Beilage zur Serie 1

Praktikum II “Numerik am Computer” FS 2021

Prof. Dr. H. Harbrecht Universität Basel

A. Bot, J. Bopp, M. Fallahpour, H. Gubler, F. Rios, C. Santos

Beilage zur Serie 1

LR-Zerlegung

Zur Lösung eines linearen Gleichungssystems

Ax=b, A∈R^n×n, b∈Rⁿ

kann man den Gauss-Algorithmus benutzen. Dabei geht man vor wie folgt:

1. Berechne die LR-Zerlegung A = LR der Matrix A. Dabei ist L eine untere linke Dreiecksmatrix mit 1auf der Hauptdiagonalen und R eine obere rechte Dreiecksmatrix.

2. Löse das GleichungssystemLy=b nach y(Vorwärtssubstitution).

3. Löse das GleichungssystemRx=y nachx(Rückwärtssubstitution).

Der Aufwand für den Gauss-Algorithmus ist etwan³/3 Multiplikationen.

FürBandmatrizen kann man den Algorithmus effizienter implementieren. Fürp, q ∈ Nist eine MatrixAeine Bandmatrix mitoberer Bandbreitepundunterer Bandbreite q, falls gilt:

a_i,j = 0 füri+p < j oderj+q < i

Neben der Haupptdiagonale sind also nur die p oberen und die q unteren Neben- diagonalen besetzt. Der Algorithmus für die LR-Zerlegung einer Bandmatrix ist in Pseudocode angegeben als:

L=E R=A

for k = 1 to n−1 do

for i=k+ 1 to min(n, k+q) do l_i,k = _r^ri,k

k,k

for j =k tomin(n, k+p)do r_i,j =r_i,j−l_i,kr_k,j

end for end for end for

Nachdem man die LR-Zerlegung bestimmt hat, löst man in der Vorwärtssubstitution das Gleichungssystem

Ly=b.

1

Ausgeschrieben hat es die Form

l_1,1y₁ = b₁ (1)

l_2,1y₁ + l_2,2y₂ = b₂ (2)

l_3,1y₁ + l_3,2y₂ + l_3,3y₃ = b₃ (3)

... ... ... ...

l_n,1y₁ + l_n,2y₂ + l_n,3y₃ + . . . + l_n,ny_n = b_n (n)

Nun kann man nacheinander die Gleichungen (1) bis(n)je nach y₁, . . . , y_n auflösen, sodass

y₁ = b1

l_1,1, y₂ = 1

l_2,2 (b₂−l_2,1y₁), y3 = 1

l_3,3 b3−(l3,1y1+l3,2y2) , ...

y_n = 1

l_n,n b_n−

n−1

X

k=1

l_n,ky_k

! . Der Pseudocode dazu lautet dann:

y₁ =^b1/`1,1

for i= 2,3, . . . , n do y_i = 1

`i,i

b_i−

i−1

P

k=1

`_i,ky_k

end for

Analog erhält man für die Rückwärtssubstitution, in der man das Gleichungssystem Rx=y

löst,

x_i = 1

r_i,i y_i−

n

X

k=i+1

r_i,kx_k

! ,

wobei man zuerstx_nberechnet, dann xn−1, und so weiter, bis man beix₁ angelangt ist.

Sowohl die Vorwärts- als auch die Rückwärtssubstitution können unter Ausnut- zung der Bandstruktur effizienter implementiert werden, so dass wir für den Gauss- Algorithmus für Bandmatrizen einen Aufwand von ungefährn(pq+p+q) Multipli- kationen erhalten.

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Permutationsmatrizen

Eine Permutation π ist eine bijektive Abbildung π : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}. Das heisst, sie permutiert oder mischt die Zahlen{1, . . . , n}. Eine häufig benutzte Dar- stellung einer Permutation ist dieZweizeilenform:

π =

1 · · · n π(1) · · · π(n)

.

In der oberen Zeile stehen die Zahlen von 1 bis n und für jede Zahl j ∈ {1, . . . , n}

steht darunter der Funktionswertπ(j).

Die einer Permutation zugehörigen Permutationsmatrix P_π ist nun die (n×n)− Matrix, welche jeweils eine 1in der j-ten Zeile und derπ(j)-ten Spalte besitzt und Nullen überall sonst (d.h.P_πe_i =e_π(i)). Solche Matrizen haben spezielle Eigenschaf- ten:

1. P_πP_σ =Pπ◦σ , für zwei Permutationen π und σ;

2. P⁻¹_π = P_π⁻¹ =P^T_π also P_πP^T_π =E (Orthogonalität);

3. det(P_π) = signπ=±1.

Beispiel. Zur Permutation π =

1 2 3 2 3 1

, aufgeschrieben in der Zweizeilenform,

gehört die PermutationsmatrixP_π =





0 1 0 0 0 1 1 0 0



, wobeiP_π



 1 2 3



=



 2 3 1



.

Eine weitere gängige Darstellung von Permutationen ist dieZyklenschreibweise. Da- bei macht man sich zunutze, dass jede Permutation sich eindeutig (bis auf Rei- henfolge) als Produkt disjunkter Zyklen darstellen lässt. Der Zyklus einer Zahl a ∈ {1, . . . , n} ist a π(a) π²(a) ... π^la−1(a)

und hat Länge l_a ∈ N, wobei la die kleinste natürliche Zahl ist, die π^la(a) = a erfüllt.

Das Signum einer Permutation (und damit die Determinante der zugehörigen Per- mutationsmatrix, siehe Punkt 3 oben) ist bestimmt durch die Anzahl der Zyklen mit gerader Länge: Hat eine Permutation k Zyklen mit gerader Länge, so ist das Signum der Permutation(−1)^k.

Beispiel. Für die Permutation π =

1 2 3 4 5 6 1 4 5 6 3 2

lautet die Zyklenschreib- weise π = (1) (2 4 6) (3 5) = (2 4 6) (3 5). Das Signum dieser Permutation ist in diesem Fall −1.

Allgemeine Informationen zum Praktikum befinden sich auf der Webseite

http://cm.dmi.unibas.ch/teaching/praktikumII/praktikumII.html

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