1.1Einleitung 1L¨osungenzuAnalysis1/8.¨Ubung

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1 L¨ osungen zu Analysis 1/ 8. ¨ Ubung

1.1 Einleitung

1. Beispiel Wie im 3. Beispiel der 7. ¨Ubung wird Cdurch hinzuf¨ugen des Elements (∞) erweitert. Wir setzten C∪ {∞} = C. Die chordale Metrik χ wird durch die Inverse der stereografische Projektion σ gegeben, indem man σ auf ganz S fortsetzt und σ(N) =∞ definiert. χ:C×C→R sei dann

χ(z, w) :=d₂(σ⁻¹(z), σ⁻¹(w)).

BH 1: χ ist eine Metrik aufC. Beweis :

χ(w, z)≥0 Das ist klar da d₂ Metrik ist.

χ(w, z) = 0⇔w=z Folgt aus der Bijektivit¨at von σ und da d₂ eine Metrik ist.

χ(w, z) =χ(z, w) Folgt aus der symmetrischen Definition vonχ und ausd₂ ist Metrik

Dreiecksungleichung F¨ur allew, z, v∈Cgiltχ(w, z) =d₂(σ⁻¹(z), σ⁻¹(w))≤d₂(σ⁻¹(z), σ⁻¹(v))+

d₂(σ⁻¹(v), σ⁻¹(w)) =χ(z, v) +χ(v, w) BH 2: χ(w, z) = √ ^|w−z|

1+|w|²·√

1+|z|²

Beweis : Seiw=x+iyund z=x^′+iy^′ . Mit −2(xx^′+yy^′) =|z−w|²− |z|²− |w|²

(2)

folgt:

χ(w, z)² =

=

x

1 +x²+y² − x^′ 1 +x^′2+y^′2

2

+

y

1 +x²+y² − y^′ 1 +x^′2+y^′2

2

+

x²+y²

1 +x²+y² − x^′2+y^′2 1 +x^′2+y^′2

2

=

= |w|² 1 +|z|²2

−2 (xx^′+yy^′) 1 +|w|²

1 +|z|²

+|z|² 1 +|w|²2

+ |w|²− |z|²2

(1 +|w|²)²(1 +|z|²)² =

= |w|² 1 +|z|²2

− |z|²+|w|²

1 +|w|²

1 +|z|²

+|z|² 1 +|w|²2

+ |w|²− |z|²2

(1 +|w|²)²(1 +|z|²)² + + |z−w|²

(1 +|w|²) (1 +|z|²) =

= |w|² 1 +|z|²

|z|²− |w|²

+|z|² 1 +|w|²

|w|²− |z|²

+ |w|²− |z|²2

(1 +|w|²)²(1 +|z|²)² + |z−w|²

(1 +|w|²) (1 +|z|²) =

= |z|²− |w|²

|w|² 1 +|z|²

− |z|² 1 +|w|²

+|z|²− |w|² (1 +|w|²)²(1 +|z|²)²

| {z }

=0

+ |z−w|² (1 +|w|²) (1 +|z|²)

Damit istχ wie gew¨unscht darstellbar.

BH 3:F¨ur eine Folge (x_n)_n∈Nin (C, χ) gilt, dassx= lim^χ_n→∞x_n⇔σ⁻¹(x) = lim^d_n→∞² σ⁻¹(xn).

Beweis : Die Behauptung folgt sofort durch Einsetzten in die Definition der Metrik:

∀ǫ >0∃K ∈N ∀n > K : χ(x_n, x)< ǫ ⇔

∀ǫ >0∃K ∈N ∀n > K : d₂ χ⁻¹(xn), χ⁻¹(x)

< ǫ

2. Beispiel welches die Fortsetzung des 1. Beispiels ist: Um die verlang- ten Sachverhalte zu zeigen ist es nicht unbedingt notwendig weit auszuholen.

Mir erscheint es aber sinnvoll, die wesentlichen Zusammenh¨ange zu beweisen.

Zum Beispiel jenen Aspekt der die stereografische Projektion für die Karto- grafie interessant macht und das ist unter anderem die kreistreue bezüglich der Breitenkreise. Im allgemeinen müssen Kreise jedoch nicht auf Kreise pro- jeziert werden. Das liegt daran, dass jeder Kreis aufSeinen ’Projektionskegel’

(3)

mit Spitze N bestimmt und, als Kegelschnitt mit der komplexen Ebene nur dann Kreise entstehen, wenn die Ebene senkrecht auf die Kegelachse steht, also wenn diese die z-Achse ist. BH 2 und BH 3, k¨onnen f¨ur die gestellte Aufgabe ignoriert werden, sind aber geometrisch sehr nette Feststellungen.

Wir zeigen

BH 1: ∀z ∈Cgilt

d₂(σ⁻¹(z), N)² = 1 1 +|z|² Beweis :

d₂(σ⁻¹(z), N)² =

= x²

(1 +|z|²)² + y² (1 +|z|²)² +

x²+y² (1 +|z|²)²−1

2

=

= |z|²−1

(1− |z|²)² = 1 1 +|z|²

BH 2: ∀s∈S gilt, wenn wirC :=d₂(s, N)² und s=



 ξ η ζ



 setzen,

−ζ+ 1 =C

Beweis : Wir kombinieren die Gleichung die den Abstand vom Nordpol beschreibt (1) und jene der Kugeloberfl¨ache (2)

ξ²+η²+ (ζ−1)² =C (1)

ξ²+η²+

ζ−1 2

2

= 1

4 (2)

indem wir (2) von (1) subtrahieren und erhalten

−ζ+3

4 =C− 1

4 ⇔C= 1−ζ

BH 3: Eine sch¨one Darstellung des Betrags einer Komplexen Zahl ergibt:

∀z ∈ C gilt, falls σ⁻¹z =



 ξ η ζ



, gilt |z|² = _1−ζ^ζ = ^1−d_d₂_(σ²^(σ₋⁻1(z),N)¹^(z),N)²² . Damit ergibt sich der einfache Zusammenhang ζ = 1−d₂(σ⁻¹(z), N)².

(4)

Beweis : Wir verwenden Gleichung (1) und BH 2:ξ²+η² =C−(ζ−1)² =ζ−ζ²= ζ(1−ζ) Damit gilt

|z|² =|σσ⁻¹(z)|= ξ

1−ζ 2

+ η

1−ζ 2

= ζ(1−ζ) (1−ζ)² = ζ

1−ζ

L¨ost man nun BH 1 nach|z|² auf ergibt sich der zweite Teil der Betragsdar- stellung.

Aufl¨osen von ζ

1−ζ = 1−d₂(σ⁻¹(z), N)² d₂(σ⁻¹(z), N)²

nach ζ ergibt dann die letzte Behauptung.

BH 4: F¨ur eine Folge (z_n)_n∈N ∈Cist gleichwertig:

∀M >0∃K ∈N ∀n > K : |z_n|> M und

∀ǫ >0∃K ∈N∀n > K : d₂(σ⁻¹(zn), N)< ǫ

Beweis : Zu Anfangs stellen wir fest, dass die Abbildung θ : R⁺ → R⁺, wo θ(r) =

1

1+r² eine Zusammensetzung von Bijektionen ist und damit eine Bijektion.

Wir beweisen eine Richtung der Beweis der zweiten wird analog gef¨uhrt:

∀M >0 ∃K∈N∀n > K:|zn|> M

θM ∈R⁺

⇔ ∀M >0 ∃K∈N∀n > K: 1 +|zn|²> M²+ 1 = _θ(M¹ ₎

BH 1⇔ ∀M >0 ∃K∈N∀n > K:d₂(σ⁻¹(zn), N) = _1+|z¹

n|² < _M2¹+1 =θ(M)

θbijektiv

⇒ ∀ǫ >0 ∃M >0 ∃K∈N∀n > K:d₂(σ⁻¹(zn), N)< θ(M) =ǫ

⇔ ∀ǫ >0 ∃K∈N∀n > K:d₂(σ⁻¹(z_n), N)< ǫ

BH 5:F¨ur eine Folge (z_n)_n∈N∈Cist gleichwertig z_n→z mit σ⁻¹z_n →σ⁻¹z (jeweils in der euklidischen Metrik).

Beweis : Der Fall zn → ∞ ⇔σ⁻¹zn →N folgt aus BH 4. Im anderen Fall hat man einerseitsz_n→z∈Cund daraus folgt mit Satz 3.3.5 im Skriptum (Satz ¨uber die Vertauschung des lim, der eigentlich die Stetigkeit der K¨orperoperationen +, ·und .⁻¹ zeigt), dassσ⁻¹zn→σ⁻¹Z. Umgekehrt sieht man ebenso, dass mit s_n → s ∈ S\ {N}, die Umkehrabbildung definiert ist. Man schliesst, dass dann die einzelnen Komponenten von s_n = (ξ_n, η_n, ζ_n) → (ξ, η, ζ) = s konvergieren und damit wieder Satz 3.3.5 auf die Komponenten von σ anwendbar ist.

(5)

3. Beispiel Gegeben zwei Folgen komplexer Zahlen (wn)_n∈N, (zn)_n∈N, so- dass P∞

i=1|w_n|² und P∞

i=1|z_n|² konvergieren.

Wir zeigen:

BH 1: P∞

i=1|w_nz_n| und P∞

i=1|w_n +z_n|² konvergieren. Ausserdem erf¨ullen werden, die Cauchy Schwarzsche und die Minkowski Ungleichung erf¨ullt:

X∞

i=1

w_nz_n

2

≤ X∞

i=1

|w_n|²

!

· X∞

i=1

|z_n|²

!

vu ut

X∞

i=1

|w_n+z_n|² ≤ vu ut

X∞

i=1

|w_n|²+ vu ut

X∞

i=1

|z_n|²

Beweis : Wir zeigen die Konvergenz im Folgenden indem wir Monotonie und Be- schr¨anktheit der jeweiligen Folgen nachweisen.

Aus dem 10. Beispiel der 7. ¨Ubung wissen wir, dass f¨ur alle N ∈Ngilt

XN i=1

wnzn

2

≤ XN

i=1

|wn|²

!

· XN

i=1

|zn|²

!

≤ X∞

i=1

|wn|²

!

· X∞

i=1

|zn|²

! (3)

vu ut

XN i=1

|wn+zn|² ≤ vu ut

XN i=1

|wn|²+ vu ut

XN i=1

|zn|² ≤ vu ut

X∞ i=1

|wn|²+ vu ut

X∞ i=1

|zn|². (4) Wir haben dabei Satz 3.3.5 verwendet und, dass ∀n ∈ N : |wn|²,|zn|² >

0 und damit die Summen in der Mitte damit streng monoton gegen ihre Grenzwerte wachsen. Aus (4) folgt die Konvergenz von P∞

i=1|w_n +z_n|². Ausserdem gilt f¨ur alle N ∈N:

XN i=1

|wnzn| ≤ XN i=1

max{|wn|²,|zn|²} ≤ X∞ i=1

|wn|²+ X∞

i=1

|zn|²

Somit folgt auch die absolute Konvergenz vonP∞

i=1w_nz_n.

Wenn wir nun die Mengel²(C) aller Folgen (zn)_n∈Nbetrachten deren Summe P∞

i=1|z_n|² inRexistiert, wollen wir diese Menge zu einem metrischen Raum machen. Wir definieren daher d: l²×l² →R durch d((wn)_n∈N,(zn)_n∈N)² :=

P∞

i=1|w_n−z_n|². In den n¨achsten Semestern werden Sie feststellen, dass eigentlich

(wn)_n∈N,(zn)_n∈N

:= P∞

i=1w_nz_n ein Skalarprodukt, dieses dann automatisch die Norm ||(zn)_n∈N|| := P∞

i=1w_nw_n = P∞

i=1|w_n|² und dieses wiederum automatisch die Metrik d((wn)_n∈N,(zn)_n∈N), auf der Menge l²(C)

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induziert. (l²(C), d) ist als metrischer Raum vollst¨andig, und (l²(C), < . >) ist vollst¨andiger normierter Vektorraum. Solch ein Raum wird auch als Hil- bertraum bezeichnet.

Dieser Ausblick soll uns jetzt aber nicht zusehr ablenken. Wir begn¨ugen uns zu zeigen:

BH 2: (l², d) ist metrischer Raum.

Beweis : Seien in Folge z= (z_n^′)_n∈N,w= (w_n^′)_n∈N,r= (rn)_n∈N ausl²(C).

d(w, z)≥0 Klar wegen ∀n∈N: |w_n^′ −z_n^′| ≥0

Dreiecksungleichung Hier hilft uns die Minkowski Ungleichung (4). Wir setzen in (4) f¨ur w_n = w^′_n−r_n und z_n=r_n−w^′_n ein und erhalten sofort

d(w, z) = vu ut

X∞

i=1

|w^′_n−r_n+r_n−z^′_n|²≤

≤ vu ut

X∞ i=1

|w^′_n−r_n|²+ vu ut

X∞ i=1

|r_n−z_n^′|² =d(w, r) +d(r, z)