Lösung Übung 4.1) 2222r2h

2

2

2 2

r 2 h

Max V mit V = r h ndN. 2 r(r+h) = 600 r +rh-300 = 0

L = h - (r rh-300) Max!

L' 2 rh (2 + h) = 0 (1) =2 rh 2r+h

L' 0

r

r

r r

π π π

→

π λ + →

= π − λ → λ π

= π − λ = ²

2

2

2 2 2

(2) = r

L' ( rh 300) 0 (1=2) Gleichsetzen: 2 rh 2r+h

Auflösen nach h: 2rh = 2r rh h = 2r in (3) in (3) einsetzen: r 2r 300 r

r r

r r

λ

→ λ π = π

= − + − = π = π

+

+ = → 100 r = 10 h = 20 =10

Vmax = 100 20 = 2000

= → → → λ π

π ⋅ ⋅ π

( )

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

2

1 1

2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

x1 1 2 1 2

x 1 2 1 2

1 2

Min K = 4x x ndN x x 10

L = 4x x x x 10 Min!

(1) L' 4 1x x 0 8x x

2

2) L' 1 1x x 0 2x x

2

3) L' -(x x 10) 0

− −

− −

λ

+ =

+ − λ − →

= − λ ⋅ = → λ =

= − λ ⋅ = → λ =

= − = ₁¹² ₂ ¹² ₁ ¹² ₂¹² _{2 1}

1 1 1 1 2

min

8x x 2x x x 4x in(3)

5 5

x 4x 10 0 2x 0 x 5 x 20 = 8 = =4 20 20

K 4 5 20 40

− −

→ = → =

− = → = → = = λ

= ⋅ + =

Lambda = 4 bedeutet, dass für jede EH, die mehr produziert wird die Kosten um 4 EH steigen.

Einfacherer Rechenweg:

1

2

1 2 1 2

1 2 1 2

x 2

2

x 1

1

1 2 1 2

2 1

Min K = 4x x ndN x x 100

L = 4x x (x x 100) Min!

(1) L' 4 - x 0 = 4 x

2) L' 1 - x 0 1

x

4 1

3) L' x x 100 gleichsetzten: 4x x E

x x

λ

+ =

− − λ ⋅ − →

= λ = → λ

= λ = → λ =

= − → = → =

2 2

1 1 1 2

min

insetzen 4x 100 x 25 x 5 x 20 = 1

5

K 4 5 20 40

= → = → = = λ

= ⋅ + =

2 2

x y

2 2

L = 3 - x - y - (4x3 4y 9) 4

(1) L' = -3 8 x = 0 4

(2) L' 1 8 0

(3) L' (4x 4y 9) 0

9 6

Prüfen, ob ( ; ) die Bedingung I-III erfüllt.

10 5

81 36 81 144 225

III.: 4 4 9 0 0

100 25 25 25 25

I.

y

λ

λ + −

− λ

= − − λ =

= − + − =

⋅ + ⋅ − = + − =

3 9 72 3 5

: - 8 0

4 10 10 4 48

in II: -1+8 5 6 0 1=1

48 5

ja, Punkt 9 6; kann ein Extremwert sein 10 5

− λ ⋅ = → λ = − → λ = −

⋅ ⋅ =

 

 

 

Lösung Übung 4.4)

a)

2 2

3 3

y = 6 - x f(x) = x 2x (6- x) = -2x 12x

2 2

f '(x) = - 4x + 12 = 0 x = 3

f ''(x) = 4 f''(3) = -4 0 rel.Max. bei x = 3; y =3 2

→ + +

→

→ ≤ →

4 2

1 2 1 2

2 2 2

4 4

1 2 1 1 2

2

1 2 1 2 1 2

1 2

2

a) f(x , x ) 2 x x

Isohöhenlinie: 2 x x 2 x x 1 x x 1

b) K(x , x ) x 2x 5 Min! udN x x 1

x = 1 x K

=

= → = → =

= + + → =

2 2 2

2

3 3

2 3 2 2 2 1

2

2 4 min

2

(x ) 1 2 5

x

K'(x ) 2 2 0 2x 2 x 1 x 1 x

x

K''(x ) 6 K''(1) = 6 0 Min! K 8

x

= + x +

= − + = → = → = → = =

= → ≥ → =

2 2 2 x

y

2

(0) L = x y (x+y+2) - (x 4)

(1) L' 2x - - 2x 0

(2) L' 2 0

(3) L' (x+y+2) 0 (4) L' (x +y-4 = 0

y y

λ

+ − λ µ + −

= λ µ =

= − λ − µ =

= − =

µ = −

Wenn keine Punkte vorgegeben sind, dann kann man diese folgendermaßen berechnen:

2

1/2

1 2

aus 3: y x -2

1 1 24 1 5

in 4: x -x -6 =0 x

2 4 6 2 2

x 3 und x 2

= −

→ = − ± + = − ±

= = −

Da die Punkte aber angegeben sind, braucht man sie nur einzusetzen:

x y

Punkt L' L' L' L'

( 1,1) -- -- 2=0 4=0 kein Extrema (3;-5) +6 = 6 + =

λ µ

− →

λ µ λ µ -10 0=0 0=0

(-2;0) -4 4 + = 0 0=0 0=0

16 66

zu Punkt (3;-5): = -10- 10 6 6 5 =16 = 1=-

5 5

kann Extremwert sein

zu Punkt (-2; 0): = -

λ µ = − λ µ

λ µ → − − µ + µ = µ → µ

λ µ 4 4

-4 4

5 5

µ = − → µ = → λ = −

2 2

x x

y y

a) f(x,y) = 2x 3xy 2y ax + by c

f' 4x - 3y + a = 0 f' (2; 1) 8 3 a 0 a = -11

f' 3x 4y b 0 f' (2; 1) 6 4 b 0 b 10

f(;-1) = 0 8 6 2 22 10 c = 0 c = 16

b) f(x,y

− + + +

= − = + + = →

= − + + = − = − + = → =

→ + + − − + →

( ) ^{( )} ( ) ( )

2 2

2 2 2

2 2

x 2 2 y 2 2

2 2 2 2 2 2

2y 2x

xx 2 2 2 x y yy 2 2 2 2 2

2 2 2

xx yy

) = ln(x y )

2x 2y

f' f'

x y x y

2(x y ) 2x 2x 2(x yy ) 2y 2y 2x 2y

f'' f'' = =

x y

x y x y

2y 2x 2x

f'' +f'' =

− +

+

= =

+ +

+ − ⋅ − − −

= =

+ + +

− +

( ) ( )

2

2 2

2 2 2 2

2y 0

= = 0

x y x y

−

+ +