Permutation und Kombination Aufgaben

(1)

Permutation und Kombination

Aufgaben

Aufgabe 1

Wie viele verschiedene “Wörter” lassen sich durch Umstellen der Buchstaben aus den Wörtern

a. Mississippi, b. Larissa, c. Stuttgart, d. Abrakadabra, e. Thorsten,

f. Matthias bilden?

Aufgabe 2

Aus einer Urne mit 4 Kugeln werden 3 gezogen. Geben Sie die entsprechenden Grund- räume an, wenn die Ziehung durch

(a) Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge (b) Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge

(c) Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge (d) Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge erfolgt. Ermitteln Sie die jeweilige Mächtigkeiten.

Aufgabe 3

i) Aus einer Urne mit 5 Kugeln werden 2 gezogen.

ii)Aus einer Urne mit 5 Kugeln werden 4 gezogen.

iii)Aus einer Urne mit 6 Kugeln werden 3 gezogen.

iv)Aus einer Urne mit 6 Kugeln werden 2 gezogen.

Geben Sie die entsprechenden Grundräume an, wenn die Ziehung durch (a) Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge (b) Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge

(c) Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge (d) Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge erfolgt. Ermitteln Sie die jeweilige Mächtigkeiten.

(2)

Aufgabe 4

Aus einer Urne mit 1 roten und 1 schwarzen Kugel und aus einer Urne mit 1 roten und 1 schwarzen Kugel werden gleichzeitig und rein zufällig je eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die gezogenen Kugeln die gleiche Farbe besitzen?

Aufgabe 5

a) Aus einer Urne mit 2 roten und 1 schwarzen Kugeln und aus einer Urne mit 1 roten und 1 schwarzen Kugel . . .

b) Aus einer Urne mit 2 roten und 1 schwarzen Kugel und aus einer Urne mit 1 roten und 2 schwarzen Kugeln . . .

c) Aus einer Urne mit 4 roten und 4 schwarzen Kugeln und aus einer Urne mit 3 roten, 3 weißen und 3 schwarzen Kugeln. . .

. . . werden gleichzeitig und rein zufällig je eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahr- scheinlichkeit, daß die gezogenen Kugeln die gleiche Farbe besitzen?

Aufgabe 6

Aus einer Urne mit 2 roten und 2 schwarzen Kugeln werden nacheinander 3 Kugeln entnommen, wobei jede mögliche Auswahl von 3 Kugel die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen soll. Ak bezeichen das Ereignis, dass sich unter diesen 3 Kugeln genau k rote Kugeln befinden (k = 0,1,2,3).

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dieser Ereignisse, wenn (a) die jeweils entnommene Kugel wieder zurückgelegt wird, (b) die entnommenen Kugeln nicht zurückgelegt werden.

Aufgabe 7

Aus einer Urne mit 2 roten und 2 schwarzen Kugeln werden nacheinander 2 Kugeln entnommen, wobei jede mögliche Auswahl von 2 Kugeln die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen soll. A_k bezeiche das Ereignis, dass sich unter diesen 2 Kugeln genau k rote Kugeln befinden (k = 0,1,2).

Aufgabe 8

Aus einer Urne mit 2 roten und 4 schwarzen Kugeln werden nacheinander 3 Kugeln entnommen, wobei jede mögliche Auswahl von 3 Kugeln die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen soll. A_k bezeiche das Ereignis, dass sich unter diesen 3 Kugeln genau k rote Kugeln befinden (k = 0,1,2,3).

(3)

Aufgabe 9

Aus einer Urne mit 3 roten und 4 schwarzen Kugeln werden nacheinander 3 Kugeln entnommen, wobei jede mögliche Auswahl von 3 Kugeln die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen soll. Ak bezeiche das Ereignis, dass sich unter diesen 3 Kugeln genau k rote Kugeln befinden (k = 0,1,2,3).

Aufgabe 10

Aus einer Urne mit 3 roten und 4 schwarzen Kugeln werden nacheinander 3 Kugeln entnommen, wobei jede mögliche Auswahl von 3 Kugeln die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen soll.A_k bezeiche das Ereignis, dass sich unter diesen 3 Kugeln genau k schwarze Kugeln befinden (k = 0,1,2,3).

Aufgabe 11

Aus einer Urne mit 2 roten und 5 schwarzen Kugeln werden nacheinander 3 Kugeln entnommen, wobei jede mögliche Auswahl von 3 Kugel die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen soll. A_k bezeiche das Ereignis, dass sich unter diesen 3 Kugeln genau k rote Kugeln befinden (k = 0,1,2,3).

Wie verändern sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn sich in der Urne 4 rote und 10 schwarze Kugeln befinden?

Aufgabe 12

Wie zu Beginn jedes Semesters steht man auch in diesem vor dem Problem, das manche Übungstermine beliebter sind als andere. Um die Zuteilung zu den einzeln Gruppe so gerecht wie möglich zu gestalten werden die Student/innen zufällig den Gruppe zuge- ordnet. Dabei stellt sich die folgende Frage, wie viele mögliche Arten der Zuteilung gibt es, und macht es einen Unterschied ob die Gruppen unterscheidbar sind oder nicht? Auf wieviele Arten kann man 40 Student/innen in vier Übungsgruppen mit je zehn Personen einteilen, wenn die Gruppen

a) unterscheidbar sind?

b) nicht unterscheidbar sind?

(4)

Aufgabe 13

Eine Urne enthält 20 weiße und 10 schwarze Kugeln. Es wird eine Kugel zufällig heraus- gezogen und ihre Farbe notiert. Anschließend wird sie zusammen mit 5 weiteren Kugeln von derselben Farbe wieder in die Urne zurückgelegt. Dieses Verfahren wird 5 mal wie- derholt. Bestimmen Sie mit Hilfe der Multiplikationsformel die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei allen 5 Ziehungen eine weiße Kugel entnommen wird.

Aufgabe 14

Das Kartenspiel Skat wird i.d.R. zu dritt mit 32 Karten gespielt, dabei erhält jeder der drei Spieler zu beginn 10 Karten, die 2 überzähligen Karten bilden den Stock bzw. Skat.

Da die Buben/Bauern beim normalen Spiel die obersten Trümpfe bilden und beim sog.

reizen wichtig sind, ist es vorteilhaft wenn man wüsste wie sie verteilt sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält

1. Spieler 1 genau zwei Buben ?

2. jeder der Spieler genau einen Buben ? Aufgabe 15

Bei der alten Variante des Fußballtoto der 11er–Wette musste man bei 11 Spielen jeweils eine 0,1 oder 2 tippen. Inzwischen gibt es die 13er–Wette bei der bei 13 Spielen jeweils eine 0,1 oder 2 getippt werden.

a) Wie viele verschiedene Tippreihen gab es bei der 11er–Wette, b) und wie viele gibt es bei der 13er–Wette?

Aufgabe 16

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Spielfeld, beim 6 aus 49 Lotto sechs Rich- tige (ohne Berücksichtigung der Zusatzzahl) zu haben?

Aufgabe 17

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Spielfeld, bei der TOTO 6 aus 45 Aus- wahlwette drei Richtige (ohne Berücksichtigung der Zusatzzahl) zu haben?

Aufgabe 18

Wie groß ist die die Wahrscheinlichkeit mit einem Spielfeld,

a) überhaupt einen Gewinn beim bisherigen alten 6 aus 49 Zahlenlotto, b) bzw. bei der TOTO 6 aus 45 Auswahlwette zu erzielen?

(5)

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1

(a) Mississippi hat 11 Buchstaben M = 1 I = 4 S = 4 P = 2

11!

1!4!4!2! = 11·10·9·8·7·6·5

4·3·2·1·2·1 = 11·10·9·9·5 = 32650 (b) Larissa hat 7 Buchstabe

L = 1 A = 2 R = 1 I = 1 S = 2

7!

1!1!1!2!2! = 7·6·5·3·2 = 1260 (c) Stuttgart hat 9 Buchstaben

S = 1 T = 4 U = 1 G = 1 A = 1 R = 1

9!

1!4!1!1!1!1! = ^9!_4! = 9·8·7·6·5 = 15120 (d) Abrakadabra hat 11 Buchstaben A = 5 B = 2 R = 2 K = 1 D = 1

11!

5!2!2!1!1! = 83160

(e) Thorsten hat 8 Buchstaben

T = 2 H = 1 O = 1 R = 1 S = 1 E = 1 N = 1

8!

2!1!1!1!1!1!1! = ^8!_2! = 20160

(f) Matthias hat 8 Buchstaben

M = 1 A = 2 T = 2 H = 1 S = 1 I = 1

8!

1!2!2!1!1!1! = _2!2!^8! = 10080 Lösung zu Aufgabe 2 a. n^k = 4³ = 4·4·4 = 64 b. _(n−k)!^n! = ^4!_1! = 4! = 24

c. ^n+k−1_k =⁴⁺³⁻¹₃ =⁶₃= _3!(6−3)!^6! = _3!3!^6! = ^6·5·4_3! = 20 d. ⁿ_k=⁴₃= _3!(4−3)^4! = _3!1!^4! = 4

Lösung zu Aufgabe 3 i)

a. n^k = 5² = 25

b. _(n−k)!^n! = _(5−2)!^5! = ^5!_3! = 5·4 = 20

c. ^n+k−1_k =⁵⁺²⁻¹₂ =⁶₂= _2!(6−2)!^6! = _2!4!^6! = ^6·5₂ = 15

(6)

d. ⁿ_k=⁵₂= _2!(5−2)!^5! = _2!3!^5! = ^5·4₂ = 10 ii)

a. n^k = 5⁴ = 625

b. _(n−k)!^n! = _(5−4)!^5! = ^5!_1! = 5! = 120

c. ^n+k−1_k =⁵⁺⁴⁻¹₄ =⁸₄= _4!(8−4)!^8! = _4!4!^8! = ^8·7·6·5_4! = 70 d. ⁿ_k=⁵₄= _4!(5−4)!^5! = _4!1!^5! = 5

iii)

a. n^k = 6³ = 218

b. _(n−k)!^n! = _(6−3)!^6! = ^6!_3! = 6·5·4 = 120

c. ^n+k−1_k =⁶⁺³⁻¹₃ =⁸₃= _3!(8−3)!^8! = _3!5!^8! = ^8·7·6_3! = ^8·7·6₆ = 56 d. ⁿ_k=⁶₃= _3!(6−3)!^6! = _3!3!^6! = ^6·5c˙4_3! = ^6·5·4₆ = 20

iv)

a. n^k = 6² = 36

b. _(n−k)!^n! = _(6−2)!^6! = ^6!_4! = 6·5 = 30

c. ^n+k−1_k =⁶⁺²⁻¹₂ =⁷₂= _2!(7−2)!^7! = _2!5!^7! = ^7·6₂ = 21 d. ⁿ_k=⁶₂= _2!(6−2)!^6! = _2!4!^6! = ^6·5₂ = 15

Lösung zu Aufgabe 4 Ω1 ={s, r} |Ω1|= 2 Ω₂ ={s, r} |Ω₂|= 2 Ω_gesamt= Ω₁×Ω₂

|Ωg|= 2·2 = 4

4 Fälle und 2 günstige P(gleiche Farbe) =²₄ = ¹₂

s’

r’

s’

s

r’

r

(ss’) (sr’) (rs’) (rr’)

(7)

(8)

Lösung zu Aufgabe 5 a)

Ω₁ ={s, r, r} |Ω₁|= 3 Ω₂ ={s, r} |Ω2|= 2 Ω_gesamt= Ω₁×Ω₂

|Ω_g|= 3·2 = 6

6 Fälle und 3 günstige P(gleiche Farbe) =³₆ = ¹₂

r

r s

r’

s’

(rr’)

(rs’) (rr’)

(rs’) (sr’)

(ss’)

b)

Ω₁ ={s, r, r} |Ω₁|= 3 Ω₂ ={s, s, r} |Ω₂|= 3 Ω_gesamt= Ω₁×Ω₂

|Ω_g|= 3·3 = 9

9 Fälle und 4 günstige P(gleiche Farbe) =⁴₉

r

r s

r’

s’

(rr’)

(rs’) (rr’)

(rs’) (sr’)

(ss’) s’

s’

(rs’)

(ss’)

c)

Ω₁ ={(s, s, s, s, r, r, r, r)} |Ω₁|= 8 Ω₂ ={(s, s, s, r, r, r, w, w, w)} |Ω₂|= 9 Ω_gesamt= Ω₁×Ω₂

|Ω_g|= 8·9 = 72 P(gleiche Farbe) = ^(s·s

0)+(r·r⁰)

|Ω1|·|Ω2| = (4·3)+(4·3) 8·9

(9)

P(gleiche Farbe) = ²⁴₇₂ = ¹₃

2 rote, 2 schwarze Kugeln n = r + s = 4 k = 3 |Ω|= 4³ (a)Mit Zurücklegen:

A₀ ={s, s, s}

P(A₀) = ²₄ · ²₄ · ²₄ = ₆₄⁸

A₁ ={(r, s, s),(s, r, s),(s, s, r)}

P(A₁) = ²₄ · ²₄ · ²₄ +²₄ ·²₄ · ²₄ + ²₄ · ²₄ · ²₄ = ₆₄⁸ +₆₄⁸ +₆₄⁸ = ²⁴₆₄ A₂ ={(r, r, s),(s, r, r),(r, s, r)}

P(A₂) = ²₄ · ²₄ · ²₄ +²₄ ·²₄ · ²₄ + ²₄ · ²₄ · ²₄ = ²⁴₆₄ A₃ ={(r, r, r)}

P(A₃) = ²₄ · ²₄ · ²₄ = ₆₄⁸ (b)Ohne Zurücklegen:

A₀ =∅ P(A₀) = 0

A₁ ={(r, s, s),(s, r, s),(s, s, r)}

P(A₁) = ²₄ · ²₃ · ¹₂ +²₄ ·²₃ · ¹₂ + ²₄ · ¹₃ · ²₂ = ¹₆ + ¹₆ +¹₆ = ³₆ = ¹₂ A₂ ={(r, r, s),(s, r, r),(r, s, r)}

P(A₂) = ²₄ · ¹₃ · ²₂ +²₄ ·²₃ · ¹₂ + ²₄ · ²₃ · ¹₂ = ¹₆ + ¹₆ +¹₆ = ³₆ = ¹₂ A₃ =∅

P(A₃) = 0

2 rote 2 schwarze Kugeln n = r + s = 4 k = 2 |Ω|= 4² (a)Mit Zurücklegen:

A0 ={(s, s)}

P(A₀) = ²₄ · ²₄ = ₁₆⁴ A₁ ={(r, s),(s, r)}

P(A₁) = ²₄ · ²₄ + ²₄ ·²₄ = ₁₆⁸ A₂ ={(r, r)}

P(A₂) = ²₄ · ²₄ = ₁₆⁴ (b) ohne Zurücklegen:

A₀ ={(s, s)}

(10)

P(A₀) = ²₄ · ¹₃ = ₁₂² A₁ ={(r, s),(s, r)}

P(A₁) = ²₄ · ²₃ + ²₄ ·²₃ = ₁₂⁴ +₁₂⁴ = ₁₂⁸ A₂ ={(r, r)}

P(A₂) = ²₄ · ¹₃ = ₁₂² Lösung zu Aufgabe 8

2 rote 4 schwarze Kugeln n = r + s = 6 k = 3 |Ω|= 6³ (a)Mit Zurücklegen:

A₀ ={s, s, s}

P(A₀) = ⁴₆ · ⁴₆ · ⁴₆ = ₂₁₈⁶⁴

A₁ ={(r, s, s),(s, r, s),(s, s, r)}

P(A₁) = ²₆ · ⁴₆ · ⁴₆ +⁴₆ ·²₆ · ⁴₆ + ⁴₆ · ⁴₆ · ²₆ = ₂₁₈³² +₂₁₈³² + ₂₁₈³² = ₂₁₈⁹⁶ A₂ ={(r, r, s),(s, r, r),(r, s, r)}

P(A₂) = ²₆ · ²₆ · ⁴₆ +⁴₆ ·²₆ · ²₆ + ²₆ · ⁴₆ · ²₆ = ^16+16+16₂₈₁ = ₂₁₈⁴⁸ A₃ ={(r, r, r)}

P(A₃) = ²₆ · ²₆ · ²₆ = ₂₁₈⁸ (b)Ohne Zurücklegen:

A0 ={(s, s, s)}

P(A₀) = ⁴₆ · ³₅ · ²₄ = ¹₅

A1 ={(r, s, s),(s, r, s),(s, s, r)}

P(A₁) = ²₆ · ⁴₅ · ³₄ +⁴₆ ·²₅ · ³₄ + ⁴₆ · ³₅ · ²₄ = ¹₅ + ¹₅ +¹₅ = ³₅ A2 ={(r, r, s),(s, r, r),(r, s, r)}

P(A₂) = ²₆ · ¹₅ · ⁴₄ +⁴₆ ·²₅ · ¹₄ + ²₆ · ⁴₅ · ¹₄ = ₁₅¹ +₁₅¹ +₁₅¹ = ₁₅³ = ¹₅ A3 =∅

P(A₃) = 0

A₀ ={s, s, s}

P(A₀) = ⁴₇ · ⁴₇ · ⁴₇ = ₃₄₃⁶⁴

A₁ ={(r, s, s),(s, r, s),(s, s, r)}

P(A₁) = ³₇ · ⁴₇ · ⁴₇ +⁴₇ ·³₇ · ⁴₇ + ⁴₇ · ⁴₇ · ³₇ = ₃₄₃⁴⁸ +₃₄₃⁴⁸ + ₃₄₃⁴⁸ = ¹⁴⁴₃₄₃ A₂ ={(r, r, s),(s, r, r),(r, s, r)}

P(A₂) = ³₇ · ³₇ · ⁴₇ +⁴₇ ·³₇ · ³₇ + ³₇ · ⁴₇ · ³₇ = ^36+36+36₃₄₃ = ¹⁰⁸₃₄₃

(11)

A₃ ={(r, r, r)}

P(A₃) = ³₇ · ³₇ · ³₇ = ₃₄₃²⁷ (b)Ohne Zurücklegen:

A₀ ={(s, s, s)}

P(A₀) = ⁴₇ · ³₆ · ²₅ = ₃₅⁴

A₁ ={(r, s, s),(s, r, s),(s, s, r)}

P(A₁) = ³₇ · ⁴₆ · ³₅ +⁴₇ ·³₆ · ³₅ + ⁴₇ · ³₆ · ³₅ = ₃₅⁶ +₃₅⁶ +₃₅⁶ = ¹⁸₃₅ A₂ ={(r, r, s),(s, r, r),(r, s, r)}

P(A₂) = ³₇ · ²₆ · ⁴₅ +⁴₇ ·³₆ · ²₅ + ³₇ · ⁴₆ · ²₅ = ₃₅⁴ +₃₅⁴ +₃₅⁴ = ¹²₃₅ A₃ ={(r, r, r)}

P(A₃) = ³₇ · ²₆ · ¹₅ = ₃₅¹ Lösung zu Aufgabe 10

A₀ ={r, r, r}

P(A₀) = ³₇ · ³₇ · ³₇ = ₃₄₃²⁷

A₁ ={(s, r, r),(r, s, r),(r, r, s)}

P(A₁) = ⁴₇ · ³₇ · ³₇ +³₇ ·⁴₇ · ³₇ + ³₇ · ³₇ · ⁴₇ = ₃₄₃³⁶ +₃₄₃³⁶ + ₃₄₃³⁶ = ¹⁰⁸₃₄₃ A₂ ={(s, s, r),(r, s, s),(s, r, s)}

P(A₂) = ⁴₇ · ⁴₇ · ³₇ +³₇ ·⁴₇ · ⁴₇ + ⁴₇ · ³₇ · ⁴₇ = ^48+48+48₃₄₃ = ¹⁴⁴₃₄₃ A₃ ={(s, s, s)}

P(A₃) = ⁴₇ · ⁴₇ · ⁴₇ = ₃₄₃⁶⁴ (b)Ohne Zurücklegen:

A0 ={(r, r, r)}

P(A₀) = ³₇ · ²₆ · ¹₅ = ₃₅¹

A1 ={(s, r, r),(r, s, r),(r, r, s)}

P(A₁) = ⁴₇ · ³₆ · ²₅ +³₇ ·⁴₆ · ²₅ + ³₇ · ²₆ · ⁴₅ = ₃₅⁴ +₃₅⁴ +₃₅⁴ = ¹²₃₅ A₂ ={(s, s, r),(r, s, s),(s, r, s)}

P(A₂) = ⁴₇ · ³₆ · ³₅ +³₇ ·⁴₆ · ³₅ + ⁴₇ · ³₆ · ³₅ = ₃₅⁶ +₃₅⁶ +₃₅⁶ = ¹⁸₃₅ A₃ ={(s, s, s)}

P(A₃) = ⁴₇ · ³₆ · ²₅ = ₃₅⁴

(12)

A0 ={s, s, s}

P(A₀) = ⁵₇ · ⁵₇ · ⁵₇ = ¹²⁵₃₄₃

A1 ={(r, s, s),(s, r, s),(s, s, r)}

P(A₁) = ²₇ · ⁵₇ · ⁵₇ +⁵₇ ·²₇ · ⁵₇ + ⁵₇ · ⁵₇ · ²₇ = ₃₄₃⁵⁰ +₃₄₃⁵⁰ + ₃₄₃⁵⁰ = ¹⁵⁰₃₄₃ A2 ={(r, r, s),(s, r, r),(r, s, r)}

P(A₂) = ²₇ · ²₇ · ⁵₇ +⁵₇ ·²₇ · ²₇ + ²₇ · ⁵₇ · ²₇ = ^20+20+20₃₄₃ = ₃₄₃⁶⁰ A3 ={(r, r, r)}

P(A₃) = ²₇ · ²₇ · ²₇ = ₃₄₃⁸ (b)Ohne Zurücklegen:

A₀ ={(s, s, s)}

P(A₀) = ⁵₇ · ⁴₆ · ³₅ = ²₇

A₁ ={(r, s, s),(s, r, s),(s, s, r)}

P(A₁) = ²₇ · ⁵₆ · ⁴₅ +⁵₇ ·²₆ · ⁴₅ + ⁵₇ · ⁴₆ · ²₅ = ₂₁⁴ +₂₁⁴ +₂₁⁴ = ¹²₂₁ = ⁴₇ A₂ ={(r, r, s),(s, r, r),(r, s, r)}

P(A₂) = ²₇ · ¹₆ · ⁵₅ +⁵₇ ·²₆ · ¹₅ + ²₇ · ⁵₆ · ¹₅ = ₂₁¹ +₂₁¹ +₂₁¹ = ₂₁³ = ¹₇ A₃ =∅

P(A₃) = 0

Nach der Verdoppelung der Kugelanzahl:

(a) Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich nicht (b) ohne Zurücklegen:

A₀ ={(s, s, s)}

P(A₀) = ¹⁰₁₄ ·₁₃⁹ · ₁₂⁸ = ³⁰₉₁

A₁ ={(r, s, s),(s, r, s),(s, s, r)}

P(A₁) = ₁₄⁴ ·¹⁰₁₃ · ₁₂⁹ + ¹⁰₁₄· ₁₃⁴ · ₁₂⁹ + ¹⁰₁₄· ₁₃⁹ ·₁₂⁴ = ¹⁵₉₁ +¹⁵₉₁ +¹⁵₉₁ = ⁴⁵₉₁ A₂ ={(r, r, s),(s, r, r),(r, s, r)}

P(A₂) = ₁₄⁴ ·₁₃³ · ¹⁰₁₂+ ¹⁰₁₄· ₁₃⁴ · ₁₂³ + ₁₄⁴ · ¹⁰₁₃ ·₁₂³ = ₉₁⁵ +₉₁⁵ +₉₁⁵ = ¹⁵₉₁ A₃ ={(r, r, r)} P(A₃) = ₁₄⁴ · ₁₃³ · ₁₂² = ₉₁¹

(13)

Lösung zu Aufgabe 12 a.

Man wählt 10 Student/innen von den insgesamt 40 Student/innen aus, diese kommen in die Gruppe 1, dann wählt man 10 Student/innen aus den verblieben 30 Student/innen aus, diese kommen in die Gruppe 2, aus den letzten 20 Student/innen wählt man 10 Student/innen für die Gruppe 3 aus, und die letzten 10 Student/innen kommen in die Gruppe 4.

₄₀

10

·³⁰₁₀·²⁰₁₀·¹⁰₁₀= (10,10,10,10⁴⁰

) = _(10!)^40!4 = 4.71·10²¹ b.

Hier ist nur wichtig wer mit wem in einer Gruppe ist, aber nicht in welcher Gruppe(da diese nicht unterscheidbar sind).D.h.man muss das Ergebnis aus a) durch die Anzahl möglicher Permutationen der Gruppen dividieren, da es vier Gruppen sind ist die An- zahl möglicher Permutationen = 4!

₄₀

10

·³⁰₁₀·²⁰₁₀·¹⁰₁₀· _4!¹ = (10,10,10,10⁴⁰

)· _4!¹ = _(10!)^40!4·4! = 1.96·10²⁰ Lösung zu Aufgabe 13

Ω ={(w₁, ..., w_n, s₁, ..., s_m)}

20≤n≤45 10≤m ≤35 n + m = 55

Ai := “Die gezogene Kugel ist weiß“ i = 1,2,3,4,5

5

Y

i=1

P(A_i) = P(A₁)·P(A₂)·P(A₃)·P(A₄)·P(A₅)

P(A₁) = (²⁰₁)(¹⁰₀) (³⁰₁) P(A₂) = (²⁵1)(¹⁰0)

(³⁵₁) P(A₃) = (³⁰₁)(¹⁰₀)

(⁴⁰1) P(A₄) = (³⁵1)(¹⁰0)

(⁴⁵₁) P(A₅) = (⁴⁰₁)(¹⁰₀)

(⁵⁰1)

5

Y

i=1

P(A_i) =

₂₀

1

₁₀

0

₃₀

1

·

₂₅

1

₁₀

0

₃₅

1

·

₃₀

1

₁₀

0

₄₀

1

·

₃₅

1

₁₀

0

₄₅

1

·

₄₀

1

₁₀

0

₅₀

1

=

₂₀

1

₂₅

1

₄₅

1

₅₀

1

= 20·25 45·50 = 20

90 = 2 9

(14)

Lösung zu Aufgabe 14 a)

Ω ={(ω₁, ..., ω₁₀)|ω_i ∈ {1, ...,32} ω_i < ω_j für i < j} |Ω|=³²₁₀

Insgesamt gibt es vier Bauern, wenn Spieler 1 zwei Bauern hat(A = { Spieler 1 hat zwei Buben }) folgt daraus, | A |= ⁴₂²⁸₈,da er zwei der vier Bauern hat und acht Kar- ten entstammen den restlichen Karten (32 Karten weniger 4 Bauern gleich 28 Karten).

⇒P(A) = (⁴₂)(²⁸₈)

(³²10) ≈0,289

b) Jeder Spieler hat genau einen Bauern.

Ω = { ω= (ω₁₁, ..., ω₁₁₀, ω₂₁, ..., ω₂₁₀, ω₃₁, ...ω₃₁₀, ω₄₁, ω₄₂)|ω_i_j ∈ {1, ...,32}

ω_i₁ < ... < ω_i₁₀ ,i∈ {1,2,3} , ω₄₁ < ω₄₂ω_i_j 6=ω_kl,(i, j)6= (k, l)}

|Ω|= ³²₁₀²²₁₀¹²₁₀²₂

A = { ω ∈ Ω | ω_i1 ∈ {1, ...,4}ω₄₂ ∈ {5, ...,32} i ∈ {1,2,3} , ω₄₁ ∈ {1, ...,4}

ω₄₂∈ {5, ...,32}}

|A| =⁴₁²⁸₉³₁¹⁹₉¹₁¹₁⇒ P(A) = ^|A|_|Ω| ≈0.0559 Lösung zu Aufgabe 15

a) Für jedes Spiel gibt es drei Möglichkeiten und es gibt insgesamt 11 Spiele, daraus folgt 3¹¹= 177147 verschiedene Tippreihen nach dem Multiplikationsprinzip.

b) Auch hier gibt es drei Möglichkeiten pro Spiel aber insgesamt 13 Spiele, daraus folgt 3¹³= 1594323 verschiedene Tippreihen nach dem Multiplikationsprinzip.

Dabei handelt sich um eine Kombination ohne Wiederholung, da jede Zahl genau einmal gezogen werden kann, und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, d.h. die Ziehungsfolge der Zahlen hat keinen Einfluss auf den Erfolg.

Sei A das Ereignis 6 Richtige.

|Ω|=⁴⁹₆= 13983816

Es gibt 13 983 816 mögliche (verschiedene) Kombinationen.

P(A) = _13983816¹

Dabei handelt sich um eine Kombination ohne Wiederholung, da jede Zahl genau einmal gezogen werden kann, und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, d.h. die Ziehungsfolge der Zahlen hat keinen Einfluss auf den Erfolg.

|Ω|=⁴⁵₆= 8145060

Wenn man drei Richtige hat, hat man auch drei nicht richtige Zahlen.

|A|=⁶₃·³⁹₃= 182780 P(A) = _8145060¹⁸²⁷⁸⁰ ≈0.022440. . .

(15)

Überhaupt einen Gewinn zu erzielen bedeutet, ist in beiden Spielen gleich, entweder genau 3 Richtige oder genau 4 Richtige oder genau 5 Richtige oder 6 Richtige zu haben.

a)P = (⁶₃)^·(⁴³₃)⁺(⁶₄)^·(⁴³₂)⁺(⁶₅)^·(⁴³₁)⁺(⁶₆)^·(⁴³₀)

(⁴⁹₆) = 246820+13545+258+1

13983816 ≈0.018637. . . b)P = (⁶3)^·(³⁹3)⁺(⁶4)^·(³⁹2)⁺(⁶5)^·(³⁹1)⁺(⁶6)^·(³⁹0)

(⁴⁵6) = 182780+11115+234+1

8145060 ≈0.023834. . . Quelle: Stochastikaufgaben mit Lösungen

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