Beilage zur Serie 3

Praktikum II “Numerik am Computer” FS 2021

Prof. Dr. H. Harbrecht Universität Basel

A. Bot, J. Bopp, M. Fallahpour, H. Gubler, F. Rios, C. Santos

Beilage zur Serie 3

Cholesky-Zerlegung

Die Cholesky-Zerlegung zerlegt eine symmetrisch positiv definite Matrix A in eine linke untere Dreiecksmatrix L und ihre Transponierte, d.h.A =LL^T.

Dabei sind nun nicht mehr alle Diagonaleinträge der MatrixLgleich 1. Ähnlich wie bei der Implementierung der LR-Zerlegung mit Pivotisierung in der Serie 2 möchten wir nicht eine komplett neue MatrixLerzeugen, sondern die Einträge der MatrixA im Verlauf des Verfahrens überschreiben. Dabei werden nur die Einträge im unteren Block und auf der Diagonalen von A überschrieben. Die Einträge im oberen Block werden nicht verändert und sind nach der Zerlegung nicht mehr relavant.

Der Algorithmus für die Cholesky-Zerlegung lautet wie folgt:

for i= 1 ton do a_i,i =

q

a_i,i−Pi−1 k=1a²_i,k for j =i+ 1 ton do

a_j,i = _a¹

i,i

a_j,i−Pi−1

k=1a_j,ka_i,k

end for end for

Setze L= Hauptdiagonale +untere Dreieckshälfte von A Der Aufwand für den Algorithmus ist etwan³/6 Multiplikationen.

Eine eindeutige Cholesky-Zerlegung existiert genau dann, wenn die Matrix symme- trisch und positiv definit ist. Ist der Term a_i,i−Pi−1

k=1a²_i,k für ein i kleiner als 0, so ist die Matrix nicht positiv definit und der Algorithmus muss abgebrochen werden.

Bemerkung:Eine symmetrische Matrix A∈R^n×n heisst positiv definit, falls gilt x^TAx>0 für alle x∈Rⁿ\0.

Allgemeine Informationen zum Praktikum befinden sich auf der Webseite

http://cm.dmi.unibas.ch/teaching/praktikumII/praktikumII.html

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