Aufgabe 10.1: Streuquerschnitt (14 Punkte)

Klassische Theoretische Physik I (SoSe 2018) Vorlesung: Prof. Dr. J. Tjus/ Dr. M. Zacharias

Übung: Dr. B. Eichmann

Hausaufgaben 10 Ausgabe: 19.06.2018

Abgabe: bis 26.06.2018, 10:00Uhr

Aufgabe 10.1: Streuquerschnitt (14 Punkte)

In sphärischen Polarkoordinaten ( r, φ ) ist die Lagrangefunktion eines Teilchens der Masse µ in einem Zentralpotential V = V (r) allgemein gegeben durch

L(r, r, ˙ φ) = ˙ µ 2

˙

r ² + r ² φ ˙ ²

− V (r) (1)

Es wurde bereits in der Vergangenheit gezeigt, das die Energie E = T +V eine Erhaltungsgröÿe ist, für die gegebene Lagrangefunktion (1).

a.) Nutzen Sie die Energie E sowie den Betrag des Drehimpulses l , um zu zeigen, dass die Bahnkurve φ = φ(r) gegeben ist durch

φ = φ ₀ + Z r

r

d r ⁰ l/r ⁰²

p 2µ(E − V (r ⁰ )) − l ² /r ⁰² (2) Betrachten wir nun das in der Abbildung dargestellte Streuproblem, bei dem das Teilchen 2 aus r = ∞ kommt und bei einem minimalen Abstand r = r _min den Winkel φ = π − α ₀ besitzt.

b.) Zeigen Sie, dass für den Steuwinkel θ(s) = π − 2

Z ∞

r

d r s/r ²

p 1 − V (r)/E − s ² /r ² (3) gilt, wenn wir annehmen, dass das Potential im Unendlichen verschwindet.

Im Folgenden soll nun (erneut) das repulsive Potential V (r) = α/r ² , mit α > 0 betrachtet werden.

c.) Bestimmen Sie r _min , sowie den Streuwinkel für das gegeben Potential. (Hinweis: Was gilt für d φ/ d r bei r = r _min ?)

d.) Berechnen Sie den zugehörigen dierentiellen Wirkungsquerschnitt.

d σ

d Ω = s(θ) sin θ

d s(θ) d θ

. (4)

e.) Welchen Wirkungsquerschnitt erhält man für kleine Streuwinkel ( θ 1 ) und welchen im

Fall von Rückwärtsstreuung ( θ = π )?

Aufgabe 10.2: Streuung an einer Potentialmulde (7 Punkte)

Nun soll ein Teilchen an einer Potentialmulde mit V (r) = −V ₀ für 0 ≤ r ≤ R und V (r) = 0 sonst, elastisch gestreut werden. Zeigen Sie, dass in diesem Fall für den Stoÿparameter s der Zusammenhang

s ² = R ² q ² sin ² (θ/2)

1 − 2q cos(θ/2) + q ² (5)

gilt, wobei θ der Streuwinkel ist und q = p

1 + V ₀ /E , mit der Energie E (welche gleich der kinetischen Energie des einfallenden Teilchens ist). (Hinweise: Nutzen Sie die Erhaltungsgröÿen.

Es existieren zwei unterschiedliche Lösungswege.)

Aufgabe 10.3: Hamiltonformalismus in Zylinderkoordinaten (9 Punkte)

Bestimmen Sie für die Potentiale in a.) und b.) die Lagrangefunktion in Zylinderkoordina- ten. Stellen Sie anschlieÿend die Hamiltonfunktion auf, werten Sie die Hamiltongleichungen aus und nden Sie zwei (in a.)) bzw. drei (in b.)) Erhaltungssätze.

a.) Ein Teilchen der Masse m im Potential V (x, y, z) = 1

2 c ₁ (x ² + y ² ) − 1

2 c ₂ z ² , (6)

wobei c ₁ und c ₂ Konstanten sind.

b.) Ein Teilchen der Masse m im Potential

V (r) = V ₀ ln r

r ₀

, (7)

wobei V ₀ und r ₀ konstant sind.