1 L¨ osungen zu Analysis 1/ 12. ¨ Ubung
1.1 Einleitung
Gleichm¨aßige Konvergenz ist eine starke Eigenschaft einer Funktionenfolge.
Formuliert man sie f¨ur Netze, statt f¨ur Folgen so impliziert diese, z.B. in Analogie zu Lemma 6.6.9, falls ein Grenz¨ubergang einer Funktion f(x, y) vonx →x0 gleimchm¨aßig bez¨uglichypassiert und alle iterierten Grenzwerte existieren (wir ben¨otigen hier die vollst¨andigkeit des Bildraumes) gilt:
xlim→x0
ylim→y0
f(x, y) = lim
y→y0
xlim→x0
f(x, y)
Ein Beispiel f¨ur die Anwendung solcher Vertauschungen ist die Berechnung der Ableitung einer reellen Funktiong : R→R. Man stellt den Differenzen- quotienten als Funktion in zwei Variablen dar:
f(x, y) = g(x+y)−g(x)
y .
Will man nun limx→x0
dg
dx(x) ausrechnen, kann man bei gleichm¨aßiger Konver- genz von f(x, y) einfach limy→0f(x0, y) berechnen. Die Gleichm¨aßigkeit ist der Fall, wenn die Funktiongin einer Umgebung vonx0 stetig differenzierbar ist.
Solche Vertauschungss¨atze werden Ihnen in den n¨achsten Semestern implizit oder explizit immer wieder unterkommen.
Die Untersuchung der gleichm¨aßigen Konvergenz einer stetigen Funktionen- folge kann unter Umst¨anden mit Hilfe der Grenzfunktion entschieden werden.
Dazu verwendet man den Satz 6.6.11 aus dem Skriptum, dass die gleichm¨aßige Konvergenz die Stetigkeit erh¨alt.
Liegt also punktweise eine nicht stetige Grenzfunktion vor, konvergiert die Funktionenfolge in keiner Umgebung der Unstetigkeitsstellen gleichm¨aßig.
Andererseits sind die Grenzfunktion und auch fast alle Folgenglieder stetig und beschr¨ankt so konvergiert die Funktionenfolge gleichm¨aßig, gegen die Grenzfunktion. Somit folgt bei einer stetigen Funktionenfolge mit einer, auf einem kompakten Intervall, stetigen Grenzfunktion, die gleichm¨aßige Kon- vergenz auf diesem Intervall.
Ist man sich nicht sicher kann man immer noch das ǫ Kriterium nachpr¨ufen:
F¨ur gleichm¨aßige Konvergenz einer Funktionenfolge fn : (M, d) → (M′, d′) gegen eine Grenzfunktion f lautet es:
∀ǫ >0∃N ∈N ∀x∈M ∀n > N : d′(fn(x), f(x))< ǫ
Im Falle der nicht gleichm¨aßigen Konvergenz negieren wir den logischen Aus- druck und erhalten:
∃ǫ >0∀N ∈N ∃x∈M ∃n > N : d′(fn(x), f(x))> ǫ
1. Beispiel Es ist punktweise und gleichm¨aßige Konvergenz der folgenden Funktionenfolgen zu untersuchen:
(a) F¨ur x∈R sei fn(x) = n2+xn 2.
BH a: Die Funktionenfolge fn ist gleichm¨aßig konvergent gegen die Funktion x7→0.
Beweis : Um die punktweise Konvergenzfunktion berechnet sich f¨ur festesx∈R.
∀x∈R∀n∈N: 0< n
n2+x2 ≤ 1 n
Daraus folgt sofort∀x∈R: limn→∞fn(x) = 0. Ausserdem gilt
∀x∈X ∀ǫ >0 ∃N ∈N∀n > N :
n n2+x2
<
1 n
< ǫ⇔
∀ǫ >0 ∃N ∈N ∀x∈X ∀n > N :
n n2+x2
< ǫ
und damit die gleichm¨aßige Konvergenz.
(b) F¨ur x∈[0,1] seifn(x) = 1+nxnx2.
BH b: Die Funktionenfolge fn konvergiert punktweise gegen f(x) =
1
x :x∈(0,1]
0 :x= 0 . Da die Funktion nicht stetig ist, gilt fn konvergiert nicht gleichm¨aßig auf [0,1].
Beweis : F¨ur allex∈[0,1] und allen∈Ngilt nx
1 +nx2 = x
1 n+x2
Wir k¨onnen also vorerst f¨ur festes x 6= 0 und den Rechenregeln f¨ur Folgen schreiben limn→∞ x
1
n+x2 = x
limn→∞(1n)+x2 = x1. Im Falle x = 0 gilt f¨ur alle n∈N,fn(x) = 0. Daher gilt dort limn→∞fn(0) = 0.
Die punktweise Grenzfunktion ergibt sich also zu limn→∞fn(x) = f(x) =
1
x :x6= 0
0 :x= 0 . Wir sehenf(x) ist an 0 nicht stetig, da limx→0+ 1 x =
∞. Die Divergenz gegen ∞erkennt man schnell aus der Tatsache, dass f(x) auf (0,1) monoton fallend ist, also x < y ⇒ f(x) > f(y) gilt, und die Folge f(n1) = n gegen ∞ konvergiert. Somit folgt mit der Erkenntnis der Einleitung, dass die Funktionenfolge nicht gleichm¨aßig konvergiert.
Wenn man den Beweis direkt mit dem ǫKriterium f¨uhren will findet man f¨ur ǫ = 12 und beliebiges N ∈ N die Stelle y = N1+1, sodass f¨ur n=N+ 1 gilt 1y − 1y
n+y2 = (N+1)N+22 > 12 =ǫ.
4. Beispiel Man zeige mit Hilfe der Potenzreihendarstellung von exp einige Eigenschaften f¨ur beliebiges n ∈N.
BH 1: limx→+∞exp(x)
xn = +∞
Beweis : F¨ur den Grenz¨ubergang sind nurxaus einer Umgebung wichtig wir schr¨anken uns dabei auf x∈R+ ein. Wir sch¨atzen ab f¨urx >0:
exp(x) xn = 1
xn
∞
X
i=0
xi i!
xkonst
=
n
X
i=0
1
xn−ii!+ x (n+ 1)!+
∞
X
i=n+2
xi−n
i! ≥ x
(n+ 1)!
da alle auftretenden Summanden postiv sind. Damit gilt limx→+∞exp(x) xn ≥ limx→+∞ x
(n+1)! = +∞.
BH 2: limx→−∞xnexp(x) = 0
Beweis : Es gilt f¨urx <0 die Beziehung x=−|x|und damit
x→−∞lim xnexp(x) lim
x→−∞(−1)n|x|nexp(−|x|) = lim
x→∞(−1)nxnexp(−x) Da aber laut Skriptum Satz 6.8.3 exp(−x) = exp(x)1 und (siehe Seite 101) limx→x0f(x) =a⇒limx→x0
1
f(x) = a1 auch f¨ura= +∞ gilt, folgt:
x→∞lim(−1)nxnexp(−x) = 1
(−1)nlimx→∞exp(x) xn
= 0
BH 3: limy→0+y(lny)n = 0
Beweis : Da f¨ur den rechtsseitigen Grenzwert nur positiveyrelevant sind, k¨onnen wir die Bijektivit¨at von exp : R→R+ ausn¨utzen und f¨ur alle y ein eindeutiges x finden, sodassy= exp(x) gilt.
Wir schreiben mit ln = exp−1 und exp(x)→0⇔x→ −∞:
y→lim0+y(lny)n= lim
exp(x)→0+exp(x)(ln exp(x))n= lim
x→−∞exp(x)xn= 0 nach Behauptung 2.
9. Beispiel Sei P der Raum der 2π periodischen Funktionen von R → C und T der eindimensionale Torus, also der Einheitskreis in der komplexen Ebene. Mit C(T,C) bezeichnen wir die stetigen Funktionen von T nachC. Es ist schnell nachzupr¨ufen, dass P und C(T,C) Vektorr¨aume sind, wenn man Addition und Skalarmultiplikation punktweise erkl¨art.
Wir wollen den Zusammenhang zwischen den beiden Vektorr¨aumen studie- ren. Ja wir wollen sogar zeigen, dass die beiden Vektorr¨aume isomorph sind.
Wir geben zuerst eine Beweisskizze: Der wesentliche Punkt dieses Beispiels ist, dass die Abbildung x 7→ expix ein Homeomorphismus von (0,2π) in den Einheitskreis ohne den Punkt 1 + 0i ist. Diese Abbildung ist aber stetig auf ganz R also auch insbesondere auf [0,2π). Andererseits kann man die Zusammensetzung der Umkehrabbildung mit einer Funktion f aus P stetig auf T fortgesetzen, da f(0) =f(2π) gilt.
Wir werden jedoch nur beweisen, dass die Zusammensetzung der Umkehr- funktion exp−1 mit einer Funktion aus Pauf ganz T stetig ist.
Hat man das erreicht ist das Beispiel gel¨ost, denn wir setzen zusammen:
Sei f ∈ P und exp−1 : T → [0,2π) die Umkehrabbildung, dann gilt f = f◦exp−1◦exp ist stetig undf◦exp−1entspricht dem eindeutigeng ∈C(T,C).
Umgekehrt gilt f¨ur ein gegebenes g, dass g =g ◦exp◦exp−1 stetig und das eindeutigef ∈Pgegeben durchf =g◦exp ist. Die Zuordnungφ : g 7→g◦exp ist ein Homomorphismus der beiden Vektorr¨aume, da offensichtlich gilt
φ(g+h) = (g+h)◦exp =g ◦exp +h◦exp und
φ(λh) = (λh)◦exp =λh◦exp
Die ausgesparten Beweisdetails werden nochmals in einen lesbaren Beweis zusammengefasst:
Beweis : Wie aus der Vorlesung bekannt bildet exp(it) die Menge R stetig auf T = {z ∈C :|z|= 1} ab. Schr¨ankt man exp(it) auf t∈ [0,2π) ein, so ist diese Funktion dann sogar bijektiv.
Ist nun f : T→ C stetig, so ist auch g :R → C mitg(t) := f(exp(it)) als Zusammensetzung stetiger Funktionen stetig. Auerdem folgt aus
exp(it+ 2iπl) = exp(it) f¨urt∈R, l∈Z, dassg 2π-periodisch ist.
Nun sei umgekehrt g : R → C stetig und 2π periodisch. Wir suchen ein f :T→Cmitg(t) :=f(exp(it)).
Ist z ∈T, so gibt es ein eindeutiges t∈ [0,2π) mit exp(it) = z. Wir setzen f(z) :=g(t), und erhalten damit eine Funktion f :T→C mitf(exp(it)) = f(z) =g(t) f¨ur alle t∈[0,2π).
Wir wollen nun noch zeigen, dass f bei allen z ∈Tstetig ist. Dazu gen¨ugt es, zn →z ⇒f(zn) → f(z) f¨ur jede Folge (zn) in Tnachzuweisen. Sei also (zn) eine gegen z konvergente Folge aus T. Um f(zn) → f(z) zu zeigen, gen¨ugt es nach Bemerkung 3.2.11 zu zeigen, dass jede Teilfolge (f(zn(l)))l∈N
von (f(zn))n∈N wiederum eine Teilfolge (f(zn(l(k))))k∈N hat, die gegenf(z) konvergiert.
Sei also (f(zn(l)))l∈N eine Teilfolge. Nun sei tn(l) die eindeutige Zahl aus [0,2π), sodass exp(itn(l)) = zn(l). Da [0,2π] kompakt ist, gibt es eine gegen ein t ∈ [0,2π] konvergente Teilfolge (tn(l(k)))k∈N von (tn(l))l∈N. Wegen der Stetigkeit von t7→exp(it) folgt
zn(l(k))= exp(itn(l(k)))→exp(it) f¨urk→ ∞.
Andererseits konvergiert (zn(l(k)))k∈Ngegenz. Also folgtz= exp(it). Wegen der Stetigkeit von g folgt auerdem
f(zn(l(k))) =g(tn(l(k)))→g(t) f¨urk→ ∞.
Ist t ∈ [0,2π), so folgt aus der Definition von f, dass f(z) = f(exp(it)) = g(t). Istt= 2π, so folgt wegenz= exp(it) = 1 und wegen der 2π-Periodizit¨at
f(z) =f(1) =f(exp(i0)) =g(0) =g(2π) =g(t).
In jedem Fall konvergiert (f(zn(l(k))))k∈N gegenf(z).
