Klausur - Aufgaben

Studiengang Betriebswirtschaft Fach Wirtschaftsstatistik Art der Leistung Prüfungsleistung Klausur-Knz. BW-WST-P11-021123

Datum 23.11.2002

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier sowie die vorbereiteten Vorlagen; geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht ge- brauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht voll- ständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektor zweifelsfrei lesbaren Schrift ab- zufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht be- wertet.

• Bei numerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zu Stande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Hilfsmittel :

Bearbeitungszeit: 120 Minuten Taschenrechner

Anzahl Aufgaben: - 5 - Studienbriefe

Höchstpunktzahl: - 100 -

BEWERTUNGSSCHLÜSSEL

Aufgabe 1 2 3 4 5 ^Summe

max. Punktezahl 20 20 20 20 20 100

NOTENSPIEGEL

Note ^{1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0}

notw. Punkte 100 - 95 94,5 - 90 89,5 - 85 84,5 - 80 79,5 - 75 74,5 - 70 69,5 - 65 64,5 - 60 59,5 - 55 54,5 - 50 49,5 - 0

Viel Erfolg!

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Aufgabe 1 20 Punkte

In nachstehender Häufigkeitstabelle sei der Wirkungsgrad x (in %) von 40 in der Entwicklung befindlichen Prototypen eines neuen Heizkessels aufgeführt.

Wirkungsgrad xi in % Anzahl fi der Heizkessel

81 8

82 16

83 10

84 4

85 2

a) Erweitern Sie die Tabelle durch geeignete Spalten, sodass Sie aus den un- gruppierten Daten das arithmetische Mittel (eine Dezimalstelle) und die Va- rianz (2 Dezimalstellen) leicht berechnen können. Nennen Sie auf drei De- zimalstellen gerundet die Standardabweichung.

b) Bestimmen Sie anhand der hinzuzufügenden Spalte „kumulierte absolute Häufigkeiten“ die Lageparameter Median (2 Dezimalstellen), das untere (3 Dezimalstellen) und das obere Quartil (1 Dezimalstelle). Gehen Sie dabei davon aus, dass der Wirkungsgrad in % ein stetiges Merkmal ist, und un- terstellen Sie dabei, dass jede Ausprägung eine Merkmalsklasse der Breite h = 1 charakterisiert (81 repräsentiert z.B. die Klasse „von 80,5 bis unter 81,5“).

c) Bestimmen Sie aus den zuvor berechneten Parametern die Schiefemaße (3 Dezimalstellen) nach P^EARSON und nach Y^ULE. Auf welchen Vertei- lungstyp können Sie aus den Werten der Schiefemaße schließen?

Aufgabe 2 20 Punkte

Eine Firma stellt für häusliche Wasserleitungen Kupferrohre her. Die Länge x der Kupferrohre ist erfahrungsgemäß normalverteilt mit dem Mittelwert

=120 (cm) und der Standardabweichung

= 0,4 (cm). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Länge eines zufällig der Produktion entnom- menen Kupferrohres

a) höchstens 119,3 cm beträgt? (3 Dezimalstellen) b) höchstens 120,5 cm beträgt? (3 Dezimalstellen) c) wenigstens 119,1 cm beträgt? (3 Dezimalstellen)

d) zwischen 119,4 cm und 120,6 cm beträgt? (3 Dezimalstellen)

e) Alle Rohre, die kürzer als 119 cm sind, gelten als „Ausschuss“. Wie viele Ausschussstücke sind im Mittel in einem Großpaket von 1000 derartigen Kupferrohren zu erwarten?

9 P

6 P

5 P

4 P 4 P 4 P 4 P 4 P

Aufgabe 3 20 Punkte

Die nachstehende Tabelle beschreibt für die Jahre 1996 bis 2001 das in der Einheit 10 Milliarden € für einen fiktiven Staat festgestellte Bruttosozialprodukt x und den in derselben Einheit bestimmten „privaten Verbrauch“ y.

Jahr Bruttosozialprodukt x in 10 Mrd. € Privater Verbrauch y in 10 Mrd. €

1996 148 82

1997 152 86

1998 156 90

1999 164 96

2000 168 98

2001 172 100

a) Bestimmen Sie für die Beantwortung der Frage, ob es zwischen dem Merkmal x und dem Merkmal y einen tendenziell linearen Zusammenhang gibt, den Wert des Bestimmtheitsmaßes bzw. Determinationskoeffizienten r

(3 Dezimalstellen). Interpretieren Sie Ihr Ergebnis auf zwei Arten.

b) Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x.

c) Nennen und interpretieren Sie den Regressionskoeffizienten b

.

d) Wie lautet Ihr Prognosewert für den im Jahre 2002 im Mittel zu erwar- tenden „Privaten Verbrauch“ in der Einheit 10 Mrd. €, wenn das Brut- tosozialprodukt für 2002 zu 180 in 10 Mrd. € vorhergesagt wird?

Aufgabe 4 20 Punkte

Aus Erfahrung sei bekannt, dass ein Krankenversicherungsverkäufer bei einem Kunden mit der stets konstanten Wahrscheinlichkeit von 0,25 zu einem Abschluss

8 P

6 P

3 P 3 P

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BW-WST-P11-021123 Seite 4 von 4

eines Versicherungsvertrages kommen wird. Der Verkäufer will an einem Tage 8 Interessenten aufsuchen. Es beschreibe k die Anzahl der voneinander unabhängi- gen Kundenbesuche, die unter den 8 zu einem erfolgreichen Vertragsabschluss führen.

a) Welche Werte kann die Zufallsvariable k annehmen?

b) Wie ist k verteilt? Nennen Sie dabei alle zur Beschreibung der Vertei- lung notwendigen Parameter.

c) Wie groß sind der Mittelwert und die Varianz der Zufallsvariablen k?

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Vertreter genau 2 Kundenbe- suche unter den unabhängigen 8 erfolgreich abschließen? (4 Dezimal- stellen)

e) Ist es wahrscheinlicher, dass der Vertreter einen Besuch oder zwei Be- suche erfolgreich für sich abschließt? (4 Dezimalstellen)

f) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Vertreter bei den 8 unabhängi- gen Besuchen höchstens 2 Besuche erfolgreich abschließen? (Zwi- schenergebnisse mit 4 Dezimalstellen, Endergebnis mit 3 Dezimal- stellen)

Aufgabe 5 20 Punkte

In folgender Tabelle ist für 100 Firmen einer bestimmten Region die Verteilung des Jahresbruttoumsatzes x in Mill. € festgehalten.

Jahresbruttoumsatz x

in Mill. € Anzahl f

der Firmen

1 40

3 30

6 20

10 8

85 2

Erweitern Sie die Tabelle so, dass Sie den Gini-Koeffizienten G berechnen und die zugehörige Lorenzkurve einschließlich der Gleichverteilungsgeraden zeich- nen können. Interpretieren Sie den Wert des Gini-Koeffizienten.

1 P 2 P

4 P 4 P

5 P

4 P

Studiengang Betriebswirtschaft

Fach Wirtschaftsstatistik

Art der Leistung Prüfungsleistung

Klausur-Knz. BW-WST-P11-021123

Datum _23.11.2002

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich vorgeschrieben:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzel- nen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zu Abwertung eines Teilschritts führen. Wurde mit einem falschen Zwischener- gebnis richtig weiter gerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor: Erstkorrektur in rot, evtl. Zweitkorrektur in grün.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebene Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in die Ergebnisliste ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Notenschema zu Grunde zu legen:

Notenspiegel

Note 1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0

Punkte 100 - 95 94,5 - 90 89,5 - 85 84,5 - 80 79,5 - 75 74,5 - 70 69,5 - 65 64,5 - 60 59,5 - 55 54,5 - 50 49,5 - 0

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

11. Dezember 2002

in Ihr Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt ein- zuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich Ihrem Studienzentrumsleiter anzuzeigen.

BEWERTUNGSSCHLÜSSEL

Aufgabe 1 2 3 4 5 Summe

max. Punktezahl 20 20 20 20 20 100

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Lösungen Aufgabe 1 20 Punkte

a)

xi fi xi

.fi (xi−82,4)^2.fi

f

81 8 648 15,68 8

82 16 1312 2,56 24

83 10 830 3,60 34

84 4 336 10,24 38

85 2 170 13,52 40

40 3296 45,60

2

x 3296 82,4 40

45,60

s 1,14

40

s 1,14 1,068

= =

= =

= ≈

b)

2

1

3

N 20 8

20 x Q 81,5 1 82,25

2 24 8

N 10 8

10 Q 81,5 1 81,625

4 24 8

3 N 30 24

30 Q 82,5 1 83,1

4 34 24

= → = = + − ⋅ =

−

= → = + − ⋅ =

⋅ = → = +− − ⋅ =

−

%

c)

(P)

( Y )

3 (82,4 82,25)

sk 0,421 0

1,14

(83,1 82,25) (82,25 81,625)

sk 0,153 0

83,1 81,625

⋅ −

= ≈ >

− − −

= ≈ >

−

Die Vorzeichen beider Schiefemaße deuten auf eine rechtsschiefe Verteilung hin.

Lösungen Aufgabe 2 20 Punkte

a) p(x 119,3) p(z 1,75) 0,5 p(0 z 1,75) 0,5 0,460 0,040 b) p(x 120,5) p(z 1,25) 0,5 0,394 0,894

c) p(x 119,1) p(z 2,25) 0,5 0,488 0,988

d) p(119,4 x 120,6) p( 1, 5 z 1,5) 2 0,433 0,866 e) p(x 119) p(z 2,5) 0

≤ = ≤ − = − ≤ ≤ ≈ − ≈

≤ = ≤ ≈ + ≈

≥ = ≥ − ≈ + ≈

≤ ≤ = − ≤ ≤ ≈ ⋅ ≈

< = < − ≈ ,5−0,494≈0,006

Im Mittel sind 1000^.0,006=6 Ausschussstücke zu erwarten.

4 P

2 P 2 P 1 P

2 P 2 P

2 P

2 P

2 P 1 P

4 P 4 P 4 P 4 P 4 P

Lösungen Aufgabe 3 20 Punkte

a)

xi yi xi−x ^yi−y _(xi−x)² (yi−y)² (xi−x)( yi−y)

148 82 −12 −10 144 100 120

152 86 −8 −6 64 36 48

156 90 −4 −2 16 4 8

164 96 4 4 16 16 16

168 98 8 6 64 36 48

172 100 12 8 144 64 96

960 552 448 256 336

2 2

x 960 160 6

y 552 92 6

r 336 0,984

448 256

= =

= =

= ≈

⋅

Der Wert von r² liegt relativ sehr nahe +1. Das lineare Modell ist relativ sehr gut geeignet.

Ca. 98,4% der Varianz der yi-Werte wird durch die Varianz der

ˆy

b)

yx yx

b 336 0,75 ; a 92 0,75 160 28

= 448 = = − ⋅ = −

Die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x lautet:

ˆy

28 0,75 x

c) Der Regressionskoeffizient lautet 0,75. Mit der Zunahme des Bruttosozialpro- duktes um 1 Einheit (10 Mrd. €) ist im Mittel eine Zunahme des privaten Ver- brauchs um 0,75 Einheiten (10 Mrd. €) verbunden.

d)

x

180

y(180) ˆ

28 0,75 180

107

3 P

1 P

2 P

2 P

4 P

2 P

3 P 3 P

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Lösungen Aufgabe 4 20 Punkte

a) k kann die Werte 0, 1, 2, ..., 8 annehmen.

b) k ist B(8 ; 0,25)-verteilt.

c) E(k)=n^.p= 8^.0,25 = 2

σ²(k)=n^.p^.(1-p) = 8^.0,25^.0,75 = 1,5

2 6

7

d) p(2) 8 0,25 0,75 0,3115 2

e) p(1) 8 0,25 0,75 0,2670 1

=  ⋅ ⋅ ≈

 

=  ⋅ ⋅ ≈

 

Es ist wahrscheinlicher, dass er 2 Besuche erfolgreich abschließt.

0 8

f ) p(0) 8 0,25 0,75 0,1001 0

p(k 2) 0,1001 0,2670 0,3115 0,6786 0,679

=  ⋅ ⋅ ≈

 

≤ ≈ + + ≈ ≈

Lösungen Aufgabe 5 20 Punkte

xi fi xifi pi Pi Fi Si Si+Si-1 (Si+Si-1)pi

1 40 40 0,40 0,08 0,40 0,08 0,08 0,0320

3 30 90 0,30 0,18 0,70 0,26 0,34 0,1020

6 20 120 0,20 0,24 0,90 0,50 0,76 0,1520

10 8 80 0,08 0,16 0,98 0,66 1,16 0,0928

85 2 170 0,02 0,34 1,00 1,00 1,66 0,0332

100 500 0,4120

G=1−0,4120=0,588

Der Wert des Gini-Koeffizienten deutet an, dass eine relativ stärkere Konzent- ration des Gesamtbruttojahresumsatzes auf die einzelnen Firmen vorliegt.

2 P 1, 5 P 1,5 P 1,5 P 1,5 P

2 P 1 P

4 P

4 P

4 P 2 P

1 P

4 P

1,5 P 1,5 P

2 P

5 P