Fachbereich Mathematik M. Kohler
A. Fromkorth J. Mehnert
WS 2008/09 18. Dezember 2008
L¨ osungsvorschl¨ age zum 9. ¨ Ubungsblatt zur
” Statistik I f¨ ur Human- und Sozialwissenschaft“
L¨osung zur Aufgabe 30 (3 Punkte)
Wir berechnen den Erwartungswert wie in der Vorlesung mit
Z ∞
−∞
x·f(x)dx= Z ∞
−∞
x·λ·e−λxdx
= Z ∞
0
x·λ·e−λxdx
=[−xe−λx]∞0 −λ Z ∞
0
−1
λe−λxdx
=[−xe−λx]∞0 + Z ∞
0
e−λxdx
=0 + [−1
λe−λx]∞0
=0−(−1 λ)
=1 λ
womit wir, um obige Frage zu beantworten, λ= 15 w¨ahlen.
9. ¨Ubung Statistik I f¨ur Human- und Sozialwissenschaft
L¨osung zur Aufgabe 31 (3 Punkte)
(a)
EX = Z ∞
−∞
x·f(x)dx= Z 1
−∞
x·0dx+ Z 2
1
x· 1 2−1dx+
Z ∞ 2
0·xdx
= Z 2
1
xdx= 1 2x2
2 x=1
= 1
2·22−1
2·12= 2− 1 2 = 3
2 VX = E
(X−EX)2
=E
X−3 2
2!
= Z 2
1
x−3
2 2
·1dx= Z 2
1
x2dx−3 Z 2
1
xdx+9 4
Z 2 1
dx
= 1 3x3
2 x=1
−3· 1 2x2
2 x=1
+9 4 x|2x=1
= 8 3 −1
3 −3·
2−1 2
+9
4(2−1) = 7 3 −9
2 +9 4
= 28−54 + 27
12 = 1
12 (b)
E Y2
= · · ·= Z 4
2
x2· 1
4−2dx= 1 2
Z 4 2
x2·1
2dx= 1 2 · 1
3x3
4 x=2
= 1 2·
1
3 ·43−1 3 ·23
= 1 2·
64 3 −8
3
= 28 3
(c)
E 2X+ 3Y2
= 2EX+ 3E Y2
= 3 + 28 = 31
L¨osung zur Aufgabe 32 (3 Punkte)
(a) Die Funktion hat eine Extremstelle bei x = 0 und Wendestellen bei x= 1 und x =−1. Da die Exponentialfunktion nicht negativ ist, gilt dies auch f¨ur f. Außerdem ist die Funktion Achsensymmetrisch zury-Achse.
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9. ¨Ubung Statistik I f¨ur Human- und Sozialwissenschaft
(b) In der folgenden Abbildung sind Fl¨achen gr¨un bzw. blau markiert. Da der Funktionsgraph symmetrisch zur y-Achse ist, sind die beiden Fl¨achen gleich groß. Da die Standardnormal- verteilung ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, muss die Fl¨ache zwischen Graph und x-Achse insgesamt 1 sein. Die Fl¨ache des nicht gr¨un markierten Teils ist demnach so groß, wie 1−
Fl¨ache des gr¨un markierten Teils.
(c) i. P{X≤0.4}= Φ(0.4) = 0.655
ii. P{X >0.7}= 1−Φ(0.7) = 1−0.758 = 0.242
iii. P{0.1≤X <0.2}= Φ(0.2)−Φ(0.1) = 0.579−0.54 = 0.039
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