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Der Euler’sche Polyedersatz
Zwischen der Anzahl der Ecken, der Anzahl der Begrenzungsflächen und der Anzahl der Kanten eines (konvexen) ebenflächig begrenzten Körpers besteht ein einfacher Zusammenhang, den auch Ihre Schülerinnen und Schüler aus folgendem Arbeitsblatt leicht erkennen werden:
Körper Anzahl der
Ecken e
Anzahl der Begrenzungs-
flächen f e + f Anzahl der
Kanten k Prismen:
dreiseitiges Prisma 6 5 11 9
vierseitiges Prisma
(Quader) 8 6 14 12
sechsseitiges Prisma 12 8 20 18
... ... ... ... ...
n-seitiges Prisma 2n n + 2 3n + 2 3n
Pyramiden:
dreiseitige Pyramide 4 4 8 6
vierseitige Pyramide 5 5 10 8
sechsseitige Pyramide 7 7 14 12
... ... ... ... ...
n-seitige Pyramide n + 1 n + 1 2n + 2 2n
Oktaeder 6 8 14 12
Es lässt sich leicht erkennen, dass die Summe aus Anzahl der Ecken und Anzahl der Begrenzungsflächen stets um 2 größer ist als die Anzahl der Kanten.
Euler’scher Polyedersatz: e + f = k + 2
Biographisches: Leonard EULER wurde am 15. April 1707 in Basel (Schweiz) geboren.
Er war unter anderem Professor an der preußischen Akademie der Wissenschaften bei Friedrich dem Großen in Berlin. Im Alter lebte er in St. Petersburg (Russland), wo er am 18. September 1783 starb.
Er leistete Hervorragendes auf mehreren Gebieten der Mathematik, Physik und Astronomie. Bis ins hohe Alter war er aktiv. So hat er, bereits erblindet, ein Lehrbuch der Algebra diktiert, das viele Jahrzehnte vorbildhaft war.
© Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2013 | www.oebv.at | Mach mit Mathematik 3 | ISBN 978-3-209-07127-9 Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet.
I Ebenfl ächig begrenzte Körper
39. Pyramiden
