Michael Strauch, strauch@physik.uni-halle.de, Telefon 0345/55 25444 www.physik.uni-halle.de/˜strauch
Fachbereich Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
5. ÜBUNG THEORETISCHE MECHANIK
im Sommersemester 2004 Abgabe in der nächsten Übungsstunde!
Aufgabe 1 (3 Punkte)
Beschreibt man die Bewegung der Planeten um die Sonne näherungsweise durch Kreisbahnen, so können manche Ergebnisse mit Hilfe der Bilanz von Gravitations- und Zentrifugalkräften gewonnen werden.
Berechnen Sie unter dieser Voraussetzung die Dauer eines Jahres auf dem Planeten Neptun, wenn der Radius seiner Bahn um die Sonne etwa dreißig Mal so groß wie der der Erdbahn ist!
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit v0 muß ein in Ruhe befindliches Pendel mindestens angestoßen werden, damit es nicht schwingt, sondern umläuft?
Aufgabe 3 (6 Punkte)
Ein Massenpunkt bewege sich in einer Dimension unter dem Einfluß der Kraft F(x) = a
x−bx; x >0, a, b =const.>0.
a) Berechnen Sie das Potential U(x)!
Hinweis: Es gilt allgemein:F~ =−∇U, bzw. in einer Dimension:F =−dxdU.
b) Wo liegt die Gleichgewichtslage des Systems?
Hinweis: Die Gleichgewichtslage ist allgemein dadurch gekennzeichnet, daß die Summe der angreifenden Kräfte gleich Null ist.
c) Berechnen Sie die Frequenz des harmonischen Oszillators um die Ruhelage!
Hinweis: Das Potential kann in unmittelbarer Nähe der Ruhelage immer als quadra- tisch (also harmonisch) angesehen werden. Entwickeln Sie das Potential bis zu Termen zweiter Ordnung nach Potenzen von (x−x0) (Taylor-Reihe), wobei x0 die Ruhelage des Systems sei! Vergleichen Sie mit dem Potential des harmonischen Oszillators Uharm(x) =U(x0) +12mω20(x−x0)2 (∗), um die Eigenfrequenz der bei kleinen Auslen- kungen harmonischen Schwingung zu ermitteln!
Aufgabe 4 (6 Punkte)
Die Amplitude eines schwach gedämpften harmonischen Oszillators der Masse m ist nach zehn Schwingungen in acht Sekunden auf die Hälfte abgeklungen.
Berechnen Sie die Dämpfungskonstante γ und die Eigenfrequenz ω als Funktion der Masse m! Vergleichen Sie ω mit der Eigenfrequenz ω0 des ungedämpften Systems!
Bitte wenden!
∗Überzeugen Sie sich, daß man daraus gemäß F =−dxdU die Kraft für den harmonischen Oszillator erhält! (fakultativ)
– 1 –
Theoretische Mechanik — Serie 5
Hinweis: Gehen Sie von der Lösung x(t) =Ae−γ2tcos(ωt+ϕ) für den schwach gedämpften harmonischen Oszillator aus! Die Eigen(kreis)frequenz des Oszillators istω= 2πf, wobeif die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde ist. Der Zusammenhang zwischen den Eigenfrequenzen des gedämpften und des ungedämpften Systems lautet:ω=
q
ω02−γ42.
– 2 –
