(1), . . . , x⇢(n)).
F¨ur ⇢, 2 Sn gilt o↵ensichtlich ⇢( xi) = ⇢x i = x⇢ i = ⇢ xi und
⇢ f (x
Gerade und ungerade Permutationen
Sei f ein Polynom in n Ver¨anderlichen x1, . . . , xn. F¨ur ⇢ 2 Sn sei ⇢f (x 1, . . . , xn) = f (x⇢(1), . . . , x⇢(n)). Dann ⇢ f (x 1, . . . , xn) = ⇢( f (x1, . . . , xn)). Definiere = Y i<j (xi xj).
F¨ur ⇢ 2 Sn unterscheiden sich ⇢ und nur darin, dass einige
Faktoren durch 1 multizipliert wurden. Also ⇢ = ± .
Das Signum "(⇢) von ⇢ wird durch ⇢ = "(⇢) definiert. Also
"(⇢) = ±1 f¨ur jedes ⇢.
(1.18) (a) "(⇢) = ±1 f¨ur jedes ⇢. (b) "(⇢ ) = "(⇢)"( ), f¨ur alle ⇢, . (c) "(⌧ ) = 1 f¨ur Transposition ⌧ .
Definition. ⇢ ist gerade falls "(⇢) = 1, ungerade falls "(⇢) = 1. Die Menge An aller geraden Permutationen ist o↵ensichtlich ein Normalteiler von Sn (enth¨alt 1, abgeschlossen f¨ur Produkte,
Inversen, Konjugierten durch beliebige Elemente von Sn). An ist die alternierende Gruppe vom Grade n.
⇢ ungerade ) (1,2)⇢ 2 An ) ⇢ 2 (1 2)An. Also ist |Sn : An| = 2.
Bemerkung. Ein m-Zyklus ist gerade genau dann, wenn m
ungerade ist.
Homomorphismen
Eine Abbildung ' : G ! H von Gruppen ist ein
Homomorphismus falls '(g1g2) = '(g1)'(g2) f¨ur alle g1, g2 2 G .
Isomorphismen sind bijektive Homomorphismen.
Gibt es ein Isomorphismus ' : G ! H schreiben wir G ⇠= H und wir sagen G , H isomorph sind.
(1.19) Sei ' : G ! H ein Homomorphismus.
(a) '(1) = 1. (b) ('(g 1)) = ('(g )) 1, f¨ur alle g 2 G . (c) wenn auch : H ! K ein Homomorphismus ist, dann ist ' : G ! K ein Homomorphismus.
Definition. Sei ' : G ! H ein HM. Der Kern von ', geschrieben ker ', ist {g 2 G | '(g) = 1}.
Das Bild von ', geschrieben Bild ' oder '(G ), ist {'(g) | g 2 G }.
(1.20) Sei ' : G ! H ein HM. (a) ker ' / G . (b) Bild' 6 H. (c) ' ist injektiv , ker ' = 1.
Quotientengruppen
(1.21) Sei G eine Gruppe, sei K / G , und sei G /K die Menge aller Linksnebenklassen gK von K in G .
(a) G /K wird eine Gruppe mit Produkt (g1K )(g2K ) = (g1g2)K .
(b) Die durch q(g ) = gK definierte Abbildung q : G ! G /K ist ein surjektiver HM mit Kern K .
G /K ist die Quotientengruppe von G modulo K , und q ist die
Beispiel. Zahlen modulo n. Sei n 2 Z, n > 2. Dann ist nZ = {nz | z 2 Z} / Z.
Definition. Sei X ✓ Y . Die Inklusionsabbildung ◆ : X ! Y wird durch ◆(x) = x f¨ur jedes x 2 X definiert. F¨ur eine Gruppe Y und X 6 Y ist sie ein injektiver Homomorphismus.
(1.22) (Erster Isomorphiensatz)
Sei ' : G ! H ein Homomorphismus. Dann (a) K = ker ' / G , (b) Bild' 6 H, und
(c) es gibt einen eindeutig bestimmten injektiven
Homomorphismus ' : G /K¯ ! H mit ' = ¯'q, wobei q die
Quotientenabbildung G ! G /K ist. Auch gilt Bild ¯' = Bild '. Also gilt Bild G ⇠= G /K , und jeder Homomorphismus l¨aßt sich als Produkt ◆ schreiben mit einem surjektiven Homomorphismus und ◆ einem injektiven Homomorphismus.
Definition. Sei f : X ! Z eine Abbildung und Y ✓ X Die
Restriktionsabbildung f |Y : Y ! Z wird definiert durch f |Y (y ) = f (y ) f¨ur alle y 2 Y .
Sei ' : G ! G1 ein Homomorphismus und H 6 G. Dann ist '|H : H ! G1 o↵ensichtlich ein Homomorphismus.
(1.23) (Zweiter Isomorphiensatz) Sei K / G und H 6 G. Dann gilt
HK 6 G, K / HK , H \ K / H
und HK /K ⇠
= H/(H \ K ).
Anwendungen der Isomorphiens¨
atze
(1) Sei " : Sn ! {±1} der alternierende Charakter, ein Homomorphismus von (1.18). Der Kern ist
An = {gerade Permutationen}. Also ist An / Sn and
Sn/An ⇠= {±1} vom ersten Isomorphiensatz. Es folgt |Sn: An| = 2
und |An| = 12n!.
(2) Sei |G | = 2n mit n ungerade. Dann hat G einen Normalteiler vom Index 2 (und daher der Ordnung n, von Lagrange).
(1.24) S3 ist ein homomorphes Bild von S4; und zwar ist
Zyklische Gruppen
F¨ur ein Element g einer Gruppe G , ist hgi = {gn | n 2 Z} die
zyklische von g erzeugte Gruppe.
Beispiele. Die additiven Gruppen Z und Z/nZ werden von 1 und 1 + nZ erzeugt, sind also zyklisch.
In der multiplicativen Gruppe C⇥ = C \ {0}, ist f¨ur jedes n die Menge {z | zn = 1} eine Untergruppe, und sie wird durch
exp(2⇡i/n) erzeugt, also zyklisch.
Eine Gruppe G von Primzahlordnung wird von jedem Element ungleich 1 erzeugt: 8G 6= 1 gilt G = hgi.
Eigenschaften zyklischer Gruppen
(1.25) (a) Zyklische Gruppen sind abelsch.
(b) Jede nichtabelsche Gruppe hat eine Untergruppe H mit H 6= G und H 6= 1.
(1.26) (Euklidishes Lemma) Seien a, b 2 Z mit b > 0. Dann existieren eindeutige ganze Zahlen q, r 2 Z mit 0 6 r < b und a = qb + r .
(1.27) Sei H 6 Z. Entweder ist H = {0} oder 9 ein eindeutiges b 2 N mit H = bZ.
Charakterisierung zyklischer Gruppen
(1.28) F¨ur jede zyklische Gruppe C = hgi gilt C ⇠= Z oder
C ⇠= Z/bZ f¨ur ein b > 0. Im 2.ten Fall hat g die Ordnung b, und ga = 1 , b | a.
(1.29) Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist zyklisch.
Sei C = hgi zyklisch der endlichen Ordnung n. Dann hat C genau eine Untergruppe der Ordnung s f¨ur jedes s 2 Z mit s | n, und
