1.1Einleitung 1L¨osungenzuAnalysis1/7.¨Ubung

1 L¨ osungen zu Analysis 1/ 7. ¨ Ubung

1.1 Einleitung

1. Beispiel Intervallschachtelung in R. Seien (an)n∈N eine monoton wach- sende und (bn)n∈N eine monoton fallende Folge mit {a_n : n ∈ N} < {b_n : n ∈N} und limn→∞(bn−a_n) = 0.

SATZ: Es gilt unter obigen Voraussetzungen limn→∞a_n = limn→∞b_n. Beweis : Wir geben 2 Varianten an:

• Laut Voraussetzung ist die Folge (bn−an)n∈N eine Nullfolge und somit gilt das Konvergenzkriterium:

∀ǫ >0∃N ∈N∀n > N : |(bn−an)−0|< ǫ

Da allerdings ∀m ≥ k > N gilt a_N+1 ≤a_k ≤ a_m < b_m ≤ b_k ≤b_N+1 folgt sofort

∀ǫ >0 ∃N ∈N∀n, k > N : |a_m−a_k|<|b_N+1−a_N+1|< ǫ

∀ǫ >0 ∃N ∈N∀n, k > N : |bm−bk|<|b_N+1−a_N+1|< ǫ

Damit ist sowohl (an)n∈Nals auch (bn)n∈Neine Cauchyfolge und konvergiert daher in R. Somit folgt

nlim→∞bn− lim

n→∞an= lim

n→∞(bn−an) = 0 und die Grenzwerte sind gleich.

• Alternativ und einfacher ist die Feststellung: a_n, b_nsind beide monoton und beschr¨ankt und daher konvergentan→x,bn→ y. Somit konvergiertbn−an

gegen die Differenz der Limites y−x. Nun gilt limn→∞(bn−an) = 0 und daher x=y= lima_n= limb_n.

Wir wollen den Satz auf folgende rekursiv definierte Folge anwenden:

Sei 0< a₁ =a < b₁ =b und f¨ur alle n ∈N: a_n+1 = 2a_nb_n

a_n+b_n, b_n+1 = a_n+b_n 2 Wir zeigen, dass der Satz anwendbar ist:

BH 1: a_n ≤a_n+1 und b_n ≥b_n+1 ist gleichwertig zu a_n< b_n

Beweis :

a_n< 2a_nb_n

a_n+b_n =a_n+1 ausmultiplizieren

⇔ a²_n−a_nb_n<0⇔a_n < b_n analog

b_n> a_n+b_n

2 =b_n+1 ⇔b_n> a_n BH 2: F¨ur alle n ∈N gilt a_n< b_n.

Beweis : Wir verwenden vollst¨andige Induktion:

(IA) a₁< b₁ laut Voraussetzung (IS) Sei an< bn. Wir setzen ein

an+1 < bn+1⇔ 2a_nb_n an+bn

< a_n+b_n 2

ausmultiplizieren

⇔

⇔4a_nb_n< a²_n+ 2a_nb_n+b²_n^Quadrat⇔

⇔0<(an−bn)²

Damit haben wir eine Intervallschachtelung erreicht und damit sind beide Folgen konvergent.

Zu zeigen bleibt:

BH 3: limn→∞(bn−a_n) = 0 indem wir zeigen ∀n ∈N: b_n−a_n≤ ^(b₂^n−−1a) Beweis : Wir zeigen das induktiv:

(IA) n= 1 : b−a≤b−a (IS) Die Aussage gelte f¨urn:

b_n+1−a_n+1= a_n+b_n

2 − 2a_nb_n a_n+b_n =

= (a_n−b_n)²

2(an+bn) ≤ (a_n−b_n)²

2(bn−an) = (b_n−a_n)

2 ≤

≤ (b−a)

2ⁿ⁻¹2 = (b−a) 2ⁿ

BH 4: x= limn→∞a_n =√

ab= limn→∞b_n =y

Beweis : Da nun der Satz anwendbar ist folgt x =y und aus xy =ab das Ergebnis sofort.

2. Beispiel Sei ¯C := C∪ {∞}. Dabei ist ∞ nur ein Symbol wir k¨onnten ebenso aschreiben. Eine komplexe Folge (zn)_n∈Nkonvergiert gegen ∞genau dann wenn:

∀M ∈R, M >0 ∃N ∈N∀n ≥N : |z_n|> M

Es ist sofort klar, dass man c_n := |z_n| als Folge in R auffassen kann und schliesst c_n→+∞ ⇔z_n→ ∞ wenn man in obige Formel c_n substituiert.

Gegeben p(z), q(z) Polynome mit komplexen Koeffizienten, sodass der Grad von pgr¨osser als der von q ist. Wir zeigen:

BH:

p(n) q(n)

n∈N

→ ∞

Beweis : Sei p(n) =a_kn^k+· · ·+a₀ und q(n) =b_ln^l+· · ·+b₀.

Dass der Betrag einer Zahl gegen ∞ strebt ist offensichtlich gleichwertig dazu, dass das Quadrat des Betrages gegen∞ strebt. Um das nachzupr¨ufen reicht es zu wissen, dass Quadrieren aufR⁺ eine monotone Bijektion ist.

Wir betrachten also

|p(n)|² =p(n)p(n) = (a_kn^k+· · ·+a₀)(a_kn^k+· · ·+a₀), da n∈N⊆R. Somit ist f¨ur alle n∈N,

|p(n)|² =a_ka_kn^2k+ (a_ka_k−1+a_ka_k−1)n^2k−1+· · ·+a₀a₀ eine reelle Zahl. Ebenso folgt

|q(n)|² =b_lb_ln^2l+ (blb_l−1+b_lb_l−1)n^2l−1+· · ·+b₀b₀.

Setzt man nunb:= (2l+ 1)·max{|b_lb_l|,|b_l−1+b_lb_l−1|, . . . ,|b₀b₀|}das Maxi- mum der ”Koeffizienten” von |q(n)|² multipliziert mit ihrer Anzahl, so gilt bn^2l ≥ |q(n)|². Diese Aussage zeigt man mit Induktion nach l f¨ur endliche Summen reeller Zahlen: P_2l

i=0c_i <P_2l

i=0maxc_i (siehe L¨osung zur 4. ¨Ubung 2. Bsp). Ausserdem gilt |p(n)|² ≥ a_ka_kn^2k. Damit sch¨atzen wir jetzt nach unten ab:

p(n) q(n)

2

= |p(n)|²

|q(n)|² ≥ a_ka_kn^2k

bn^2l = a_ka_kn^2(k−l) b

k > l

≥ na_ka_k b

Offensichtlich ist der Ausruck rechts unbeschr¨ankt (nmal Konstante), strebt also gegen ∞, und somit

p(n) q(n)

2 → ∞ und nach der obigen Bemerkung

p(n) q(n)

→ ∞ und schliesslich ^p(n)_q(n) → ∞ laut Definition.

3.Beispiel Eine stereografische Projektion bildet die Oberfl¨ache der Kugel K mit Gleichungx²+y²+(z−¹₂) = ¹₄ ohne NordpolN = (0,0,1) bijektiv auf die Ebene R² ab. Um diesen Sachverhalt zu beweisen ermitteln wir explizit die Abbildungsvorschrift. Die Gerade die vom Nordpol und einem beliebigen anderen Punkt P = (ξ, ν, ζ) der Kugeloberfl¨ache S aufgespannt wird ist gegeben durch:



 x y z



=



 0 0 1



+λ



 ξ η ζ−1





Geschnitten mit der Ebene z = 0 ergibt sich λ= _1−ζ¹ . y= _1−ζ^η , x= _1−ζ^ξ . Wir zeigen:

BH 1: Die zwei Abbildungen

σ : (ξ, η, ζ)֌(x, y) = η

1−ζ, ξ 1−ζ

τ : (x, y)֌(ξ, η, ζ) =

x

1 +x²+y², y

1 +x²+y², x² +y² 1 +x²+y²

sind zueinander invers.

Beweis :

•

τ σ(ξ, η, ζ) =







ξ 1−ζ

1 +

η 1−ζ

2

+

ξ 1−ζ

2,

η 1−ζ

1 +

η 1−ζ

2

+

ξ 1−ζ

2, η

1−ζ

2

+

ξ 1−ζ

2

1 +

η 1−ζ

2

+

ξ 1−ζ

2





=

=

ξ(1−ζ)

(1−ζ)²+η²+ξ², η(1−ζ)

(1−ζ)²+η²+ξ², (ξ²+η²) (1−ζ)²+η²+ξ²

=

= ξ(1−ζ)

3

4−ζ+ (ζ− ¹₂)²+η²+ξ², η(1−ζ)

3

4−ζ+ (ζ−¹₂)²+η²+ξ², (ξ²+η²)

3

4 −ζ+ (ζ−¹₂)²+η²+ξ²

!

=

Kreisgleichung: ¹₄ =ξ²+η²+` ζ−¹

2

´₂

= ξ(1−ζ)

1−ζ ,η(1−ζ) 1−ζ ,

1

4 −(¹₂−ζ)² 1−ζ

!

= (ξ, η, ζ)

•

στ(x, y) =





x 1+x²+y²

1−_1+x^x2+y2+y²²

,

y 1+x²+y²

1−_1+x^x2+y2+y²²





Erweitern mit 1 +x²+y²

= (x, y)

BH 2: τ(x, y)∈S\ {0}

Beweis : Wir zeigen, dass die erhaltenen (ξ, η, ζ) die Kreisgleichung ¹₄ = ξ² +η² + ζ−¹₂2

erf¨ullen:

x 1 +x²+y²

2

+

y 1 +x²+y²

2

+

x²+y² 1 +x²+y² −1

2 2

=

= 4x²+ 4y²+ (x²+y²−1)² 4(1 +x²+y²)² =

= (x²+y²+ 1)² 4(1 +x²+y²)² = 1

4 Falls nun ξ = η = 0 also falls gilt x = 0 und y = 0 folgt dementsprechen auchζ = _1+x^x2+y_2+y²₂ = 0 und es liegtζ = 1 nicht im Bild von τ, da∀x, y∈R² :

x²+y² 1+x²+y² <1

Somit ist τ = σ⁻¹, der Satz 1.2.18 anwendbar und σ eine Bijektion von S\N →R².