1
Niels Bohr (1885 - 1962)
2.8 Das Bohrsche Atommodell
Zentripetalkraft = Coulombkraft
Angstrom 53
0 m 10 292 , 5
2 4
4 2 2
4 4
1
11 2
0 2 0
0 0
2 2
0 2 2 2
2
2 2 2
0 2
2 0
2
Kern Kern 2
2
0 2
e , a h
n a Z v h
Z a n e
Z h r n
h n
r e
r Z
r h v n
v n h n
r
k h v
v p e r Z
m m m
m m r
e Z r
v
e e
e
zusätzliche Bedingung: Umfang der Bahn = ganzzahliges Vielfaches der de-Broglie-Wellenlänge
diskrete Werte von v und r
Bohrscher Radius (Wasserstoffatom im Grundzustand)
diskrete Werte der
kinetischen Energie
kinE
potE E
kinE
potE
kinr e v Z
E
2
1 4
1 2 1 2
1
20 2
R m
e
n R Z n E
Z h
E e
für
8
22 2
2 2 2 0 4
2 2 2
0 4
2 4 2 2
2 2
2 2 0 2
2 2
8 8
2 1
n Z h
e h
n Z a v h
E
Rydberg-Konstante
n h L n
n a Z a h
Z v n
r
L
2
2
00 2
Bahndrehimpuls
Statt Umfang = ganzzahliges Vielfaches von könnte man auch fordern:
Bahndrehimpuls = ganzzahliges Vielfaches von ħ
Der Drehimpuls ist quantisiert und n ist eine Quantenzahl, die einen Quantenzustand definiert.
Licht wird absorbiert, wenn ein Elektron von einem energetisch tieferen in einen höheren Zustand übergeht.
Licht wird emittiert, wenn ein Elektron von einem energetisch höheren in einen tieferen Zustand übergeht.
Die potenzielle Energie des tiefsten Zustands des Wasserstoffatoms ist -R = -13,6 eV.
Diese Energie wird benötigt, um das Wasserstoffatom zu ionisieren.
Die Radien der Bahnen nehmen quadratisch mit n zu und umgekehrt proportional zu Z ab.
Die Energien der Zustände folgen -Z
2/n
2.
n E n h
E
i jeinsetzen des
E- und p-Operators
allgemeiner: mit einem Potenzial V , d.h. unter dem Einfluss konservativer Kräfte
dreidimensional
3
2.9 Die Schrödinger-Gleichung
Erwin Schrödinger (1887 - 1961) Die Wellenfunktionen müssen einer geeigneten Wellengleichung und Randbedingungen
(z.B. freier Raum oder Potenziale verschiedener Form) genügen.
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 , mit ˆ
ˆ 2 ,
2 2
2 2 ?
z y
x
t x m V
H t H
i
t x x V
m i t
x m i t
m E p
m k m k
x f c t f
k c
elektromagn. Welle
Materiewelle
Wellengleichung
Hamilton-Operator vgl. Hamilton-Funktion in der Mechanik = kin. Energie + pot. Energie
(Potenzial bislang noch zeitabhängig)
zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
) ( )
( ) ) (
( 2
) ) (
(
) ( ) ) (
( 2
) ( 1 )
( ) ( 1
) ( ) ( ) ) (
( ) 2
) ( ) (
(
) ( ) ( ) , (
2 2 2
2 2 2
2 2 2
x E x x
x V x m
t t E
i t
x x
x V x m
x t
t i t
t x x
x V x t m
t x t i
t x t
x x
V V
Produkt einer orts- und zeitabhängigen Funktion in die eindimensionale Schrödinger-Gleichung eingesetzt
da die linke Seite nur t-abhängig und die rechte nur x-abhängig ist, müssen beide Seiten gleich einer Konstanten sein
Es ergeben sich zwei getrennte Differenzialgleichungen, die Konstante wird E genannt (weil die erste Gleichung eine Eigenwertgleichung für den Energieoperator ist)
1 ) 0 ( und
mit )
( )
0 ( ) (
) 0 (
) ln ( ) 0 ( ln ) ( 1 ln
1
0 0
t e E
e t
E t i t t
E t t i
i E
t t i
E i
t t
Lösung der ersten Gleichung:
( ) ( )
: x t
5
Zweite Gleichung:
Eigenwertgleichung, die von V(x) abhängt und als Eigenwerte diskrete Energien für Quantenzustände ergibt
t i n
n
e
nx t
x
x E x H x x
x V x m
) ( )
, (
) ( )
ˆ ( ) ( ) ) (
(
2
22
2Gesamtwellenfunktion
Anwendungsbeispiele
a) Unendlich hoher Potenzialtopf
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
mit 2 )
sin(
) , (
3 , 2 , 2 1
mit sin
) (
cos sin
) (
0 ) ( ) 0 ( )
) ( ( 2
, 0 für
)
(
0 für 0
) (
ma n m
E k A a
e x k A
t x
a n n n k
x a k A
x
x k B
x k A
x
a x
x E x m
a x x
x V
a x x
V
n n
n t
i n
n n
n n
