Theoretische Physik WS 12/13

Physikalisches Institut Ubungsblatt 4 ¨

Universit¨ at Bonn 02. November 2012

Theoretische Physik WS 12/13

Ubungen zu Theoretische Physik IV ¨

Priv.-Doz. Dr. Stefan F¨ orste

http://www.th.physik.uni-bonn.de/people/forste/exercises/ws1213/tp4

–Anwesenheits¨ ubungen–

A 4.1 Exakte Differentiale und Integrabilit¨ at

In Aufgabe A 3.1 haben wir den Ableitungsbegriff der mehrdimensionalen Analysis und totale Differentiale besprochen. Wir haben gesehen, dass jedes totale Differential eine Li- nearform ist und deshalb als Linearkombination der Basis {dx

} des Dualraums geschrie- ben werden kann. Ein Element des Dualraums, das ein totales Differential einer Funktion ist, heißt exaktes Differential. Es sei nun A = P

i=1

a

(x

, . . . , x

) dx

eine beliebige Linear- form. Dann ist A genau dann exakt wenn die folgenden, ¨ aquivalenten Integrabilit¨ atskriterien erf¨ ullt sind

:

• ∃F mit A = dF .

•

=

i

∀i, j ∈ {1, . . . , n}.

• H

A = H ( P

i=1

a

(x

, . . . , x

) dx

) = 0.

• R

P0

A = R

P0

( P

i=1

a

(x

, . . . , x

) dx

) ist unabh¨ angig vom Weg.

(a) Es sei n = 2. Betrachte die Linearform A = x

x

dx

+ x

dx

. Zeige, dass A nicht exakt ist, wohl aber

1

A. Berechne die Stammfunktion F , f¨ ur die dF =

1

A = x

dx

+ x

dx

gilt.

Der Faktor

1

, der aus dem obigen Beispiel einer nicht exakten Linearform A eine exakte Linearform

1

A macht ist ein Beispiel f¨ ur einen integrierenden Faktor. Sei also A eine beliebige, nicht exakte Linearform. Dann ist g ein integrierender Faktor falls

∂(ga

)

∂x

= ∂(ga

)

∂x

, ∀i, j ∈ {1, . . . , n}

erf¨ ullt ist.

(b) Es sei wieder n = 2 und A = x

x

dx

+ x

dx

. Bestimme den integrierenden Faktor.

In der Vorlesung wurde der 1. Hauptsatz der Thermodynamik (bei konstanter Teilchenzahl) dE = T dS − P dV

aus dem totalen Differential der Entropie im mikrokanonischen Ensemble gefolgert. Dabei kann der erste Term als ¨ Anderung der W¨ armemenge, δQ und der zweite Term als die geleistete Arbeit, δA verstanden werden.

1

Das gilt notwendigerweise nur auf sternf¨ ormigen Teilgebieten des R

.

(c) Zeige, dass δQ und δA keine exakten Differentiale sind. Es ist also nicht m¨ oglich ent- sprechende thermodynamische Zustandsgr¨ ossen zu definieren. Gib einen integrierenden Faktor f¨ ur δQ an.

Tipp: Benutze, dass dF = −SdT − pdV ein exaktes Differential ist.

Der Zusammenhang zwischen am System geleisteter Arbeit beziehungsweise zugef¨ uhrter W¨ arme und den thermodynamischen Zustandsgr¨ ossen besteht also nur in differentieller Form. Man kann durchaus das Integral R

C

δQ = R

C

T dS l¨ angs eines Weges C betrachten (und analog f¨ ur δA), der Wert eines solchen Integrals h¨ angt aber nicht nur von Anfangs- und Endpunkt sondern auch von der Form des Weges ab. Insbesondere ist H

C

δQ entlang eines geschlossenen Wegs C verschieden von Null, was f¨ ur thermodynamische Kreisprozesse, die wir sp¨ ater betrachten werden, eine zentrale Rolle spielt.

A 4.2 Legendre Transformation

Es sei f(x

, . . . , x

) eine Funktion. Ziel der Legendre Transformation ist es die Abh¨ angigkeit der Funktion f von den Variablen (x

, . . . , x

) zu den Variablen (x

, . . . , x

, u

, x

, . . . , x

), mit u

=

i

, zu ver¨ andern. Betrachte zun¨ achst den Fall n = 1 und schreibe abk¨ urzend x = x

.

Es sei T

(x) die Schar der Tangenten an die Funktion f(x) in den Punkten x

. Sie ist gegeben durch

T

(x) = f(x

) + ∂f

∂x

(x − x

) ≡ f(x

) + f

(x

)(x − x

) . Die Achsenabschnitte g(x

) dieser Tangenten sind gegeben durch

g(x

) = f (x

) − x

f

(x

) .

Ist die Abbildung x 7→ f

(x) bijektiv, so enth¨ alt die Funktion g (x) die gleiche Information wie f (x) (dies ist der Fall wenn f

(x) streng monoton ist). Man bezeichnet g dann als Legendre Transformierte von f und es gilt

g = f − xu , u ≡ ∂f

∂x .

Anschaulich ist g(x) der zum Punkt (x, f(x)) geh¨ orige y-Achsenabschnitt der Tangente.

(a) Zeige, dass g nur von u abh¨ angt.

(b) Berechne die Legendre Transformierte g der Funktion f (x) = x

sowie ihr totales Differential.

(c) Was ist die Legendre Transformierte der Funktion f(x) = x?

(d) Zeige, dass die Legendre Transformation involutiv ist, das heißt, dass zweifache An- wendung auf eine Funktion wieder die Ausgangsfunktion liefert.

Die Verallgemeinerung f¨ ur beliebiges n ist nun unkompliziert. Soll die Variable x

durch u

=

i

ersetzt werden, so bildet man

(e) Zeige, dass g nicht von x

abh¨ angt.

Die bekannteste Anwendung der Legendre Transformation ist der ¨ Ubergang von der Lagrange- zur Hamiltonfunktion in der klassischen Mechanik. Doch auch in der Thermodynamik hat sie breite Anwendungen. Thermodynamische Systeme sind durch drei Zustandsgr¨ oßen vollst¨ andig bestimmt. Man kann dann durch Legendre Transformationen zu anderen Zu- standsgr¨ ossen ¨ ubergehen. Im mikrokanonischen Ensemble sind die Zustandsgr¨ ossen bei- spielsweise innere Energie E, Volumen V und Teilchenzahl N w¨ ahrend sie im kanoni- schen Ensemble durch die Temperatur T , V und N gegeben sind. Die thermodynamische Funktion des mikrokanonischen Ensembles ist die Entropie S(E, V, N ) und ihre Legend- re Transformation, die freie Energie F (T, V, N ), ist die thermodynamische Funktion des kanonischen Ensembles.

–Haus¨ ubungen–

H 4.1 Reales Gas (3+4+3=10) Punkte

Wir wollen ein reales Gas im kanonischen Ensemble betrachten. Gegeben seien also N (N 1) Molek¨ ule in einem Kasten mit Volumen V . Das System habe die Temperatur T . Die Hamiltonfunktion ist gegeben durch

H =

N

X

i=1

p

2m + X

i<k

U(|x

− x

|) ,

wobei x

und p

Ort und Impuls des i-ten Teilchens beschreiben und das Potential U nur von den relative Abst¨ anden der Teilchen ab¨ angt. Als gute N¨ aherung f¨ ur das Zweiteilchen- potential verwenden wir das Sutherland Potential

U (r) =

( ∞ r < r

−U

r ≥ r

, das die Molek¨ ule als harte Kugeln mit Radius r

/2 auffasst.

(a) Betrachte die kanonische Zustandssumme

Z = 1

N !h

Z

d

x d

p exp {−βH(x

, p

)} . Zeige, dass

Z = 1 N !

2πmkT h

(

V

+ V

X

i<k

Z d

x

Z

d

x

(exp{−βU (|x

− x

|)} − 1) + . . . )

,

indem du Z um den Parameter 1 f

= exp{−βU (|x

− x

|)} − 1 entwickelst.

Tipp: Q

i<k

(1 + f

) = 1 + P

i<k

f

+ . . . .

(b) Zeige, dass

Z = 1 N !

2πmkT h

V

1 + N

u 2V + . . .

ist und dass

p = ∂

∂V (kT log Z ) ≈ N kT V

1 − u

2 N V

,

gilt, wobei wir abk¨ urzend u = 4π

Z

0

r

dr (exp{−βU (r)} − 1)

schreiben. Die Zustandsgleichung des realen Gases unterscheidet sich also durch den Korrekturfaktor 1 −

von der des idealen Gases.

(c) Nun wollen wir das oben angegebene Potential verwenden um das Integral in u zu l¨ osen. Zeige, dass die Zustandsgleichung durch

p = N kT V

1 + 2πN r

3V

1 − U

kT

gegeben ist.

Tipp: Benutze βU

1 um die Exponentialfunktion linear zu n¨ ahern.

Man kann nun die Zustandsgleichung in die Form

p + aN

V

V N − b

= kT ,

also die Zustandsgleichung eines Van-der-Waals Gases bringen. Dabei wird benutzt, dass das Eigenvolumen 4πr

/3 der Molek¨ ule f¨ ur nicht zu hohe Dichten klein gegen das Volumen pro Teilchen V /N ist. Auf diese Weise lassen sich aus der statistischen Physik die Van-der- Waals Parameter

a = 2π

3 r

U

, b = 2π 3 r

berechnen.

H 4.2 Gibbs’sches Paradoxon (2+3=5) Punkte

Ein thermisch abgeschlossener Beh¨ alter ist durch eine Trennwand in zwei Kammern unter- teilt. Beide Kammern enthalten ideale Gase mit der konstanten W¨ armekapazit¨ at c

= T

V,N

. Die eine Kammer enth¨ alt N

Teilchen bei der Temperatur T

und dem Druck p

, die andere N

Teilchen bei der Temperatur T

und dem Druck p

.

(a) Die Trennwand werde nun verschiebbar gemacht und ihre thermische Isolierung ent-

fernt. Nach dem Druck- und Temperaturausgleich besitzen beide Kammern den glei-

chen Druck p und die gleiche Temperatur T . Berechne diese mit Hilfe der Zustands-

(b) Anschließend wird die Trennwand entfernt. Berechne die ¨ Anderung der Gesamtentropie S aufgrund der Mischung, falls die Gase (1) verschieden und (2) identisch sind. Die Entropie eine idealen Gases sei dabei durch

S = N k

log V + 3

2 1 + log(2pmkT /h

)

, approximiert. Warum f¨ uhrt der 2. Fall zu einem Widerspruch?

H 4.3 Energiefluktuation im kanonischen Ensemble 5 Punkte Im Falle eines kanonisches Ensemble ist die Wahrscheinlichkeit f¨ ur einen Zustand der Ener- gie E

durch

P (E

) = 1

Z exp (−βE) gegeben. Dabei ist Z = P

k

exp (−βE

). Zeige, dass f¨ ur das Schwankungsquadrat der Energie

(∆E)

= − ∂ hEi

∂β = kT

∂ hEi

∂T gilt. Die relative Breite der Energieverteilung

√

(∆E)²

hEi

ist also proportional zu N

. Im

Grenzwert N → ∞ n¨ ahert sich die Energieverteilung im kanonischen Ensemble also derer

des mikrokanonischen Ensembles an, die bei gegebenem Energiewert E

durch δ(E − E

)

gegeben ist.