3 Gleichungen der ersten Ordnung

Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen SS 2019

Ulisse Stefanelli June 12, 2019

1 Wiederholung

1. Betrachten Sie folgende Funktionen im ganzen R² f₁(x, y) =

( x

x²+y² f¨ur (x, y)6= (0,0) 0 f¨ur (x, y) = (0,0)

, f₂(x, y) =





 x⁴

x²+y² f¨ur (x, y)6= (0,0) 0 f¨ur (x, y) = (0,0)

,

f₃(x, y) =





 x²

x² +y f¨ur (x, y)6= (0,0) 0 f¨ur (x, y) = (0,0)

,

F₄(x, y) =







−y

x²+y², x x²+y²

f¨ur (x, y)6= (0,0) (0,0) f¨ur (x, y) = (0,0)

,

im Sinne von St¨atigkeit und Differenzierbarkeit. Wenn m¨oglich, berechnen Sie den Gradient oder die Jacobi-Matrix.

2. Berechnen Sie die Taylor-Formel der Ordnung n f¨ur x7→e^2x im Punktx= 1.

3. Berechnen Sie die Taylor-Formel der zweiten Ordnung f¨ur (x, y)7→sin(x)e^xy im Punkt (π,1).

4. Seien f_n, g_n, h_h : [0,1]→R gegeben durch f_n(t) =t/n, g_n=tⁿ und h_n= (1−t)/n. Zeigen Sie folgende

(a) f_n, h_n→0 gleichm¨assig, g_n 6→0 gleichm¨assig,

(b) f¨ur alleK ⊂(0,1) kompakt, g_n|_K →1 gleichm¨assig, wobeig_n|_K die Restriktion vong_n auf K ist,

(c) h_n◦g_n→0 gleichm¨assig.

5. Falls es m¨oglich ist, geben Sie Beispiele f¨ur fn, gn, hh : [0,1]→[0,∞), sodass 1

(a) f_n →f gleichm¨assig und f ist nicht st¨atig,

(b) g_n →g gleichm¨assig aber (g_n)^1/2 6→g^1/2 gleichm¨assig, (c) hn→h gleichm¨assig aber (hn)² 6→h² gleichm¨assig.

6. Seien folgende Matrixen gegeben A=





1 2 0 2 1 0 0 0 3



, B =





0 1 0 0 0 1 0 0 0



, C =





1 0 1 0 1 0 0 0 1



.

Berechnen Sie A², finden Sie eine Basis von Eigenvektoren vonA, diagonalisieren Sie A. Zeigen Sie, dass Bⁿ= 0 f¨ur allen ≥2 und dass Cⁿ=I+nB² f¨ur allen ∈N, woI die Identit¨atsmatrix ist.

2 Allgemeine Konzepte

7. Welche sind ODEs?

(a) sin(y(t)) =y(sin(t)), (b) (y⁰⁰(t))³/((y⁰(t))²+ 1) = 1, (c) y⁰(y(t)) = 0, (d) y⁽ⁿ⁾(t)y⁽ⁿ⁻¹⁾(t). . . y⁰⁰(t)y⁰(t) = 0, (e) max

t∈[0,1]|y⁰(t)|= 0, (f) ty⁰(t) =y⁰(t) Klassifizieren Sie die ODEs (Ordnung, Linearit¨at, normale Form, Autonom).

8. Klassifizieren Sie folgende ODEs (Ordnung, Linearit¨at, normale Form, Autonom):

(a) y⁰⁰(t) =t², (b) y⁰⁰(t) = sin(t) +y⁰(t), (c) y⁰⁰⁰(t)y⁰(t) = 0, (d) p

(y⁰(t))²+ 1 = 0, (e) ((y(t))⁺)^y0(t)= 0, (f) y⁰⁰(t)(y⁰(t)−t) = 0, 9. Versuchen Sie, mit elementaren Methoden, L¨osungen zu den Beispielen 7.f, 8.c, 8.d, 8.f, 7.e (falls

es sie gibt!). Wenn m¨oglich, betrachten Sie ihre Eindeutigkeit.

10. Klassifizieren Sie folgende ODEs (Ordnung, Linearit¨at, normale Form, Autonom) f¨urt ∈R: (a) y⁰⁰(t) +y(t) = 0, (b) sin(y⁰⁰(t)) = 0, (c) |y⁰⁰(t)|= 0, (d) t/(1 +y⁽⁴⁾(t)) = 0, (e) e^y0(t)+t² = 0, (f) y⁰(t)e^y(t)= 0,

11. Versuchen Sie, mit elementaren Methoden, L¨osungen zu den Beispielen 10.c, 10.b, 10.f (falls es sie gibt!). Wenn m¨oglich, betrachten Sie ihre Eindeutigkeit.

12. Schreiben Sie folgende als ODE Systeme der 1. Ordnung um:

(a) cos(y⁰⁰)−y⁰ =y, (b)

y⁰⁰₁ + sin(y1y₂⁰) = 0

y⁰₂−2y₁ =y₂² , (c)







y₁⁰y₂ =y₃⁰ y₂⁰⁰=y⁰₃ y₃⁰⁰=y₁+y₂

.

13. Wir nennen Linearisierung der skalare Gleichung y⁰(t) = f(t, y(y)) im Punkt (t₀, y₀) die lin- eare Gleichung z⁰(t) = f(t₀, y₀) +∂_tf(t₀, y₀)(t−t₀) +∂_yf(t₀, y₀)(z(t)−y₀). Berechnen Sie die Linearisierungen der Gleichung y⁰(t) = sin(y(t)) +t² in den Punkten (1, π) and (2, π/4).

14. Seiy eine L¨osung der Gleichung y⁰ = arctan(y) in R. Zeigen Sie folgende:

(a) y(1)y(−1)≥0;

(b) y monoton;

(c) y(0)6= 0 ⇒ y unbeschr¨ankt;

(d) y∈C^∞(R);

(e) y(0)≥0 ⇒ y konvex.

15. Seiy eine L¨osung der Gleichung y⁰ = sin(y²) in R. Zeigen Sie folgende:

(a) y konstant ⇔(y(0))² =kπ f¨urk ∈N; (b) y∈C^∞(R);

(c) y beschr¨ankt;

(d) y monoton;

(e) y(0) =p

π/2 ⇒ y konkav auf [0,∞).

16. Seiy eine L¨osung der Gleichung y⁰(t) = sin(ty(t)) in R. Zeigen Sie folgende:

(a) y ist Lipschitz st¨atig;

(b) y konstant ⇔y(0) = 0;

(c) y(0)6= 0 ⇒ y entweder positiv oder negativ;

(d) y ist monoton in einer rechten Umgebung von t= 0.

17. Seien g_n ∈C[0,1] mit g_n →g gleichm¨aßig und seien δ_n&0. Zeigen Sie, dass g_n(t−δ_n)→g(t) f¨ur allet∈(0,1].

3 Gleichungen der ersten Ordnung

18. L¨osen Sie folgende Cauchy-Probleme (a)

y⁰(t) =−y(t)

y(0) =−1 , (b)

y⁰(t) = 3y(t)

y(1) =−3 , (c)

y⁰(t) = ey(t) y(0) = 1 .

19. L¨osen Sie folgende Cauchy-Probleme (a)

y⁰(t) = t²y(t)

y(0) = 2 , (b)

y⁰(t) = e^−ty(t)

y(1) = 1 , (c)

y⁰(t) = (cost)y(t)

y(0) =π .

20. L¨osen Sie folgende Cauchy-Probleme (a)

y⁰(t) =y(t) + 2

y(0) = 1 , (b)

y⁰(t) = (sint)y(t) +e^1−cost

y(0) = 1 , (c)

y⁰(t) =ty(t)−3t

y(0) = 1 .

21. L¨osen Sie folgende integrale Gleichung y(t) + 2 +

Z t 0

2y(s) ds = 0.

22. Zeigen Sie, dass das Problem

y⁰(t) = y(t) 2y(0) =y(1) = 1 keine L¨osung hat. (Achtung: es ist kein Cauchy-Problem!)

23. Zeigen Sie, dass es genau zwei Werte a∈R gibt, sodass das Problem







y⁰(t) =y(t) y(0) = 1 y(a) =a+ 2 gel¨ost werden kann. (Achtung: es ist kein Cauchy-Problem!) 24. Finden Sie die Werte a∈R, sodass das Problem

y⁰(t) =ay(t) y(0) =y(1)

gel¨ost werden kann. (Achtung: es ist kein Cauchy-Problem!) 25. L¨osen Sie folgende Cauchy-Probleme

(a) (

y⁰(t) = y(t) t + 1 y(1) = 1

, (b)

y⁰(t) = y(t) + e^ty²(t)

y(0) = 1 .

4 Lineare systeme der ersten Ordnung

26. L¨osen Sie das Cauchy-Problem







~y⁰(t) =

−3 0 0 2

~ y(t)

~y(0) = (2,3)

.

27. Finden Sie die allgemeine L¨osung von

~ y⁰(t) =

2 −2

0 1

~ y(t).

28. Finden Sie die allgemeine L¨osung von

~ y⁰(t) =

4 2

−1 1

~ y(t).

29. L¨osen Sie das Cauchy-Problem











~ y⁰(t) =





1 2 0 2 1 0 0 0 3



~y(t)

~y(0) = (−1,2,3)

.

30. Finden Sie die allgemeine L¨osung von

~ y⁰(t) =

2 −1

1 0

~ y(t).

31. Finden Sie die allgemeine L¨osung von

~ y⁰(t) =

3 −1

1 1

~ y(t).

32. Berechnen Sie die Exponentialmatrix durch die Definition f¨ur A=

1 2 0 1

, B =





1 2 0 0 1 0 0 0 −3



, C =

3 1 0 −3

.

33. SeiA = diag(B1, . . . , Bn) mit Bi ∈R^Ni×Ni gegeben. Zeigen Sie, dass e^A= diag(e^B1, . . . ,e^Bn).

34. SeiA ∈R^N ×R^N. Zeigen Sie, dass det e^A >0 ist. Gilt es f¨ur A∈C^N ×C^N?

5 Lineare Gleichungen

35. Schreiben Sie folgende Gleichungen als System der ersten Ordnung um:

(a) : y⁰⁰−y⁰ +y= 1, (b) : y⁽³⁾−2y⁽²⁾+ 3y= 2, (c) : y⁽⁴⁾ =y.

36. L¨osen Sie folgende homogene Gleichungen

(a) : y⁰⁰−y⁰ +y= 0, (b) : y⁽³⁾−2y⁽²⁾+ 3y= 0, (c) : y⁽⁴⁾ =y.

37. Zeigen Sie foldenges: hat die ODEy⁰⁰+βy⁰+y= 0, β ∈R, eine nicht-null beschr¨ankte L¨osung, dann sind alle L¨osungen periodisch.

38. Sei W die Menge der nicht-konstanten beschr¨ankten L¨osungen von y⁰⁰⁰+αy⁰⁰+βy⁰ +γy = 0, α, β, γ ∈R, γ 6= 0. Zeigen Sie, dass W ∪ {0}ein Vektorraum mit dim(W ∪ {0})≤2 ist.

39. Zeigen Sie, dass y≡0 die einzige periodische L¨osung von y⁰⁰+ 2y⁰+γy = 0 (γ 6= 0) ist.

40. Seiy6= 0 eine L¨osung vony⁰⁰+ 2y⁰+γy= 0 (γ ∈R). Zeigen Sie, dass limt→−∞y(t) genau dann existiert, wenn γ ≤1.

41. Seiy 6= 0 eine gerade L¨osung von y⁰⁰+ 2γy⁰+y= 0, γ ∈R. Zeigen Sie, dass y(0) =y(2π).

42. L¨osen Sie folgendes Cauchy-Problem

y⁰⁰(t) +y⁰(t)−2y(t) = e^tcost, y(0) = 0, y⁰(0) = 1.

43. L¨osen Sie folgendes Cauchy-Problem

y⁰⁰⁰(t)−3y⁰⁰(t) + 3y⁰(t)−y(t) = e^2t, y(0) =y⁰(0) =y⁰⁰(0) = 1.

44. L¨osen Sie folgendes Cauchy-Problem y⁰⁰(t)−y(t) = cosht= 1

2(e^t+ e^−t), y(0) = 1, y⁰(0) = 2.

6 Stabilit¨ at

45. Zeigen Sie, dass man~a∈R^N finden kann, sodass die L¨osung ~y_~a des Cauchy-Problems

~

y_~a⁰(t) =

3 1 0 −2

~

y_~a(t), ~y_~a(0) =~a

erf¨ullt (a): k~y_~a(t)k ≤e^−2t oder (b): k~y_~a(t)k ≥e^3t f¨ur allet≥0. Zeigen Sie, dass es kein~a ∈R^N gibt, sodass (c): e^−t ≤ k~y_~a(t)k ≤e^2t f¨ur alle t≥0.

46. Bestimmen Sie, den stabilen RaumE^s und den instabilen Raum Eⁱ f¨urs Problem

~ y⁰(t) =

2 0 2 −1

~ y(t).

Finden Sie zwei L¨osungen~y^s und~yⁱ, sodass~y^s(t)∈E^s und ~yⁱ(t)∈Eⁱ f¨ur alle t≥0. Finden Sie eine L¨osung ~y⁰ mit ~y⁰(t)∈E^s∩Eⁱ f¨ur allet ≥0.

47. Klassifizieren Sie den station¨aren Punkt~0 des Systems ~y⁰ =A_i~y f¨ur A₁ =

1 2 0 2

, A₂ =

0 1

−1 0

, A₃ =

−1 −1

−2 1

, A₄ = 2 2

0 2

.

Zeichnen Sie einige Laufbahnen.

48. Betrachten Sie die Stabilit¨at der station¨aren L¨osungen von ~y⁰ = (y₁y₂−1, y₁−y₂).

49. Betrachten Sie die Stabilit¨at der station¨aren L¨osungen von

~

y⁰ = ((y₁+ 1)(y₁−1)y₂,(y₂+ 1)(y₂−1)y₁).

50. Finden Sie die station¨aren L¨osungen von ~y⁰ = (y₂(y²₁ +y₂² − 1),(y₁ −y₂)(y₁² +y²₂ −1)) und betrachten Sie die Stabilit¨at von~0.

51. Betrachten Sie die Stabilit¨at der station¨aren L¨osungen von~y⁰ = (y₁+y₂+2y₃, y₃(1−y₃), y₁−u₂).