Numerik (SoSe 2012)

Numerik (SoSe 2012)

Ubungsblatt 2¨ Abgabe: Mi, 2. Mai 2012, bis 8³⁰ Uhr,Kasten E6

Groß/Sachs im Foyer des E-Geb¨audes

Aufgabe 3: (10 Punkte)

Beweisen Sie f¨ur eine MatrixA∈K^n×n:

a) λ= 0 ist Eigenwert zuA⇔ A ist nicht invertierbar

b) FallsA invertierbar ist, gilt

c_A⁻¹(λ) = (−λ)ⁿ

det(A)cA(λ⁻¹)

c) A und A^> haben dieselben Eigenwerte.

d) Es gilt

c_A(λ) =

n

X

i=0

α_iλⁿ⁻ⁱ

wobei

α0 = (−1)ⁿ, α1 = (−1)ⁿ⁻¹sp(A), αn= det(A).

Dabei bezeichnet sp(A) =Pn

i=1aiidie Spur (Summe der Diagonalelemente) einer Matrix.

e) Sindλ1, ..., λn die Eigenwerte vonA, so gilt

sp(A) =

n

X

i=0

λi.

Hinweis: Beachten Sie, dass f¨urx₁, x₂, ..., x_nNullstellen eines Polynomspmitα₀ = 1 der Zerfall in Linearfaktoren gilt:

p(x) =

n

X

i=0

α_ixⁱ =

n

Y

i=0

(x−x_i)

Aufgabe 4: (10 Punkte) SeiA∈R^3×3 mit

A=





−2 0 4

3 2 −1

−1 0 3



.

Bestimmen Sie die Eigenwerte, die Eigenvektoren und die zugeh¨origen Eigenr¨aume der Matrix A.

Zeigen Sie, dass die MatrixA diagonalisierbar ist.

Ist A positiv definit, negativ definit oder indifinit?