(Wir nehmen an, dass die Energie im System erhalten sei und damit keine expliziten Zeitabh¨angigkeiten auftreten.) a) Berechnen Sie die Bewegungsgleichung f¨urAH durch Differentiation der obigen Relation

Institut f¨ur Theoretische Physik der Universit¨at Karlsruhe Prof. Dr. F. R. Klinkhamer, PD Dr. R. Hofmann Theoretische Physik E im Wintersemester 2007/2008

Ubungsblatt 5¨

Name: Tutorium:

Abgabe: Dienstag, 27. November 2007, in ¨Ubungsgruppe Punkte:

Aufgabe 10: Heisenberg-Darstellung

Die Heisenberg-Darstellung A_H eines Schr¨odinger-Operators A ist durch die unit¨are Trans- formation A_H(t) ≡ e^iHt/~Ae^−iHt/~ gegeben. (Wir nehmen an, dass die Energie im System erhalten sei und damit keine expliziten Zeitabh¨angigkeiten auftreten.)

a) Berechnen Sie die Bewegungsgleichung f¨urA_H durch Differentiation der obigen Relation.

(1 Punkt)

b) Wie sehen die Bewegungsgleichungen der Heisenberg-Operatoren x_H und p_H im Falle des eindimensionalen harmonischen Oszillators aus? (H = ₂¹_mp²+ ^ω2₂^mx²) Vergleichen Sie diese mit den klassischen Bewegungsgleichungen.

(1 Punkt)

c) Berechnen Sie die Zeitabh¨angigkeit der Operatorena_H unda^†_H. Welche Zeitabh¨angigkeit ergibt sich daraus f¨urx_H und p_H?

(1 Punkt)

Aufgabe 11: Minimalisierung des Schwankungsquadrates

F¨ur die Zust¨ande |φi und |ψi des Hilbertraumes H gilt, wie in der Vorlesung gezeigt, die Schwarzsche Ungleichung

|hφ|ψi|² ≤ hφ|φihψ|ψi.

F¨ur hermitesche Operatoren O1 und O2 definiere man ˆO_i = O_i − hψ|O_i|ψi und wende die Schwarzsche Ungleichung auf das ProdukthOˆ1ψ|Oˆ1ψihOˆ2ψ|Oˆ2ψian, um folgende Absch¨atzung f¨ur das Produkt der Schwankungsquadrate ∆O_i ≡p

hψ|(O_i− hψ|O_i|ψi)²ψi) im Zustandψzu erhalten:

∆O¹∆O¹ ≥ 1

2|hψ|[O¹, O2]ψi| (∗).

a) Beweisen Sie das Resultat (*).

Hinweis: Zerlegen Sie ˆO1Oˆ2 in einen hermiteschen und einen antihermiteschen Anteil.

(1 Punkt)

b) Aus der vorherigen Aufgabe sollten Sie ersehen k¨onnen, dass die Gleichheit in (*) genau dann eintritt, falls ˆO2ψ = iκOˆ1ψ wobei κ reell. Stellen Sie in der Ortsdarstellung ei- ne Differenzialgleichung f¨ur diejenige Wellenfunktion im eindimensionalen Problem auf, welche das Produkt der Unsch¨arfen von Ort und Impuls minimiert. L¨osen Sie diese Dif- ferenzialgleichung.

(2 Punkte)

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Aufgabe 12: Lie-Algebra und adjungierte Darstellung

Die reelle Lie-Algebra L_G einer Liegruppe Gsei definiert als der N-dimensionale reelle Vek- torraum aufgespannt durch eine Basis {λa|a= 1,· · · , N} der Erzeugenden.LG ist mit einer zus¨atzlichen bilinearen und schiefsymmetrischen Operation (Lie-Klammer) [λa, λ_b] =iP

ck_ab^c λ_c versehen, f¨ur die die Bianchi-Identit¨at

[[λ_a, λ_b], λ_c] + [[λ_c, λ_a], λ_b] + [[λ_b, λ_c], λ_a] = 0

gilt. Die Zahlenk_ab^c heissen Strukturkonstanten und sind im Falle der Kompaktheit der Gruppe Gtotal antisymmetrisch. Nehmen Sie an, dass die Basiselementeλ_adurch endlichdimensionale Matrizen dargestellt seien und damit die Lie-Klammer durch den Kommutator der Matrizen- multiplikation gegeben ist.

a) Zeigen Sie mit Hilfe der Bianchi-Identit¨at, dass die N Matrizen (T_b)^c_a=−ik_ab^c eine Lie- Klammer mit denselben Strukturkonstantenk^c_ab erf¨ullen wie dieN Matrizenλ_b. Die T_a spannen die sogenannte adjungierte Darstellung der Lie-AlgebraL_G auf.

(2 Punkte)

b) Die Lie-Klammer der Gruppe SU(2), welche durch die Paulimatrizen charakterisiert ist, sei gegeben durch

[λ_a, λ_b] =

3

X

c=1

iǫ^c_abλ_c,

wobei ǫ^c_ab der total antisymmetrische Tensor in drei Dimensionen ist mit ǫ³12 = 1. Be- trachten Sie endliche SU(2)-Transformationen D(~α) in der adjungierten Darstellung:

D(~α) = exp[iP³

a=1α^aT_a] mit reellen Koeffizienten α^a. Welcher physikalischen Symme- trietransformation entsprichtD(~α)?

(2 Punkte)

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