sup n>n0 bn<1 bn=pn |an

Wurzelkriterium Existiert q ∈[0,1) mit

pn

|a_n| ≤q, n >n0, so ist die Reihe P∞

n=0a_n absolut konvergent. Ist hingegen

|a_n| ≥1 f¨ur unendlich vielen, so ist P∞

n=0an divergent.

Die hinreichende Bedingung f¨ur Konvergenz l¨asst sich auch in der

¨

aquivalenten Form

lim sup

n→∞

pn

|a_n|<1 schreiben.

Der Grenzwert der n-ten Wurzeln muss nicht existieren; die etwas st¨arkere Forderung limn→∞ ⁿ

p|a_n|<1 ist nat¨urlich ebenfalls hinreichend f¨ur die Konvergenz der Reihe.

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Beweis

(i) Konvergenz:

|a_n| ≤qⁿ mit q <1 f¨ur n>n0

=⇒ geometrische Reihe als Majorante (ii) Limes Superior:

Definition: lim sup_n→∞b_n= limn→∞b¯_n, ¯b_n= sup_k≥nb_k (¯b_n) monoton fallend =⇒

limn

b¯_n<1 ⇐⇒ b¯_n<1,n>n₀ ⇐⇒ sup

n>n0

b_n<1 bn=pⁿ

|a_n| =⇒ Aquivalenz der Konvergenzkriterien¨ (iii) Divergenz:

|a_n| ≥1 f¨ur unendlich viele n

=⇒ a₁,a₂, . . . ist keine Nullfolge

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Beispiel

Anwendung des Wurzelkriteriums bei Reihen P∞

n=0an, dien-te Potenzen enthalten

(i)an=n(−2)⁻ⁿ: n-te Wurzelnwn=pⁿ

|a_n|=√ⁿ

n2⁻¹, limn→∞ ⁿ

√n= 1

=⇒ w_n→1/2<1 und somit absolute Konvergenz nach dem Wurzelkriterium

algemeinere Reihe: P∞

n=0n^rx⁻ⁿ, w_n= √ⁿ nr

/|x| →1/|x|

Wurzelkriterium =⇒

Konvergenz f¨ur 1/|x|<1, d.h.|x|>1 Divergenz f¨ur|x|<1

keine Aussage f¨ur|x|= 1 andere Methode

Konvergenz der Reihe P∞

n=0n^r (x = 1) f¨ur r <−1, Konvergenz der Reihe P∞

n=0n^r(−1)ⁿ (x =−1) f¨urr <0

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(ii)an= (3 + sinn)⁻ⁿ:

kein Grenzwert der n-ten Wurzeln wn=pⁿ

|a_n|=|3 + sinn|⁻¹ Notwendigkeit des Limes Superior:

lim sup

n→∞ w_n= lim

n→∞sup

k≥n

|3+sinn|⁻¹= lim

n→∞2⁻¹= 1/2 =⇒ Konvergenz eingfacher: unmittelbare Anwendung der Absch¨atzung

wn≤ |3−1|⁻¹ = 1/2<1 (erste Variante der Wurzelkriterien)

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