Prof. Dr. M. Rapoport SS 2004 Dr. U. G¨ortz
Lineare Algebra II Pr¨asenzaufgaben, Teil 5 Aufgabe 5
Wie sieht die Polarzerlegung einer Diagonalmatrix inGLn(C) aus?
Aufgabe 6
SeiA∈U(n). Zeige: |Spur(A)| ≤n. Wann gilt Gleichheit?
Aufgabe 7
SeiV ein unit¨arer Vektorraum,ϕein Endomorphismus vonV und ϕ∗ der adjungierte Endo- morphismus. Zeige, dass die folgenden Aussagen ¨aquivalent sind:
i)ϕist normal.
ii) Alle mitϕkommutierenden Endomorphismen kommutieren auch mitϕ∗. Hinweis:Blatt 4, Aufgabe 2.
Aufgabe 8
Berechne die Polarzerlegung und eine Cartan-Zerlegung der Matrix
A=
1 −8
8 11
.
