Theoretische Physik WS 12/13

Physikalisches Institut Ubungsblatt 5 ¨

Universit¨ at Bonn 09. November 2012

Theoretische Physik WS 12/13

Ubungen zu Theoretische Physik IV ¨

Priv.-Doz. Dr. Stefan F¨ orste

http://www.th.physik.uni-bonn.de/people/forste/exercises/ws1213/tp4

–Anwesenheits¨ ubungen–

A 5.1 Quantenmechanischer Virialsatz

In der Vorlesung wurde der klassische Virialsatz f¨ ur wechselwirkende Teilchen, P V = 2

3 hE _kin i − 1 6

X

m,n

(x _m − x _n ) ∂v (|x _m − x _n |)

∂ (x _m − x _n )

gezeigt. Hier wollen wir die quantenmechanische Version besprechen. Betrachte dazu ein System aus N Teilchen in einem W¨ urfel mit Volumen V und Kantenl¨ ange L. Der Hamil- tonoperator ist gegeben durch

H = X

n

p ² _n

2m + X

n

V (x _n − x _Wand ) + 1 2

X

n,m

v (x _n − x _m ) ,

wobei V (x _n − x _Wand ) das Wandpotential ist und v (x _n − x _m ) die Wechselwirkung der Teil- chen untereinander beschreibt.

Benutze die Tatsache, dass hΨ| [H, x _n · p _n ] |Ψi = 0 f¨ ur Energieeigenzust¨ ande Ψ, um

2 hE kin i −

* X

n

x n · ∇ n V (x n − x Wand ) +

−

* X

n

X

n6=m

x n · ∇ n v (x n − x m ) +

= 0 ,

mit ∇ _n =

∂

∂x

∂

∂x

∂

∂x

T

zu zeigen.

Wie im klassischen Fall folgt aus der Form des Wandpotentials

V _Wand = V ∞

∞

X

n=1 3

X

i=1

Θ(x _n,i − L) ,

dass P V = ¹ ₃ h P

n x _n · ∇ _n V (x _n − x _Wand )i. Einsetzen liefert den quantenmechanischen Vi- rialsatz

2 hE _kin i − 3P V − 1 2

* X

n

X

m

(x _n − x _m ) · ∇v (x _n − x _m ) +

= 0 .

A 5.2 Ising-Modell

Das Ising-Modell ist ein statistisches Modell f¨ ur Ferromagnetismus in Festk¨ orpern. Die Tatsache, dass es in D ≥ 2 Dimensionen einen Phasen¨ ubergang zeigt und damit zu den wenigen solchen Modellen geh¨ ort die sich ohne gr¨ oßeren numerischen Aufwand l¨ osen lassen, macht es zu einem der am besten studierten Modellen in der statistischen Physik.

Das Modell besteht aus einem Spin-Gitter in einem ¨ außeren Magnetfeld bei dem nur die Wechselwirkungen direkt benachbarter Spins betrachtet werden. Der Hamiltonoperator ist gebeben durch

H = −J

N

X

hi,ji

σ _i σ _j − µB

N

X

j=1

σ _j .

Dabei bezeichnet σ _i die z-Komponente des Spins am Gitterplatz i und kann die Werte

±1 annehmen. B sei das ¨ außere Magnetfeld, µ das magnetische Moment der Spins und das Austauschintegral J beschreibt die St¨ arke der Wechselwirkung benachbarter Spins.

hi, ji bedeutet, dass nur ¨ uber die q n¨ achsten Nachbarn von i summiert wird wobei q von der Art des Gitters ab¨ angt. Den eindimensionalen Fall, das heißt q = 2 werden wir in Aufgabe H 5.1 exakt berechnen, im Allgemeinen gibt es jedoch keine analytisch-exakte L¨ osung dieses Modells. Deswegen wollen wir hier die Molekularfeldn¨ aherung betrachten, in der die Wechselwirkung eines Spins σ _i mit seinen n¨ achsten Nachbarn durch das mittlere Feld hσi der anderen Spins ersetzt wird. Mithilfe der Identit¨ at

σ _i σ _j = σ _i hσ _j i + hσ _i i σ _j − hσ _i i hσ _j i + (σ _i − hσ _i i)(σ _j − hσ _j i) , kann man H in die Form

H = −J



q hσi

N

X

j=1

σ _j − q

2 N hσi ² + X

hi,ji

(σ _i − hσ _i i)(σ _j − hσ _j i)



 − µB

N

X

j=1

σ _j

bringen. Dabei wurde ausgenutzt, dass aufgrund der Translationsinvarianz des Gitters der mittlere Spin hσ _i i nicht vom Index i abh¨ angen kann. In der Molekularfeldn¨ aherung wird nun der Term P

hi,ji (σ _i − hσ _i i)(σ _j − hσ _j i), der die Abweichung eines bestimmten Spins von der mittleren Stellung beschreibt, vernachl¨ assigt. F¨ ur den Hamiltonoperator ergibt sich also

H _MF = J q

2 N hσi ² − µ (B _MF + B)

N

X

j=1

σ _j ,

mit dem von den Spins verursachten mittleren Magnetfeld B _MF = q J hσi

µ .

(a) F¨ ur die mittlere Magnetisierung des Systems ergeben sich nun zwei Ausdr¨ ucke. Einer- seits gilt

hDi = µ

* _N X

j=1

σ j

+

= N µ hσi .

Andererseits gilt aber die allgemeine Formel hDi = −

∂F

∂B

N,T

.

Berechne die kanonische Zustandssumme und die freie Energie in der Molekularfeldn¨ aherung.

Benutze dein Ergebnis um die Konsistenzbedingung hσi = tanh

βµ

qJ

µ hσi + B

herzuleiten, die benutzt werden kann um hσi zu bestimmen.

Substituiere nun x = βqJ hσi + βµB. Dann ist die Konsistenzbedingung 1

βqJ (x − βµB) = tanh x .

Die L¨ osungen sind also durch die Schnittpunkte der Geraden _βqJ ¹ (x − βµB) mit der Funk- tion tanh x gegeben.

(b) Betrachte den Fall B = 0. Wie viele L¨ osungen f¨ ur x gibt es oberhalb beziehungsweise unterhalb der kritischen Temperatur T _c = ^qJ _k ? Was bedeutet dies f¨ ur die m¨ oglichen Werte von B MF ?

–Haus¨ ubungen–

H 5.1 Eindimensionales Ising-Modell (3+3+3+3=12) Punkte Hier soll die eindimensionale Version des Ising-Modells betrachtet werden. Der Hamilton- operator ist dann gegeben durch

H = −J

N

X

j=1

σ _j σ _j+1 − µB

N

X

j=1

σ _j .

Zur Vereinfachung sei das lineare Gitter zu einem Kreis mit periodischer Randbedingung geschlossen, das heißt σ _N+1 = σ ₁ .

(a) Die Matrixelemente der Transfermatrix T seien definiert als hσ _i |T |σ _j i = exp

β

J σ _i σ _j + µB

2 (σ _i + σ _j )

. Zeige, dass die kanonische Zustandssumme Z = P

{σ

=±1} exp [−βH ({σ i })] durch Z = X

σ

=±1

hσ 1 |T ^N |σ 1 i = Sp T ^N gegeben ist.

Tipp: Da die Zust¨ ande |±1i ein vollst¨ andiges System bilden, gilt die Vollst¨ andigkeitsrelation P

σ=±1 |σi hσ| = 1.

(b) Weise dem Spin σ = 1 den Einheitsvektor 1

0

und dem Spin σ = −1 den Einheits- vektor

0 1

zu, sodass T die Form

T =

exp {β(J + µB)} exp {−βJ } exp {−βJ} exp {β(J − µB)}

annimmt. Berechne die Eigenwerte von T und werte die Zustandssumme Z explizit aus.

(c) Die mittlere Magnetisierung sei definiert als hDi = −

∂F

∂B

T,N

.

Berechne die freie Energie F und zeige, dass das System bei abgeschalteter Wechsel- wirkung der Spins in einen paramagnetischen Zustand ¨ ubergeht, das heißt die mittlere Magnetisierung bei abgeschaltetem Magnetfeld verschwindet. Wie verh¨ alt sich die Ma- gnetisierung bei eingeschaltetem Magnetfeld in den Grenzwerten T → 0 und T → ∞?

(d) Zeige, dass bei eingeschalteter Wechselwirkung der Spins f¨ ur die mittlere Magnetisie- rung

hDi = N µ sinh βµB q

exp{−4βJ} + sinh ² βµB

λ ^N ₁ − λ ^N ₂ λ ^N ₁ + λ ^N ₂

gilt, wobei λ _1,2 die in (b) berechneten Eigenwerte von T sind. Wie verh¨ alt sich hDi im Fall (βµB) → 0?

H 5.2 Ultrarelativistisches Gas (5+3=8) Punkte

Wir wollen mithilfe des kanonischen Ensembles die thermodynamischen Eigenschaften eines ultrarelativistischen klassischen Gases berechnen. Ein solches Gas besteht aus masselosen Teilchen die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Es gilt dann die relativistische Energie- Impuls Beziehung

= p

p ² c ² + m ² c ⁴ = |p|c . Die Hamiltonfunktion ist gegeben durch

H ({q _i }, {p _i }) =

N

X

i=1

|p _i |c

und die kanonische Zustandssumme ist Z(T, V, N) = 1

N!h ^3N Z

d ^3N q d ^3N p exp (

−β

N

X

i=1

|p _i |c )

.

(a) Zeige, dass

Z(T, V, N ) = 1

N ! 8πV kT

hc 3 ! N

.

Tipp: Erinnere dich an die Integraldarstellung der Gamma-Funktion von Zettel 2:

Γ(n) = R ∞

0 t ⁿ⁻¹ e ^−t dt

(b) Benutze Stirlings Formel um die freie Energie F sowie das chemische Potential µ zu berechnen und zeige die Zustandsgleichungen des ultrarelativistischen Gases

pV = N kT ,

E = 3N kT .