Beilage zur Serie 5

Praktikum II “Numerik am Computer” FS 2021

Prof. Dr. H. Harbrecht Universität Basel

A. Bot, J. Bopp, M. Fallahpour, H. Gubler, F. Rios, C. Santos

Beilage zur Serie 5

Newton-Interpolation in 2D Zweidimensionale Newton-Interpolation

Um die Polynominterpolation auf dem Einheitsquadrat [0,1]² zu realisieren, seien ξ = [ξ₀, . . . , ξ_n]und η= [η₀, . . . , η_m]jeweilsn+ 1und m+ 1Knoten in [0,1]. Durch(ξ_i, η_j)für i= 0, . . . , nundj = 0, . . . , msind dann die zugehörigen Knoten in[0,1]²gegeben. Für eine stetige Funktionf: [0,1]² →Rsetzen wir die StützwerteF:= [f(ξ_i, η_j)]_j,i ∈R(m+1)×(n+1)

. Es werden zunächst zu den n + 1 Knoten ξ_i die m+ 1 eindimensionalen Newtonschen Interpolationspolynome p_j mit der Eigenschaft p_j(ξ_i) = F_j,i bestimmt. Die Newton- Koeffizienten der Polynomep_j können wie auf der Beilage zu Serie 4 mit Hilfe des Schemas der dividierten Differenzen berechnet werden. Die Newton-Koeffizienten der Polynome p_j werden dann zeilenweise in der Koeffizientenmatrix C∈R(m+1)×(n+1)

abgelegt.

Um nun die Koeffizienten des zweidimensionalen Interpolationspolynoms zu bestim- men, wenden wir das Schema der dividierten Differenzen auf die Daten η₀, p₀(x)

, . . . , η_m, p_m(x)

an. Die Addition zweier Polynome p_j in der Newton-Basis zu gleichen Stütz- stellen lässt sich durch eine Addition der Koeffizientenvektoren realisieren. Zur Berech- nung der Koeffizienten des zweidimensionalen Interpolationspolynom muss das Schema der dividierten Differenzen auf die Zeilen von Cangewandt werden.

Der Algorithmus für die zweidimensionale Interpolation lautet also wie folgt:

Input: Stützstellenξ,η, Stützwerte F∈R(m+1)×(n+1)

. Output: Koeffizientenmatrix C∈R(m+1)×(n+1).

setze C=F

for i= 1, . . . , n+ 1 do

for j =n+ 1, . . . , i+ 1 do

setze C_:,j = (C_:,j−C:,j−1)/(ξ_j−ξ_j−i) end for

end for

for i= 1, . . . , m+ 1 do

for j =m+ 1, . . . , i+ 1 do

setze C_j,:= (C_j,:−Cj−1,:)/(η_j −η_j−i) end for

end for

Um das zweidimensionale Interpolationspolynom an einer Stelle (x, y) auswerten zu kön- nen, benutzen wir ein geschachteltes Horner-Schema. Dazu verwenden wir für jedes j =

1

0,1, . . . , m ein eindimensionales Horner-Schema, um die jeweils n + 1 Koeffizienten in den Zeilen C_j,: in x auszuwerten. Die resultierenden m+ 1 Werte entsprechen dann den Koeffizienten des Interpolationspolynoms in y-Richtung, das mit einem eindimensiona- len Horner-Schema im Punkt y ausgewertet werden kann. Damit die m+ 1 Werte nicht zwischengespeichert werden müssen, kann man die beiden Horner-Schemas ineinander verschachteln.

Allgemeine Informationen zum Praktikum befinden sich auf der Webseite

http://cm.dmi.unibas.ch/teaching/praktikumII/praktikumII.html

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