-integrierbar sind. Sie brauchen die Integrale nicht auszurechnen, m¨ ussen Ihre Antwort aber begr¨ unden.

Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun

D¨ usseldorf, den 05.11.2019 Blatt 5

Ubungen zur Analysis III ¨

1. (Je 2P) Stellen Sie fest, ob die jeweiligen Funktionen λ

-integrierbar sind. Sie brauchen die Integrale nicht auszurechnen, m¨ ussen Ihre Antwort aber begr¨ unden.

(a) f : R → R , f(x) = x

e

. (b) f : R → R, f(x) = 1

x

. (c) f : R → R , f(x) = x

1 + x

. (d) f : [−1, 1] → R , f (x) = sin(x)

x . (e) f : [0, ∞[ → R, f(x) =



 

 

− 1

n , n − 1 ≤ x < n −

, 1

n , n −

≤ x < n.

2. F¨ ur n ∈ N sei f

: R → R gegeben durch

f

(x) = nx exp −nx

. (a) (4P) Bestimmen Sie lim

f

(x) f¨ ur jedes x ≥ 0.

(b) (4P) Bestimmen Sie R

[0,∞[

f

(x) dλ

(x) f¨ ur jedes n ∈ N . (c) (2P) Bestimmen Sie lim

R

[0,∞[

f

(x) dλ

(x).

3. Es sei (X, A, µ) ein Massraum und es f eine messbare, numerische Funktion auf X.

Zeigen Sie:

(a) (2P) f ist genau dann integrierbar, wenn |f| integrierbar ist.

(b) (8P) f ist genau dann integrierbar, wenn

∞

X

n=−∞

2

µ x ∈ X

2

≤ |f (x)| < 2

< ∞.

4. Gegeben seien die numerischen Funktionen f : [0, 1] → R , f (x) =

( 1, x ∈ Q, 0, x / ∈ Q , g : [0, 1] → R, g(x) =





 1

q , x =

f¨ ur teilerfremde p, q ∈ N

, 0, x / ∈ Q .

(a) (2P) Zeigen Sie, dass f und g messbar sind.

(b) (1P) Ist f Riemann-integrierbar?

(c) (5P) Zeigen Sie, dass g Riemann-integrierbar ist.

(d) (2P) Bestimmen Sie die Lebesgue-Integrale Z

[0,1]

f dλ

und Z

[0,1]

g dλ

.

Abgabe: Di, 12.11.2016, 10:20 Besprechung: 20. und 21. November