Über ein Elektron im magnetostatischen Feld

deposit_hagen

Publikationsserver der

Mathematik und

Informatik

Lehrgebiet Stochastik Forschungsbericht

Eugen Grycko

Über ein Elektron im

magnetostatischen Feld

UBER EIN ELEKTRON IM MAGNETOSTATISCHEN FELD¨ Eugen Grycko

Fakult¨at f¨ur Mathematik und Informatik FernUniversit¨at

Universit¨atsstr. 1 D- 58094 Hagen, GERMANY

1. Einleitung

In [4] bzw. [5] wird das Ph¨anomen der Verst¨arkung des Rauschlevels in Me- tallen, die einem externen elektrostatischen Feld ausgesetzt sind, berichtet bzw. quantenmechanisch begr¨undet. Die daf¨ur erforderliche externe Feldst¨arke zieht es nach sich, dass man f¨ur den Nachweis des in Rede stehenden Ph¨ano- mens mit sehr hohen elektrischen Spannungen experimentieren muss.

In j¨ungster Vergangenheit sind Legierungen synthetisiert worden, die sich durch hohe magnetische Suszeptibilit¨at auszeichnen, so dass damit starke Permanent-Magnete hergestellt werden k¨onnen, und es stellt sich die Frage, ob die quasi-freien Valenzelektronen innerhalb eines Metalls (Drahts) durch ein starkes magnetostatisches Feld in einen Zustand versetzt werden k¨onnen, in dem die zwischen den Enden des Drahts herrschende spontane elektrische Rauschspannung verst¨arkt wird.

In Abschnitt 2 demonstrieren wir klassisch, dass das Elektronengas keine kinetische Energie von einem magnetostatischen Feld aufnehmen kann, wo- durch quantenmechanische Betrachtungen motiviert werden. In Anlehnung an [3] f¨uhren wir in Abschnitt 3 einen Schr¨odinger-Operator f¨ur ein Elektron in einem 1-dimensionalen diskreten Ortsraum (Gitter) ein. Der Operator ge- stattet uns (in Abschnitt 4) die Herleitung des quantenmechanischen Gibbs- Zustands eines Elektrons, der als ein mathematisches Modell f¨ur ein thermo- dynamisches Gleichgewicht dient. Als eine Anwendung der Tensorrechnung f¨uhren wir in Abschnitt 5 den Gibbs-Zustand eines Elektrons in einem 3- dimensionalen Gitter ein und definieren einen semiklassischen Lorentzkraft-

Operator, der die Einwirkung eines magnetostatischen Feldes auf ein quasi- freies Elektron beschreibt. Es zeigt sich, dass die semiklassische Lorentzkraft keine ¨Anderung der kinetischen Elektronenenergie bewirkt. In Anlehnung an [1] f¨uhren wir in Abschnitt 6 einen Hamiltonian ein, in dem ein magnetosta- tisches Feld ber¨ucksichtigt wird, und definieren gem¨aß dem Quantenforma- lismus den zugeh¨origen Gibbs-Zustand. Ein numerisches Beispiel mit realis- tischen Parameterwerten liefert einen Anhaltspunkt daf¨ur, dass die St¨arke des magnetostischen Feldes Einfluss auf das zweite Moment des Geschwin- digkeitsoperators f¨ur das Elektron hat, womit empirische Untersuchungen motiviert werden, die wir in Abschnitt 7 berichten.

2. Ein klassisches Elektron im magnetostatischen Feld

Wir betrachten ein homogenes magnetostatisches Feld im Anschauungsraum R³. Ein solches Feld ist durch einen Vektor B = (B1, B2, B3) charakterisiert.

Bewegt sich ein Elektron der Ladung −e mit einer momentanen Geschwin- digkeit v ∈R³, dann wirkt die Lorentz-Kraft

(2.1) F =−e·(v ×B) =e·(B×v)

auf das Elektron, wobei mit × das Vektorprodukt im R³ bezeichnet wird (vgl. [6], S. 260). Die momentane magnetische Leistung P, mit der das Elek- tron vom Feld B versorgt wird, ist gegeben durch:

(2.2) P =hF, vi=e· hB ×v, vi= 0,

wobeih·,·idas Skalarprodukt bezeichnet. Fallsv ein klassischer Zufallsvektor ist, sind der Erwartungswert und die Varianz der ZufallsvariablenP ebenfalls gleich 0.

(2.2) impliziert also, dass die klassische Lorentz-Kraft keine ¨Anderung der kinetischen Energie des Elektrons im Zeitintervall [t₁, t₂] bewirkt:

∆E_kin =

t2

Z

t1

P dt= 0.

Wir erinnern daran, dass ein Vektorpotential A : R³ → R³ des homogenen magnetostatischen Feldes B durch

(2.3) A(x, y, z) = 1

2 ·B×(x, y, z)

gegeben ist, vgl. [7], S. 162. Im Spezialfall B = (0,0, B₃) erhalten wir

(2.4) A(x, y, z) = B₃

2 ·(−y, x,0).

3. Ein Sch¨odinger-Operator im diskreten Ortsraum Wir betrachten ein endliches Gitter

L_a :={na|n= 1, . . . , N}

von N Punkten, das einen diskreten Ortsraum modelliert; Parametera > 0 heißt Gitterkonstante. L_a dient als Ortsraum eines Valenzelektrons in einem 1-dimensionalen elektrischen Leiter.

Ein Quantenzustand eines Elektrons innerhalb des Leiters wird zun¨achst be- schrieben durch eine Funktion ϕ:La→C mit

N

X

n=1

|ϕ(na)|² = 1.

In diesem Kontext interpretieren wir |ϕ(na)|² als die Wahrscheinlichkeit der r¨aumlichen N¨ahe des Elektrons zum Gitterpunkt na ∈ L_a. Verm¨oge einer Standard-Identifizierung kann die Menge aller Quantenzust¨ande des Elek- trons als die Einheitssph¨are des C^N aufgefasst werden.

Der Impulsoperator pb:C^N →C^N f¨ur ein Elektron in L_a ist definiert durch (3.1) (pϕ)(na) =b −i~· ϕ((n+ 1)a)−ϕ((n−1)a)

2a (n = 1, . . . , N), wobei ~ = 1.05·10⁻³⁴ Js das Plancksche Wirkungsquantum bezeichnet; in (3.1) wird die Konvention

ϕ(na) = 0 for n <1 und f¨ur n > N

angewendet und kann als eine Dirichlet-Randbedingung (vgl. [2], S. 28ff) auf- gefasst werden.bpist selbstadjungiert und kann als eine diskrete Zentraldifferenzen- Approximation des 1-dimensionalen Impulsoperators

−i~· d dx

f¨ur den Ortsraum R¹ interpretiert werden. Dementsprechend kann durch p/2mb die kinetische Energie des Elektrons ausgedr¨uckt werden, dessen Masse mit m bezeichnet wird.

3.1 Bemerkung:

Alle Eintr¨age in der Matrix pbsind rein imagin¨ar; also sind alle Eintr¨age in der Matrix, die den Operator pb²/2m repr¨asentiert, reell.

In unserem vereinfachten diskreten Modell wird das elektrostatische Potential des elektrischen Feldes, welches durch die in den Gitterpunkten positionier- ten Ionen erzeugt wird, vernachl¨assigt.

Also ist der angek¨undigte Schr¨odinger-Operator H :C^N →C^N, welcher das Elektron im Ortsraum L_a beschreibt, gegeben durch

(3.2) H = pb²

2m. 3.2 Bemerkung:

Die Menge der Quantenzust¨ande eines Elektrons in L_a kann in die Menge der positiven Operatoren mit Spur 1 eingebettet werden, indem man jeden Einheitsvektor ϕ∈ C^N mit der orthogonalen Projektion auf den von ϕauf- gespannten 1-dimensionalen Untervektorraum assoziiert. Deshalb bezeichnen wir jeden positiven Operator Z :C^N →C^N mit Spur 1 als einen verallgeme- nerten Quantenzustand des Elektrons. In Analogie zum klassischen Fall ist der Geschwindigkeitsoperator v :C^N →C^N des Elektrons gegeben durch

v := 1 m ·bp.

4. Der Gibbs-Zustand eines Elektrons

Wir betrachten den Schr¨odinger-Operator H aus Abschnitt 3. Sei T >0 die (absolute) Temperatur des elektrischen Leiters. Der Operator GT : C^N → C^N, der den Gibbs-Zustand des Elektrons inL_amodelliert, ist definiert durch

(4.1) G_T := 1

Z(T) ·exp

− 1 kB·T ·H

,

wobei

(4.2) Z(T) := trace

exp

− 1 k_B·T ·H

die Zustandssumme und k_B die Boltzmann-Konstante bezeichnen. Operator G_T ist motiviert durch das Entropie-Prinzip (vgl. [5], S. 384) und beschreibt den thermischen Gleichgewichtszustand des Elektrons inLamit der Interpre- tation eines Diagonaleintrags G_T(n, n) als die Wahrscheinlichkeit der r¨aum- lichen Assoziation des Elektrons mit dem Gitterpunkt na.

4.1 Bemerkung:

Alle Eintr¨age in der MatrixG_T sind reelle Zahlen; vgl. Bemerkung 3.2.

Gem¨aß dem Quantenformalismus ist der Erwarungswert einer Observablen (d.h. eines selbstadjungierten Operators) S : C^N → C^N zum Zustand G_T gegeben durch:

E^q(S) := trace(G_TS).

Aus der Linearen Algebra ist bekannt, dass der Erwartungswert stets eine reelle Zahl ist. Da die Matrix v nur rein imagin¨are Eintr¨age hat, folgt:

(4.3) Eq(v) = trace(G_Tv) = 0.

5. Der 3-dimensionale Fall semiklassisch

Um das Modell in Realit¨atsn¨ahe zu bringen, betrachten wir das 3-dimensionale Gitter L³_a. Damit die interessierenden Operatoren einen gemeinsamen Defi- nitionsbereich haben, f¨uhren wir die dritte Tensor-Potenz

V₃ := (C^N)^⊗3 :==C^N ⊗C^N ⊗C^N

des Vektorraums C^N ein. Aus der multilinearen Algebra ist bekannt, dass (C^N)^⊗3 isomorph zu C^N

3 ist, in dem die Zustandsvektoren eines Elektrons im 3-dimensionalen Gitter L³_a vorfindbar sind. Es bietet sich jetzt an, den Gibbs-Zustand G_T :V₃ →V₃ gem¨aß

GT :=GT ⊗GT ⊗GT

einzuf¨uhren.G_T ist ein positiver selbstadjungierter Operator und es gilt:

trace(G_T) = trace(G_T)3

= 1.

Wir interpretierenG_T als den thermischen Gleichgewichtszustand eines Elek- trons im Gitter L³_a.

Der Geschwindigkeitsoperator v des Elektrons in L³_a hat jetzt drei Kompo- nenten:

(5.1) v_x :=v ⊗I_N ⊗I_N, v_y :=I_N ⊗v⊗I_N, v_z :=I_N ⊗I_N ⊗v, wobei I_N die N ×N-Einheitsmatrix bezeichnet. Es gilt (vgl. (4.3)):

(5.2) Eq(v_x) = trace(G_Tv_x) = trace(G_Tv)· trace(G_TI_N)2

= 0, und analog

(5.3) Eq(v_y) =Eq(v_z) = 0.

Es gilt ferner:

v_xv_y =v⊗v⊗I_N =v_yv_x,

d.h. die Geschwindigkeitsoperatoren v_x, v_y und v_z kommutieren. Es folgt (vgl. (4.3)):

(5.4) E^q(vxvy) = trace(GTv)2

·trace(GTIN) = 0 und somit auch

(5.5) E^q(v_xv_z) =E^q(v_yv_z) = 0.

Wir nehmen jetzt an, dass das Gitter L³_a einem externen homogenen magne- tostatischen Feld B = (B₁, B₂, B₃) ausgesetzt ist. In Analogie zum klas- sischen Fall (vgl. (2.1)) f¨uhren wir jetzt den Lorentzschen Kraftoperator F = (F1, F2, F3) gem¨aß

(5.6) F :=e·(B×_q(v_x, v_y, v_z)) := e·(B₂v_z−B₃v_y, B₃v_x−B₁v_z, B₁v_y−B₂v_x)

ein.

Offenbar ist Fj : V3 → V3 ein selbstadjungierter Operator (vgl. (5.1) und (5.2)) mit

Eq(F_j) = 0

f¨ur j = 1,2,3. Das Tupel F = (F₁, F₂, F₃) stellt das Quanten-Analogon der klassischen Lorentz-Kraft, die auf das Elektron inL³_awirkt. In Anlehnung an die klassische Formel (2.2) l¨asst sich nun der Leistungsoperator P :V₃ →V₃,

P :=hF,(v_x, v_y, v_z)i_q :=F₁v_x+F₂v_y +F₃v_z

einf¨uhren. P beschreibt die Leistung, die vom magnetostatischen FeldB an das Elektron abgegeben wird. (5.4),(5.5) und (5.6) implizieren

P = 0 was an den klassischen Fall erinnert.

Also bewirkt das magnetostatische Feld im betrachteten semiklassischen Mo- dell keine ¨Anderung der kinetischen Energie des Elektrons.

6. Der 3-dimensionale Fall quantenmechanisch

Wir betrachten wieder den Impulsoperatorpbf¨ur das Elektron inL_a, vgl. (3.1).

Es bietet sich jetzt an, das Tupel p = (p_x, p_y, p_z) der Impulsoperatoren px, py, pz :V3 →V3 gem¨aß

(6.1) p_x :=pb⊗I_N ⊗I_N, p_y :=I_N ⊗pb⊗I_N, I_N ⊗I_N ⊗pb einzuf¨uhren. Anhand von (6.1) erkennt man, dass die Komponenten von p kommutieren:

p_xp_y =p_yp_x, p_xp_z =p_zp_x, p_yp_z =p_zp_y.

Wir spezifizieren wieder das homogene magnetostatische FeldB := (0,0, B₃).

Um das Tupel s = (s_x, s_y, s_z) der Ortsoperatoren s_x, s_y, s_z :V₃ → V₃ f¨ur das Elektron in L³_a einzuf¨uhren, definieren wir die Diagonalmatrix

s :=













1 0 · · · 0 0 2 0 · · 0

· 0 · · · ·

· · · 0 0 · · · 0 N











 .

Es liegt nahe, das Tupel s = (s_x, s_y, s_z) der Ortsoperatoren s_x, s_y, s_z :V₃ → V₃ gem¨aß

(6.2) s_x:=a·s⊗I_N⊗I_N, s_y :=a·I_N⊗s⊗I_N, s_z :=a·I_N⊗I_N⊗s einzuf¨uhren. s beschreibt den Ort eines Elektrons in L³_a und seine Kom- ponenten s_x, s_y, s_z sind selbstadjungierte Operatoren in V₃. Die nat¨urliche QuantisierungAb= (A_x, A_y, A_z) des VektorpotentialsAaus (2.4) ist gegeben durch:

(6.3) A_x :=−B3

2 ·s_y A_y := B3

2 ·s_x A_z := 0.

Offenbar sind A_x, A_y und A_z selbstadjungierte Operatoren in V₃.

In Anlehnung an [1], S. 210, ist der Hamiltonian H :V₃ →V₃ eines Elektrons (mit der Ladung−e) im GitterL³_a, das dem externen magnetostatischen Feld B ausgesetzt ist, gegeben durch:

H:= 1

2m · (p_x+e·A_x)²+ (p_y +e·A_y)²+p²_z .

Operator H ist offenbar selbstadjungiert und positiv. Gem¨aß dem Quanten- formalismus ist der Gibbs-ZustandG_T :V₃ →V₃des Elektrons inL³_agegeben durch:

(6.4) G_T := 1

Z(T)·exp

− 1 k_BT ·H

mit der Zustandssumme

Z(T) := trace

exp

− 1 k_BT ·H

,

falls das Gitter L³_a die Temperatur T > 0 besitzt.

Das zweite Moment µ₂ des Geschwindigkeitsoperators v_x des Elektrons im zustand G_T ergibt sich gem¨aß

µ₂ := trace G_Tv²_x

≥0.

6.1 Beispiel:

Setze N := 15, a = 10⁻¹⁰ m und T := 300 K. Im Diagramm in Abb. 1

entspricht die horizontale Achse der St¨arke −100 T ≤ B₃ ≤ 100 T des ma- gnetostatischen Feldes, dem das Gitter L³_a ausgesetzt ist; die physikalische Einheit ist T (Tesla). Die vertikale Achse entspricht der Quadratwurzel√

µ2

vonµ₂in der physikalischen Einheit m/s. Der Graph der numerisch bestimm- ten Funktion belegt, dass das zweite Moment des Geschwindigkeitsoperators von der St¨arke B3 des magnetostatischen Feldes B abh¨angt. Obwohl der Einfluss vonB₃ aufµ₂ minimal ist, motiviert Abb. 1 eine entsprechende em- pirische Untersuchung.

Abb. 1:Das zweite Moment des Geschwindigkeitsoperators

7. Empirisches

Wir nehmen einen toroidalen Permanent-Magneten und wickeln um ihn einen Kupferlackdraht vom Durchmesser 0.3 mm. Die Enden des Drahts werden an den Eingang eines Delonschen Gleichrichters (vgl. Abb. 2) angeschlossen.

Abb. 2: Delonscher Gleichrichter

Wir kontaktieren den Spannungsmesser 3340 DMM des Herstellers Peak- Tech mit dem Ausgang des Gleichrichters, an dem auch ein Kondensator der Kapazit¨at C = 0.33µF angeschlossen ist. Der Spannungsmesser besitzt die Impedanz R =10 MΩ.

Abb. 3: Die Messanordnung

Die vom Messger¨at angezeigten Spannungen werden protokolliert und sind in Tabelle 1 wieder gegeben.

Tabelle 1: Gemessene Rauschspannungen

Relaxationszeit/Min. 1. Messreihe/mV 2. Messreihe/mV

10 80 280

20 159 317

30 213 398

Wir weisen darauf hin, dass mit dem MesswertU = 398 mV die Stromst¨arke I = U

R = 39.8 nA nachgewiesen ist.

Obwohl die beobachteten Messwerte exemplarisch sind, vermuten wir, dass sie im kausalen Zusammenhang mit dem in Beispiel 6.1 berichteten Quan- teneffekt stehen.

Danksagung

Der Autor bedankt sich bei Wilfried Arends, der die in Abschnitt 7 berich- teten Messwerte erhoben hat. Mein Dank gilt auch Silke Hartlieb, Matthias Miehl, Verena Sammet, Joachim Warzecha und Volker Winkler f¨ur techni- sche Unterst¨utzung. Der Autor bedankt sich nicht zuletzt bei Martin Roos f¨ur wertvolle Kommentare zum first draft des vorliegenden Beitrags.

Literatur

[1] L.E. Ballentine, Quantum Mechanics. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, (1990).

[2] H.L. Cycon, R.G. Froese, W. Kirsch, B. Simon, Schr¨odinger operators.

Springer, Berlin, Heidelberg, New York (2008).

[3] M. Disertori, W. Kirsch, A. Klein, F. Klopp, V. Rivasseau, Random Schr¨odinger Operators. Panoramas et Syntheses, Societe Mathematique de France, Paris (2008).

[4] E. Grycko, W. Kirsch, T. M¨uhlenbruch, Amplification of thermal noise by an electrostatic field. Int. J. Pure Appl. Math61, No. 2, 187-192, (2010).

[5] E. Grycko, W. Kirsch, T. M¨uhlenbruch, Some quantum mechanical evi- dence for the amplification of thermal noise in an elctrostatic field. Int. J.

Pure Appl. Math 69, No. 4, 437-443, (2011).

[6] J.D. Jackson, Classical Electrodynamics. 3. ed.,John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ, (1998).

[7] W. Nolting, Elektrodynamik. 6. Aufl., Springer, Berlin, Heidelberg, New York, (2002).

[8] W. Thirring, Quantum Mathematical Physics. Second edition, Springer, Berlin, Heidelberg, New York (2002).