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FernUNI Hagen WS 2002/03
Fernstudienzentrum Ffm Übung 2 Lsg.doc
Mathematik II für WiWi’s (Kurs 0054) Mentorin: Stephanie Schraml
Lösung Übung 2.1
1 2
8 8
4 4
a) x-4 dx (x 4) dx Sub.: z = x - 4
z z
1 x
x 1
= −
∂ ∂
= = ∂
∂
∫ ∫
Umrechnen der Grenzen: Untere Grenze wird zu 4 - 4 = 0 Obere Grenze wird zu 8 - 4 = 4
Die Grenzen müssen immer dann verändert werden, wenn man nicht mehr rücksubstituieren möchte.
3 3
1
2 2 2
4 0
2 4 2 2 3
= z dz = z 4 0
0
3 3 3 2
2 2 16
= 64 8
3 3 3
= −
= ⋅ =
∫
( ) [ ]
0 II II
0 0
b) A = sin x dx sin x dx 2 sin x dx = 2 -cos x II 2 ( 1) (1) 2 2 4
0
⋅ΙΙ
+ =
⋅ = ⋅ − − + = ⋅ =
∫ ∫ ∫
Lösung Übung 2.2
Eine Stammfunktion meint eine beliebige, es wird also kein c benötigt, da dieses die Summe der Stammfunktionen umfaßt.
2 x
1
3 xa) (1) F(x) = x dx - e dx = x e 3
(2) F(x) = x sin x dx part.Int.: v = f(x) = x u' =g'(x) = sin x u v'
−
⋅
⋅
∫ ∫
∫
x2 2 2
v' = f'(x) = 1 u = g(x) = - cos x = - x cos x + cos x dx = uv- uv'
= -x cos x + sin x
b) F(x) = 2xe
+dx Sub.: z = x +
∫ ∫
∫
]
2
z z
x 2 x
2 3 3 3
0
2
dz dz
= 2x dx =
dx 2x
F(z) = e dz = e c F(x) = e c
c) F(x) = (3t 10)dt = t 10 t x x 10x - (0 - 0) = x 10x 0
+
→ +
+
− − = − −
∫
∫
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Mathematik II für WiWi’s (Kurs 0054) Mentorin: Stephanie Schraml
Lösung Übung 2.3
( )
6 6 -6 7 -5 7
6 5
4 2
1 1 1 1 1
a) x dx = x x dx = x x c = x c
7 5 7
x 5x
b) 3 x-2 dx Sub.: z = x - 4 dz = dx Grenzen:
+ + − + − +
→
∫ ∫
∫
1 2
2 2
0 0
3 3
2 2
32
4 - 2 = 2 oben und 2 - 2 = 0 unten 3 z dz 3 t dz
2 2
= 3 2 z = 2 z
0 0
3
= 2 2 0 2 8
=
⋅ ⋅
⋅ − = ⋅
∫ ∫
Lösung Übung 2.4
[ ]
2 3 2
2
3 2 4 3 2
0
2 2 2
2 2
-1 1 1
3 2
a) F(x) = 3x 2x + 1dx = x x x
1 1 1 2
F(x) = x x x dx = x x x
0
4 3 2
8 10
= 4 - 2 0
3 3
b) A = f(x)-g(x) dx x 1 x-3dx x x-2 dx
1 1 2 8
= x - x -2x 1 3
3 2
− −
− − +
− + − +
+ − =
= + − = −
=
−
∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
1-x
z z 1-x 1
1 1
2 4 2 4,5 4,5
3 2
c) e dx Sub. z = 1 - x dz 1 dx = -dz dx
- e dz e c e dx e
−xc
− − − − − + = − =
= − →
= − + → = − +
∫
∫ ∫
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Mathematik II für WiWi’s (Kurs 0054) Mentorin: Stephanie Schraml
Lösung Übung 2.5
32
32
12
3
2 3
0 2II
0
a) F(x) = 3-x dx Sub.: z = 3 - x dz = -dx F(z) = - z dz = - 2 z
3 F(x) = - 2 (3-x)
3
1 3
b) (x 3) dx x 3x (9 9) (0 0) 0
0 3
x x 2II
sin dx = -4 cos 0 ( 4 1) 4
0
4 4
→
− = − = − − − =
= − − ⋅ =
∫
∫
∫
∫
Lösung Übung 2.6
x x
x x x
x x
a) (i) F(x) = xe dx part.Int. u=f(x) = x v'=g'(x) = e = xe e dx u'=f'(x) = 1 v =g(x) = e = xe e
(ii) F(x) = 2x cos
−
−
∫
∫
2 2
2
(x ) dx Sub. z = x dz 2x dx F(z) = cos zdz = sin z dx = dz
2x F(x) = sin (x )
→ =
∫
∫
12
2
2 2
0
9 9
1 1
b) 6x 2x 1 dx Sub.: z = 2x 1
dz dz
4x dx =
dx 4x
6 3
z dz = z dz G
4 2
+ +
= →
∫
∫ ∫
32 3 3
2 2
renzen: oben: 8+1 = 9 unten: 0+1 = 1
3 2 9
= z 9 1 26
1 2 3
⋅ = − =
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Mathematik II für WiWi’s (Kurs 0054) Mentorin: Stephanie Schraml
Lösung Übung 2.7
2 6 2
6 7
2 7
a) 14x(3-x ) dx Sub.: z = 3-x
dz dz
F(z) = -7 z dz z 2x dx =
dx -2x
F(x) = -(3-x )
= − = −
∫
∫
2 x 2 x
b) x e dx part. Int.: f(x) = x g'(x) = e f'(x) = 2x
∫
x
2 x x x
g(x) = e = x e -2 xe dx part. Int.: f(x) = x g'(x) = e f'(x) = 1
∫
x
2 x x x
2 x x x
g(x) = e = x e 2 xe e dx
= x e 2xe 2e c
− −
− + +
∫
] ]
2
0 0 0
x
2 3 2 3 2
v 0
3 2
v f
c) NS bei daher:
sin x dx sin x dx 2 sin x dx = 2 (-cos x) 2 (1 1) 4 0
d) K (x) = 3t 4t + 6) dt = t 2t 6t x x 2x 6x
0
K(x) = K (x) + K x 2x 6x + 10
π π π
π →
+ = π = ⋅ + =
− − + = − +
= − +
∫ ∫ ∫
∫
Lösung Übung 2.8
2x
z z
2x 2x
2x 2x
2x 2x
dz dz
a) e dx z = 2x 2 dx =
dx 2
1 1
e dz = e c
2 2
e dx = e 1 c 2
b) 5xe part.Int.: f(x) = 5x g'(x) = e
5 5
xe - e dx
2 2
= → +
+
=
∫
∫
∫
∫
∫
3 1
2 2
2x
2x 2x 2x
4 4
3 16 3
0 0
