|an||bn−b|+|b||an−a| →0 (3)(iii) Quotient: n >n0

Rechenregeln f¨ur Grenzwerte

F¨ur konvergente Folgen (an) und (bn) mit Grenzwertena und b gilt:

n→∞lim (an±bn) =a±b

n→∞lim (anbn) =ab

n→∞lim (a_n/b_n) =a/b, falls b6= 0

Beweis

(i) Summe und Differenz:

Dreiecksungleichung =⇒

|(a_n±b_n)−(a±b)| = |(a_n−a)±(b_n−b)|

≤ |a_n−a|+|b_n−b| →0 (ii) Produkt:

Dreeicksungleichung, Beschr¨anktheit vonan =⇒

|a_nbn−ab| = |a_nbn−anb+anb−ab|

≤ |a_nb_n−a_nb|+|a_nb−ab|

= |a_n||b_n−b|+|b||a_n−a| →0

(iii) Quotient:

n >n0 =⇒

06∈

b−|b|

2 ,b+ |b|

2

3bn

|b_n| ≥ |b|/2 =⇒

1 bn

−1 b

=

b−b_n bbn

≤ 1

|b|(|b|/2)|b_n−b| →0, d.h. 1/b_n→1/b

Regel f¨ur Produkte =⇒ Konvergenz von an/bn

Beispiel

Grenzwert einer rationalen Folge:

a_n= p(n) q(n) mit Polynomen p undq

Bestimmung des Grenzwerts nach K¨urzen durch die h¨ochste Potenz, z.B.

n→∞lim

n−2n²

3n²+ 4n = lim

n→∞

1/n−2

3 + 4/n = limn→∞1/n − 2 3 + limn→∞4/n =−2

3 Grenzwert bei Z¨ahlergrad j und Nennergradk:

n→∞lim

p_jn^j +· · ·p₀ qkn^k +· · ·q0

=

0, f¨urj <k

pj

q_k, f¨urj =k Divergenz f¨urj >k

Beispiel

Berechnung des Grenzwerts der Folge

n+ 2

n+ 1 n

,n= 1,2, . . . (i) Falsche Argumentation:

n→∞lim

n+ 2

n+ 1 n

=

n→∞lim n+ 2 n+ 1

n

= 1ⁿ= 1 keine konstante Anzahl der Faktoren!

(ii) Korrekte Berechnung:

benutze

n→∞lim

1 +1 n

n

=e

n→∞lim

n+ 2

n+ 1 n

= lim

n→∞

1 + 1 n+ 1

n+1

n→∞lim

1 + 1 n+ 1

−1

= e·1⁻¹ =e