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L INEARE FUNKTIONEN

Inhaltsverzeichnis

Kapitel Inhalt Seite

1 Zuordnungsvorschrift, Funktionsgraph 1

2 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen 2

3 Schnittpunkt von Geraden 3

4 Geradenscharen, Interpretation der Parameter 4

3.1 Das Geradenbüschel 4

3.2 Die Parallelenschar 6

5 Neigungswinkel von Geraden 7

5.1 Neigungswinkel der Ursprungsgeraden 7

5.2 Neigungswinkel einer beliebigen Geraden 8

6 Schnittwinkel von Geraden 9

6.1 Senkrechte Geraden 9

6.2 Beliebige nicht senkrechte Geraden 10

7 Bestimmung des Funktionsterms einer Geraden 11

7.1 Punkt-Steigungsform 11

7.2 Zwei-Punkteform 11

7.3 Analytische Darstellungsformen 12

8 Lage von Geraden zueinander 13

9 Lineare Ungleichungen 14

11 Physikalische Anwendungen 17

Lineare Funktionen

1 Zuordnungsvorschrift, Funktionsgraph Definition

Eine Funktion f mit der Zuordnungsvorschrift f : IR  IR , x  y a x b   heißt lineare Funktion.

Im Folgenden wird die funktionale Schreibweise f(x) a x b   mit x , a , b IR  verwendet.

Bezeichnungen

y a x b   heißt Funktionsgleichung, f(x) a x b   heißt Funktionsterm.

G

_f

ist der Graph von f in einem (kartesischen) Koordinatensystem.

Beispiel

Gegeben sind die Funktionen f

₁

und f

₂

mit den Funktionstermen

1

f (x) 1 x 1

 2  und

₂

3

f (x) x 3

  4  , wobei x IR  . Zeichnen Sie die zugehörigen Graphen

f1

G und

f2

G . Lösung

Für das Zeichnen einer Geraden genügen zwei beliebig gewählte Stellen x

1

und x

2

,

zu denen jeweils die y-Koordinaten für die Punkte A und B bzw. C und D berechnet werden.

1

1

f (1) 3 A(1/1,5) 2

f (4) 3 B(4 / 3)

 

 

2

2

f (1) 5 C(1/ 2,25) 4

f (4) 0 D(4 / 0)

 

 

2 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) a x b   mit x, a, b IR   a 0 

Schnitt mit der x-Achse über die Bedingung: y 0   f(x) 0   a x b 0   Lösen der linearen Gleichung liefert die Nullstelle

₀

b

x a 0

  a   . Der Schnittpunkt mit der x-Achse hat die Koordinaten

_x

b

S / 0

a

  

 

  . Schnitt mit der y-Achse über die Bedingung: x 0   f(0) a 0 b b     Der Schnittpunkt mit der y-Achse hat die Koordinaten S 0 / b .

y

 

Bemerkung

a 0   b 0   f(x) b  besitzt keine gemeinsamen Punkte mit der x-Achse.

a 0   b 0   f(x) 0  ist die x-Achse.

Beispiel: Gegeben sind die Funktionsterme f

3

, f

4

und f

5

.

Gesucht sind jeweils die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

3

1 1

f (x) x

4 2

 

 

3

0 x

1 1

f (x) 0 x 0

4 2

x 2 S 2 / 0

   

  

 

3 y

f (0) 1 S 0 / 0,5

  2  

^{3 2 1 0 1 2 3}

2

1 1 2 3

Graph von f3

x-Achse

y-Achse

4

3 3

f (x) x

4 2

 

 

4

0 x

3 3

f (x) 0 x 0

4 2

x 2 S 2 / 0

   

    

 

4 y

f (0)  3  S 0 /1,5

^{3 2 1 0 1 2 3}

1 2 3

Graph von f4

y-Achse

f (x) 2

5



f (x) 0

5

  2 0  nicht möglich, also exis- tieren keine Nullstellen.

 

5 y

f (0) 2   S 0 / 2

3 2 1 0 1 2 3

2

1 1 2 3

Graph von f5

x-Achse

y-Achse

3 Schnittpunkt von Geraden

Gegeben: g (x) m x t

₁



₁

 

₁

; g (x) m x t

₂



₂

 

₂

; mit x IR  und m

₁

 m

₂

. Gesucht: Schnittpunkt S(x

_S

/y

_S

)

Allgemeine Lösung

Der Punkt S liegt auf beiden Geraden.

Das Einsetzen von Punkt S in die Funk- tionsterme liefert ein Gleichungssystem:

1 S 1 S 1

2 S 2 S 2

S g : y m x t (1) S g : y m x t (2) GLS

   

   

Das Gleichungssystem besteht aus zwei Gleichungen für zwei Unbekannte. Da auf der linken Seite jeweils der gleiche Term steht, löst man es über das Gleichset- zungsverfahren.

(1) = (2): m x

₁



_S

  t

₁

m x

₂



_S

 t

₂

Auflösen nach x

_S

: (m

₁

 m ) x

₂



_S

 t

₂

 t :(m

_{1 1}

 m ) 0

₂

 Da nach Vors. m

₁

 m

₂

gilt:

_S ^{2 1}

1 2

t t

x m m

 



Einsetzen von x

_S

in einen der beiden Funktionsterme, z. B. g

₁

, also:

2 1 1 2 2 1

S 1 S 1 1

1 2 1 2

t t m t m t

y g (x ) m t

m m m m

 

    

  .

Beispiel

g (x) 2 x 3

1

  ;

₂

1 g (x) x 3

 2  ;

1 2 1 2

S

g g : g (x) g (x) 2 x 3 1 x 3 2 3 x 6 2

x 4

      

 

 

Funktionswert: y

_S

 g (x ) g (4) 2 4 3 5

_{1 S}



₁

    Schnittpunkt: S(4/5)

4 Geradenscharen, Interpretation der Parameter Allgemein: f(x) m x t     x, m, t  IR

4.1 Das Geradenbüschel

Gegeben sind die Geraden f (x) m x

_m

  mit x IR  und m   { 2 ; 1 ; 0,5 ; 0,25 ; 1 ; 2 ; 3}   Gesucht ist der Einfluss des Parameters m.

Welcher Graph gehört zu wel- chem Parameter?

Man stellt fest:

(1) Die Funktionenschar f (x)

_m

liefert ein Geradenbüschel durch den Punkt P(0/0).

(2) Für m>0 gilt:

Je größer m, desto „steiler“ ist die Gerade.

2 1 0 1 2 3 4

2

1 1 2 3 4

Geradenbüschel

x-Achse

y-Achse

Mathematische Formulierung Der Parameter m charakterisiert den Zuwachs ∆y pro fest ge- wähltem ∆x .

Definition der Steigung

2 1

2 1

y y ∆y

m x x ∆x

  



Bezeichnungen (1) Der Quotient y

x



 heißt Differenzenquotient.

(2) Für m 0  steigt die Gerade.

(3) Für m 0  fällt die Gerade.

(4) m 0  : Die Gerade heißt konstante Funktion.

Sie ist parallel zur x-Achse oder die x-Achse selbst.

Spezialfälle

f(x) x  : Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten.

f(x)   x : Winkelhalbierende des II. und IV. Quadranten.

y t    t 0 : Parallele zur x-Achse, sie ist weder steigend noch fallend.

t 0    y 0 : x-Achse ist weder steigend noch fallend.

Warnung

0 0

x x   x  0 : Die Parallele zur y-Achse ist keine Funktion.

x 0  Die y-Achse ist keine Funktion.

4.2 Die Parallelenschar

Gegeben sind die Geraden f (x) x t

_t

  mit x IR  und t   { 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 }  . Gesucht ist der Einfluss des Parameters t.

Welcher Graph gehört zu welchem Pa- rameter?

Man stellt fest:

(1) Die Funktionenschar f (x) liefert

_t

eine Parallenschar.

(2) Man nennt t den

Achsenabschnitt auf der y–Achse.

3 2 1 0 1 2 3

3

2

1 1 2 3 4 5

x-Achse

y-Achse

5 Neigungswinkel von Geraden

5.1 Neigungswinkel der Ursprungsgeraden Definition

Der Steigungswinkel einer Geraden g ist derjenige im mathematisch positiven Sinn gemes- sene Winkel 

1

bzw. 

2

, den die Gerade mit der positiven x-Achse einschließt.

Betrachtet man im (rechtwinkligen) Steigungsdreieck das Verhältnis y x



 , so entspricht das dem Tangens des Neigungswinkels.

1 1

m 0:tan(α  ) m   α  arctan(m) m 0:tan(β) m    β  arctan(m) ;

Da der Winkel   0 nicht im mathematisch positiven Sinn ausgegeben wird, wird der Nei- gungswinkel umgerechnet: α

₂

 180   β

Neigungswinkel: arc tan(m) falls m 0

tan(α) m α

180 arc tan(m) falls m 0

 

       

Beispiel

g (x)

1

 3 x ; positive Steigung: m  3

Neigungswinkel: ^tan   ^α

¹

^{ 3  α}

¹

^{ arctan}   ^{3  60  ;}

g (x)

2

  3 x ; negative Steigung: m   3

Neigungswinkel: ^tan   ^{β   3  β  arctan}   ^{ 3   60  ;}

 α

₂

 180    60   120 

5.2 Neigungswinkel einer beliebigen Geraden

Berechnung des Neigungswinkels wie bei den Ursprungsgeraden.

Beispiel

g (x) x 1,5

1

  ; positive Steigung: m 1 

Neigungswinkel: tan   α

1

 1  α

1

 arctan 1    45  ; g (x)

2

   x 1,5 ; negative Steigung: m   1

Neigungswinkel: ^tan   ^{β   1  β  arctan}   ^{   1 45  ;}

 α

₂

 180    45   135 

6 Schnittwinkel von Geraden 6.1 Senkrechte Geraden Gegeben

Gerade g mit g(x) m x t 

_g

 

_g

und die dazu senkrechte Gerade n (genannt auch Normale) mit n(x) m x t 

_n

 

_n

. Gesucht

Zusammenhang zwischen den Steigungen m

_g

und m

_n

.

Allgemeine Lösung

Für die Steigungsdreiecke gilt:

Gerade g:

₁

∆y

^g

∆y

^g _g

tan(α ) m

∆x 1

  

Gerade n:

₂

n n n

∆x 1 1

tan(α )

∆y ∆y m

   

Die Winkel α

₁

und α

₂

sind identisch (Winkel, deren Schenkel paarweise senkrecht aufein- ander stehen, sind gleich).

Also gilt: α

₁

 α

₂

 tan(α

₁

) tan(α 

₂

)

Daraus folgt:

_{g g n}

n

m 1 m m 1

m

     

Es gilt: m m

_g



_n

  1  g n 

Beispiel

3 5

g(x) x

4 4

  ; n(x) 4 x 10

3 3

  

g

m 3

 4 ;

_n

4

m   3 ;

_{g n}

4 3

m m 1

3 4

 

         

6.2 Beliebige nicht senkrechte Geraden

Gegeben: g (x) m x t

₁



₁

 

₁

; g (x) m x t

₂



₂

 

₂

; m

₁

 m

₂

Gesucht: Schnittwinkel der beiden Geraden

Beispiel:

1

g (x) 2 x 7

    2 m

₁

  2

2

g (x) 3 x

 2

₂

3

m  2 Einzelne Neigungswinkel:

α

1

 180   arc tan( 2 ) 116,56    α

2

 arc tan(1,5) 56,31  

Schnittwinkel:

1 2

φ α   α  116,56   56,31   60,25 

Berechnung nach der Formel:

 

2 1,5 3,5

φ arctan arctan arctan 1,75 60,25

1 ( 2) 1,5 2

      

                

Allgemeine Lösung:

Der Schnittwinkel φ zweier Geraden ist immer der kleinere der beiden Winkel, welchen die beiden Geraden miteinander bilden.

Der Schnittwinkel φ ergibt sich aus den Neigungswinkeln α

₁

und α

₂

: φ  α

₁

 α

₂



1 2



tan(φ) tan  α  α

Mit dem Additionstheorem für den Tangens gilt:

1 2

1 2

tan(α ) tan(α ) tan(φ)

1 tan(α ) tan(α )

 

  mit 0    φ 90  .

Aus der Steigung lässt sich der Tangens des Winkels berechnen:

1 2

1 2

1 2

m m

tan(φ) 1 m m 0

1 m m

     

  Merkhilfe Seite 2

Bemerkung:

  

7 Bestimmung des Funktionsterms einer Geraden 7.1 Punkt-Steigungsform

Gegeben: Punkt P(x

₀

/ y

₀

) und die Steigung m.

Gesucht: Funktionsterm f(x) der zugehörigen Geraden.

Beispiel 1

Geg.: P(1/1,25 ) ; 3 m  4 ; Ansatz: f(x) m x t   

Also: 3 f(x) x t

   4

P G 

f

:   3    f(1) 1,25 1 t 1,25

4

Auflösen nach t:    5 3 1

t 4 4 2

Eingesetzt:    3 1 f(x) x

4 2

1 0 1 2 3

1 1 2 3

Punkt-Steigungsform

x-Achse

y-Achse

Allgemeine Lösung

Ansatz für eine lineare Funktion: f(x) m x t   

Bestimmung von t: P G : f(x ) y 

_{f 0}



₀

 m x 

₀

  t y

₀

 t    m x

₀

 y

₀

Einsetzen in f(x): f(x) m x m x    

₀

 y

₀

Umformung: f(x) m (x x ) y   

₀



₀

Punkt-Steigungsform

7.2 Zwei-Punkteform

Gegeben: Zwei Punkte P(x

0

/y

0

) und A(x

1

/y

1

)

Gesucht: Funktionsterm der zugehörigen Geraden g.

Beispiel 2

Geg.: A( 0,5 /1,25 ) ; B( 2,5 / 2,25 ) Ansatz: f(x) m x t   

Steigung: m 2,25 1,25 0,5 2,5 0,5

  

 f(x) 0,5 x t

  



_f

     

A G 0,5 0,5 t 1,25 t 1

f(x) 0,5 x 1

  

1 0 1 2 3

1 1 2 3

Zwei-Punkteform

x-Achse

y-Achse

Allgemeine Lösung

Ansatz für lineare Funktion: g(x) m x t   

Einsetzen der Punkte P und A in den Funktionsterm liefert ein Gleichungssystem (GLS):

0 0

1 1

P g : (1) y m x t GLS A g : (2) y m x t

   

   

Das Gleichungssystem besteht aus zwei Gleichungen für zwei Unbekannte. Man löst es z. B.

über das Einsetzungsverfahren oder Additionsverfahren.

Hier das Additionsverfahren (2) – (1): y

₁

 y

₀

  m (x

₁

 x )

₀

Wegen x

₁

 x

₀

auflösen nach m:

^{1 0}

1 0

y y

m x x

 

 m wird in (1) oder (2) eingesetzt:

₀ ^{1 0} ₀

1 0

y y

y x t

x x

   



Auflösen nach t:

₀ ^{1 0} ₀

1 0

y y

t y x

x x

   



m und t werden in den Funktionsterm eingesetzt:

^{1 0} ₀ ^{1 0} ₀

1 0 1 0

y y y y

g(x) x y x

x x x x

 

 

          

Umformung:

^{1 0} _{0 0 1 0}

1 0

y y

g(x) (x x ) y x x

x x

      

 Zwei-Punkteform

7.3 Analytische Darstellungsformen

Die Zuordnungsvorschrift ist in Form einer Gleichung gegeben.

Explizite Darstellung:

Die Funktion ist nach der Variablen y aufgelöst: y f(x)   f(x) m x t    Implizite Darstellung:

Die Funktion ist nicht nach der Variablen y aufgelöst: F(x, y) 0   F(x, y) a x b y c      Parameterdarstellung:

Die Funktion ist in Abhängigkeit vom Parameter t gegeben: x x(t)   y y(t)  Beispiel

Explizite Form: f(x) 2 x 4   

Implizite Form: F(x, y) 0        6 x 3 y 12 0 

Auflösen nach y: 3 y 6 x 12      y 2 x 4   

8 Lage von Geraden zueinander

Gegeben sind die Geradenscharen

_{a a}

1

f (x) a x 1 g (x) x a a IR \ {0}

       a   .

Gesucht: Anzahl der Schnittpunkte in Abhängigkeit des Parameters a.

Lösung: Berechnung des Schnittpunktes durch Gleichsetzen der Funktionswerte:

a a

f (x) g (x)  : 1

a x 1 x a

     a Multiplizieren mit a: a x a x a

²

   

²

Sortieren nach x: ( ) (a 

²

   1) x a

²

 a

Auflösen nach x:

_S

a

²₂

a a (a 1) x a 1 (a 1) (a 1)

  

 

  



Der Bruchterm existiert nur, falls a

²

  1 0 , dann darf gekürzt werden:

_S

a x  a 1

 Berechnung des y-Wertes:

_{a S}

1 a 1 a

²

a

g (x ) a

a a 1 a 1

 

   

 

Schnittpunktskoordinaten:

a 1 a

2

a

S a 1 a 1

   

   

  falls a   1

Speziell:

a 1  : ( ) (1 

²

   1) x 1

²

 1  0 0 wahre Aussage  , identische Geraden a   1 ( ) (( 1)  

²

    1) x ( 1)

²

  ( 1)  0 2 Widerspruch  , parallele Geraden Merke

In Abhängigkeit vom Parameter der Geradenscharen gibt es entweder

 genau einen Schnittpunkt S(x

S

/ y

S

) oder

 unendlich viele Schnittpunkte (die Geraden sind identisch) oder

 keine Schnittpunkte (die Geraden sind parallel).

Beispiel:

a 2  : f (x) 2 x 1

₂

    g (x) 0,5 x 2

₂

  

a   1 : f (x)

_1

   x 1  g (x)

_1

   x 1

a 1  : f (x) x 1

₁

   g (x) x 1

₁

 

9 Lineare Ungleichungen

Eine lineare Ungleichung hat die Form a x b 0   bzw. a x b 0   Algebraische Lösung der linearen Ungleichung

Ansatz: Auflösen nach x.

Beispiel 1

a x b 0    a x   b : a

1. Fall: b

a 0 x

    a

Lösungsmenge:

₁

b

L x IR x a

 

     

 

2. Fall: b

a 0 x

    a

Lösungsmenge:

₂

b

L x IR x a

 

     

 

Beispiel 2

a x b 0    a x   b : a

1. Fall: b

a 0 x

    a

Lösungsmenge:

₁

b

L x IR x a

 

     

 

2. Fall: b

a 0 x

    a

Lösungsmenge:

₂

b

L x IR x a

 

     

 

Ungleichungen mit mehreren linearen Termen, z. B.: a x b c x d    bzw. a x b c x d    in die Form A x B 0   bzw. A x B 0   bringen und dann nach x auflösen.

Dabei sind folgende äquivalente Umformungen erlaubt:

- Das Addieren bzw. Subtrahieren desselben Terms auf beiden Seiten der Ungleichung.

- Das Multiplizieren der Ungleichung mit einer positiven reellen Zahl unter Beibehalten des Ungleichungszeichens.

- Das Multiplizieren der Ungleichung mit einer negativen reellen Zahl unter Umdrehen des Ungleichungszeichens.

Beispiel 3

a x b c x d

(a c) x d b :(a c)

  

    

1. Fall: d b

a c 0 x

a c

    



Lösungsmenge:

₁

d b

L x IR x

a c

  

       

2. Fall: d b

a c 0 x

a c

    



Lösungsmenge:

₂

d b

L x IR x

a c

  

       

Beispiel 4

a x b c x d

(a c) x d b :(a c)

  

    

1. Fall: d b

a c 0 x

a c

    



Lösungsmenge:

₁

d b

L x IR x

a c

  

       

2. Fall: d b

a c 0 x

a c

    



Lösungsmenge:

₂

d b

L x IR x

a c

  

       

Graphische Lösung der linearen Ungleichung

(1) Definieren eines Funktionsterms f(x) a x b   mit a 0  .

(2) Suchen der Nullstelle:

₀

b

f(x) 0 a x b 0 x

       a

(3) Skizzieren des Graphen G

f

mit Hilfe der Nullstelle x

0

und der Kenntnis des Vorzeichens von a.

Für a 0  ergibt sich eine steigende Gerade. Für a 0  ergibt sich eine fallende Gerade.

(4) Markieren des Bereiches des Graphen oberhalb bzw. unterhalb der x-Achse.

Die zugehörigen x-Werte bilden die Lösungsmenge der Ungleichung.

Beispiel 1 Ungleichung: 3

x 1 0 2   Funktionsterm:

₁

3

f (x) x 1

 2  Nullstelle:

1 0

3 2

f (x) 0 x 1 0 x

2 3

      

1 1

f (x) 0 L x IR x 2 3

 

       

 

Beispiel 2

Ungleichung: 1

x 0

  2 Funktionsterm:

₂

1

f (x) x

  2 Nullstelle:

2 0

1 1

f (x) 0 x 0 x

2 2

     

2 2

f (x) 0 L x IR x 1 2

 

      

 

Beispiel 3

Ungleichung: 3 1

x 0

4 2

   Funktionsterm:

₃

3 1

f (x) x

4 2

   Nullstelle:

3 0

3 1 2

f (x) 0 x 0 x

4 2 3

      

3 3

f (x) 0 L x IR x 2 3

 

      

 

Beispiel 4

Ungleichung: 3 1

x 0

4 2

   Funktionsterm:

₄

3 1

f (x) x

4 2

   Nullstelle:

4 0

3 1 2

f (x) 0 x 0 x

4 2 3

       

4 4

f (x) 0 L x IR x 2 3

 

      

 

10 Physikalische Anwendungen Aufgabe 1

Gegeben ist ein Diagramm, welches die Bewegungsabläufe der Radfahrer A, B, C und D wiedergibt.

a) Beschreiben Sie die einzelnen Bewegungsabläufe der Fahrer A, B, C und D mit Worten.

b) Bestimmen Sie die Funktionsterme der Bewegungsabläufe der Radfahrer A, B, C und D über die allgemeine Bewegungsgleichung für den Weg y in Abhängigkeit von der Zeit t:

y(t) y 

₀

 v t

₀



Lösung zu a)

A startet im Ort P und kommt nach 3,5 Stunden in Q an.

B startet 10 km vor Ort P (in Richtung Ort Q) und kommt nach 2,5 Stunden in Q an.

C startet in Ort Q und kommt nach 4,5 Stunden in P an.

D startet eineinhalb Stunden später in Ort P und kommt nach drei Stunden in Ort Q an.

Lösung zu b)

Radfahrer A:

_A

70km

_A

km

y (t) t y (t) 20 t

3,5h h

    

Radfahrer B:

_B

60km

_B

km

y (t) 10km t y (t) 10km 24 t

2,5h h

      

Radfahrer C:

_C

70km

_C

km

y (t) 70km t y (t) 70km 15,56 t

4,5h h

      

Radfahrer D:

D

 

D

 

70km km

y (t) t 1,5h y (t) 23,33 t 1,5h

3,0h h

      

Aufgabe 2

Ein Fluss der Breite b 120 m  strömt von West nach Ost mit der gleichmäßigen Geschwin- digkeit

_F

m

v 2

 s . Ein Schiffchen fährt mit der konstanten Eigengeschwindigkeit

_E

m

v 4

 s

senkrecht von Süd nach Nord über einen Fluss. Das Schiffchen starte zum Zeitpunkt t

₀

 0 s im gewählten Koordinatenursprung.

a) Erstellen Sie eine Zeichnung in einem geeigneten Koordinatensystem.

b) Für Bewegungen gilt das Superpositionsgesetz, d. h. die Bewegung des Schiffchens kann in Komponenten zerlegt werden. Geben Sie die Bewegungsgleichungen an.

c) Bestimmen Sie die Bahnkurve des Schiffchens und geben Sie den Auftreffpunkt am gegenüberliegenden Ufer im Koordinatensystem an.

Lösung zu Teilaufgabe a) Lösung zu Teilaufgabe b) In x-Richtung: x(t) v t 

_F



 m x(t) 2 t

 s  Gleichung (1) In y-Richtung: y(t) v 

_E

 t

 m y(t) 4 t

 s  Gleichung (2) Gleichungen (1) und (2) sind die Parameterdarstellung der gesuch- ten Bahnkurve y(x).

Lösung zu Teilaufgabe b)

In x-Richtung: x(t) v t 

_F

  m x(t) 2 t

 s  Gleichung (1) In y-Richtung: y(t) v 

_E

 t  m

y(t) 4 t

 s  Gleichung (2)

Gleichungen (1) und (2) sind die Parameterdarstellung der gesuchten Bahnkurve y(x).

Lösung zu Teilaufgabe c) Der Parameter wird eliminiert:

Aus (1)

F

t x

 v ;

Einsetzen in (2)

_E ^E

F F

v

y(x) v x x

v v

   

4 m