” glatten“ Anteil R 1 (E) zur Eigenwertdichte. Dieser glatte Anteil l¨ aßt sich in d Dimensionen formal wie

Quantenchaos (Guhr) — ¨ Ubung 12

1. Trotter Formel

Es seien T und V selbstadjungierte Operatoren. Beweisen Sie Trotters Produkt Formel

exp(iλ(T + V )/N ) = exp(−iλT /N) exp(−iλV /N) + O(λ ² /N ² ) In Gutzwillers Spurformel spielen die Bahnen der L¨ ange Null eine besonde- re Rolle. Die Beitr¨ age dieser Bahnen liefern den

” glatten“ Anteil R ₁ (E) zur Eigenwertdichte. Dieser glatte Anteil l¨ aßt sich in d Dimensionen formal wie

R 1 (E) =

Z d ^N qd ^N p

(2π ~ ) ^N δ(E − H(~ q, ~ p)) , (1)

schreiben.

(a) Interpretieren Sie diese Formel.

(b) Leiten Sie sie her. Benutzen Sie Darstellung der retardierte Green’sche Funktion G(~ q, ~ q ⁰ , E ) als Fouriertransformierte des Propagators.

Approximieren Sie den retardierten Propagator f¨ ur infinitesimal kleine Abst¨ ande ~ q → ~ q ⁰ durch den Propagator f¨ ur infinitesimal kurze Zeiten τ

~ lim

q→~ q

K(~ q, ~ q ⁰ , t) = lim

t→0 K(~ q, ~ q ⁰ , t)

τ→0 lim K(~ q, ~ q ⁰ , τ ) ≈ θ(τ ) m

2πi ~ τ N/2

exp im

2τ ~ (~ q − ~ q ⁰ ) ² − iτ

~ V ((~ q + ~ q ⁰ )/2)

. (2)

Wo ist diese Approximation gerechtfertigt, wo nicht?

(c) Fouriertransformieren Sie K(~ q, ~ q ⁰ , t) bez¨ uglich der Differenz ∆~ q = ~ q − ~ q ⁰ K(~ q, ~ q ⁰ , t) =

Z ∞

−∞

d ^N p

(2π ~ ) ^N exp(i~ p(~ q−~ q ⁰ )/ ~ ) K(~ e q+~ q ⁰ , ~ p, t) . Nun l¨ aßt sich der Limes ~ q → ~ q ⁰ problemlos nehmen.

(d) Benutzen Sie schließlich die Definition der Zustandsdichte ρ(E) = − 1

π Im Z

d ^N qG(~ q, ~ q, E) .

2. Rechteckbilliard

(a) Benutzen Sie Formel (1) um den ersten Term der Weyl’schen Entwicklung f¨ ur das Rechtecksbilliard ( ¨ Ubungsblatt 6, Aufgabe 2a) zu reproduzieren.

(b) Wie lautet dieser Term f¨ ur das N dimensionale Rechteckbilliard?