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Mathematik und
Informatik
Lehrgebiet Kooperative Systeme Bachelorarbeit
Kapazitätsgebundene Voronoi-
Diagramme auf endlichen Mengen
Fakultät für Mathematik und Informatik Lehrgebiet Kooperative Systeme
Bachelorarbeit
Kapazitätsgebundene Voronoi-Diagramme auf endlichen Mengen
Christopher Lutz Mat.-Nr. 3007995 29. November 2017
Betreuer: Prof. Dr. Christian Icking
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Motivation . . . 1
1.2 Beschreibung und Abgrenzung des Themas . . . 4
1.3 Aufbau der Arbeit . . . 5
2 Grundlagen 7 2.1 Topologie . . . 7
2.2 Voronoi-Diagramme auf offenen Mengen . . . 9
2.3 Voronoi-Diagramme auf endlichen Mengen . . . 11
2.4 Schwerpunkt-Voronoi-Diagramme . . . 13
2.5 Gewichtete Voronoi-Diagramme . . . 16
2.6 Poisson-Disk-Verteilungen . . . 18
3 Kapazitätsgebundene Voronoi-Diagramme 21 3.1 Problembeschreibung . . . 21
3.2 Kapazitätsgebundene power diagrams . . . 23
3.3 Einfügeverfahren nach Aurenhammer et. al. . . 26
3.3.1 Algorithmus . . . 26
3.3.2 Laufzeit-/Speicherplatzanalyse . . . 29
3.3.3 Lineare Optimierung der Gewichte . . . 30
3.4 Tauschverfahren nach Balzer et. al. . . 32
3.4.1 Algorithmus . . . 32
3.4.2 Verbesserungen und Laufzeit-/Speicherplatzanalyse . . . 36
3.5 Anwendungen von kapazitätsgebundenen power diagrams . . . 38
3.6 Variationen . . . 40
3.6.1 Gesamtkapazität weicht von Größe der Punktmenge ab . . . 40
3.6.2 Punkte mit nicht-gleichförmigen Dichtewerten . . . 43
3.6.3 Andere gewichtete Distanzfunktionen . . . 44 iii
3.7 Erzeugung von Poisson-Disk-Verteilungen. . . 45
3.7.1 Problembeschreibung . . . 45
3.7.2 Kapazität bei nicht-gleichförmiger Dichte . . . 45
3.7.3 Algorithmus . . . 47
3.7.4 Anpassung an Dichtefunktion . . . 49
3.7.5 Eigenschaften der Punkteverteilung nach Balzer et. al. . . 50
3.7.6 Laufzeit-/Speicherplatzanalyse . . . 54
4 Das Programm Ccvt 57 4.1 Zielsetzung . . . 57
4.2 Implementierung . . . 58
4.2.1 Aufteilung der Programmteile . . . 58
4.2.2 Ccvt.html und Ccvt.css . . . 58
4.2.3 Modul clDebug.js . . . 59
4.2.4 Modul clGeometry.js. . . 59
4.2.5 Modul clSampler.js . . . 59
4.2.6 Modul clAlgorithms.js . . . 60
4.2.7 Modul clVoronoi.js . . . 60
4.2.8 Modul clSvg.js . . . 61
4.2.9 Modul clVoronoiGraphics.js . . . 61
4.2.10 Modul clApplication.js . . . 62
4.3 Benutzerführung . . . 63
4.3.1 Überblick . . . 63
4.3.2 Der Canvas . . . 63
4.3.3 Panel »Aktion« . . . 64
4.3.4 Panel »Info«. . . 65
4.3.5 Panel »Punkte« . . . 65
4.3.6 Panel »Orte« . . . 66
4.3.7 Panel »Algorithmus« . . . 67
4.3.8 Panel »Darstellung« . . . 67
4.3.9 Panel »Datei« . . . 68
4.3.10 Datei-Format . . . 68
Literaturverzeichnis 73
Abbildungsverzeichnis
1.1 Arztpraxen mit unbegrenzter Kapazität . . . 1
1.2 Arztpraxen mit begrenzter Kapazität . . . 3
2.1 Voronoi-passende Ortszuordnung mit Punkten auf Bisektor . . . 12
2.2 Lage des Bisektors impower diagram . . . 17
2.3 Spektrale Analyse . . . 20
3.1 Invarianz unter Verschiebung und Skalierung . . . 24
3.2 Verfahren nach Aurenhammer et. al. . . 29
3.3 Verfahren nach Balzer et. al. . . 35
3.4 Point matching . . . 41
3.5 Vorgegebene Gesamtkapazität weicht von Anzahl der Punkte ab . . . 42
3.6 Modifiziertes Tauschverfahren mit gleichmäßiger Dichtefunktion . . . 48
3.7 Einfluss der Anfangsposition der Orte auf das Endergebnis . . . 49
3.8 Anpassung an Dichtefunktion . . . 50
3.9 Verfahren von Lloyd und Balzer et. al.: Spektrale Eigenschaften. . . 51
3.10 Verfahren von Lloyd und Balzer et. al.: Anpassung an Dichtefunktion . . . 53
4.1 Benutzeroberfläche . . . 63
4.2 Panel »Aktion« . . . 64
4.3 Panel »Info« . . . 65
4.4 Panel »Punkte« . . . 65
4.5 Panel »Orte« . . . 66
4.6 Panel »Algorithmus« . . . 67
4.7 Panel »Darstellung« . . . 67
4.8 Panel »Datei« . . . 68
4.9 Beispiel JSON-Datei . . . 70
v
1.1 Arztpraxen: Behandlungsstunden und Patienten pro Woche. . . 2
3.1 Arztpraxen: Gesamtkapazität ist niedriger als Anzahl der Patienten . . . . 42
3.2 Arztpraxen: Gesamtkapazität ist höher als Anzahl der Patienten . . . 43
3.3 Laufzeit des modifizierten Tauschverfahrens bei verschiedenen Optimierungen 55
Algorithmenverzeichnis
2.1 Algorithmus von Lloyd . . . 153.2 Einfügeverfahren nach Aurenhammer et. al. . . 27
3.3 Tauschverfahren nach Balzer et. al. . . 33
3.4 Tauschverfahren mit Verbesserung nach Li et. al. . . 36
3.5 Erzeugung von Poisson-Disk-Verteilungen nach Balzer et. al., »modifiziertes Tauschverfahren« . . . 47
vi
Kapitel 1 Einleitung
1.1 Motivation
Voronoi-Diagramme gehören zu den fundamentalen mathematischen Strukturen, die nicht nur in der Algorithmischen Geometrie, sondern auch in zahlreichen anderen wissenschaft- lichen Bereichen Anwendung finden.
Zur Veranschaulichung sei ein Beispiel gegeben.
Beispiel 1 (Arztpraxen mit unbegrenzter Kapazität)
Die Abb.1.1 zeigt eine Landkarte, auf denen mehrere Arztpraxens1, . . . , s5 eingezeichnet sind. Durch farbige Punkte sind die Wohnorte von Patienten dargestellt. Es sei vereinfa- chend angenommen, dass in allen Arztpraxen die gleiche medizinische Behandlung zum gleichen Honorar angeboten wird. Aus Sicht des Patienten wird daher die Arztpraxis
s
2s
5s
1s
3s
4x
1x
2Abbildung 1.1: Arztpraxen mit unbegrenzter Kapazität
1
mit dem kürzesten Anreiseweg bevorzugt. Die Weglänge sei durch die »Luftlinie«, also den euklidischen Abstand zwischen Wohnort und Praxis gegeben (dies stellt eine weitere Vereinfachung gegenüber realen Gegebenheiten dar).
Dann kann die Landkarte derart in Gebiete aufgeteilt werden, so dass alle Patienten, die im gleichen Gebiet wohnen, jeweils die gleiche nächstgelegene Arztpraxis haben. Die zugeordnete Praxis ist an der Farbe zu erkennen. Der Punkt x1 liegt »auf der Kante«
zwischen den Gebieten und hat zwei nächstgelegene Ärzte. Dort, wo die Gebiete von drei Gebieten aneinanderstoßen (z. B. bei Punkt x2), gibt es sogar drei Arztpraxen zur Auswahl. Für jeden einzelnen Patient ist der Weg zum Arzt minimal und somit ist auch die Gesamtsumme der Wege optimal.
In der Terminologie des Voronoi-Diagrammes stellen die Patienten diePunkte dar, welche den Orten – also den Arztpraxen – zugeordnet werden. Die den Orten zugeordneten Gebiete sind dieVoronoi-Regionen. Über dieDistanzfunktion – in dem gewählten Beispiel ist das die euklidische Metrik – wird festgelegt, welches der zu einem Punkt nächstgelegene Ort ist. Eine gemeinsame Kante von Voronoi-Regionen zweier Orte wird Voronoi-Kante genannt. Wenn drei oder mehr Kanten von Voronoi-Regionen aufeinandertreffen, bilden sie einen Voronoi-Knoten.
Neben den bereits erwähnten Vereinfachungen wird jedoch in Beispiel1ein weiterer wichti- ger Aspekt außer acht gelassen: In einer Arztpraxis können nicht beliebig viele Patienten behandelt werden. Eine Behandlung benötigt Zeit und die personellen Ressourcen der Praxen sind begrenzt. Dieser Umstand wird im nächsten Beispiel betrachtet.
Beispiel 2 (Arztpraxen mit begrenzter Kapazität)
Es seien die gleichen Arztpraxen s1, . . . , s5 wie im ersten Beispiel gegeben. Zusätzlich sei angenommen, dass die Arztpraxen unterschiedlich lange Öffnungszeiten haben und auch mit unterschiedlich vielen behandelnden Ärzten besetzt sind. Die Praxis s1 ist nur an drei Tagen in der Woche besetzt und die Praxen s2 und s3 haben die für Ärzte üblichen Arbeitszeiten (3 ganze und 2 halbe Arbeitstage). Die Praxen s4 und s5 sind Gemein- schaftspraxen mit 2 bzw. 3 behandelnden Ärzten. Als durchschnittliche Behandlungszeit pro Patient werden 12 Minuten veranschlagt, d. h. es können 5 Patienten pro Stunde be- handelt werden. Die Tabelle 1.1 zeigt für jede Arztpraxis die Anzahl der wöchentlichen Behandlungsstunden und die Anzahl der Patienten, die in dieser Zeit behandelt werden können.
Praxis s1 s2 s3 s4 s5 Σ
Behandlungsstunden 20 33 33 57 70 213
Patienten 100 165 165 285 350 1065
Tabelle 1.1: Arztpraxen: Behandlungsstunden und Patienten pro Woche
Es seien die Wohnorte der 1065 Patienten, die in einer Woche behandelt werden können, wie in Beispiel 1 auf der Landkarte verteilt. Nun sollen die Patienten so den Arztpraxen zugeordnet werden, dass in jeder Praxis genau so viele Patienten behandelt werden, wie es die verfügbaren Behandlungsstunden zulassen. Unter dieser Bedingung ist es nicht möglich, dass alle Patienten dem aus ihrer Sicht nächstgelegenem Arzt zugeordnet werden.
Es soll aber dennoch die Gesamtsumme aller Wege minimiert werden.
1.1. MOTIVATION 3 Aus dieser Aufgabenstellung ergibt sich eine Zuordnung der Patienten gemäß Abb. 1.2.
Es sind wiederum die Kanten des Voronoi-Diagramms aus Beispiel 1 eingezeichnet und es ist zu erkennen, dass sich die Zuordnung der Patienten zu den Ärzten verändert hat. Ein Teil der Patienten ist nicht mehr dem nächstgelegenem Arzt zugeordnet, sondern einem anderen Arzt. Die Praxens4 und s5 haben die größte Kapazität an Behandlungsstunden, deshalb sind ihnen auch die meisten Patienten zugeordnet. Insbesondere fällt auf, dasss1 – die Praxis mit der geringsten Zahl an verfügbaren Behandlungsstunden – umgeben ist von Patienten, die s5 zugeordnet sind.
s
2s
5s
1s
3s
4Abbildung 1.2: Arztpraxen mit begrenzter Kapazität
Die in Abb. 1.2 vorgenommene Zuordnung von Punkten zu Orten soll als ein kapazitäts- gebundenes Voronoi-Diagramm bezeichnet werden.
Von zentraler Bedeutung in dieser Arbeit ist der Begriff der Kapazität. Bei einer gege- benen Zuordnung von Punkten zu Orten sei die tatsächliche Kapazität eines Ortes die Anzahl der diesem Ort zugeordneten Punkte. Als Kapazitätsbedingung sei eine Funkti- on bezeichnet, die jedem Ort einen ganzzahligen Wert größer oder gleich Null zuweist, die vorgegebene Kapazität. Ist eine Zuordnung von Punkten zu Orten derart, dass für alle Orte die tatsächliche Kapazität mit der vorgegebenen Kapazität übereinstimmt, so wird dies als dieErfüllung der Kapazitätsbedingung bezeichnet. Unter allen Zuordnungen, die die Kapazitätsbedingung erfüllen, sind es genau die kapazitätsgebundenen Voronoi- Diagramme, die die Gesamtsumme der Distanzen zwischen den Punkten und den ihnen jeweils zugeordneten Orten minimieren.
Dass kapazitätsgebundene Voronoi-Diagramme oft in der »realen Welt« vorkommen, sol- len zwei weitere Beispiele demonstrieren.
Beispiel 3 (Einschulung von Kindern)
Die schulpflichtigen Kinder eines Jahrgangs sollen so auf die umliegenden Schulen verteilt werden, dass die Summe aller Schulwege minimiert wird. Gleichzeitig hat jede der Schulen auch nur eine begrenzte Zahl an Räumlichkeiten und Lehrern, so dass nicht beliebig viele Schüler aufgenommen werden können.
Beispiel 4 (Müllverbrennungsanlagen)
Der private und gewerbliche Müll wird von Müllfahrzeugen zu Müllverbrennungsanlagen gebracht, in denen pro Tag eine begrenzte Menge Müll verbrannt werden kann. Es sollen die Summe der Wege der Müllfahrzeuge optimiert werden und gleichzeitig das Fassungs- vermögen der Müllverbrennungsanlagen nicht überschritten werden.
In Kapitel 3 werden weitere Anwendungsmöglichkeiten von kapazitätsgebundenen Voronoi- Diagrammen erläutert.
1.2 Beschreibung und Abgrenzung des Themas
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit kapazitätsgebundenen Voronoi-Diagrammen und beschreibt ihre Definition, wichtige Eigenschaften und Algorithmen zu ihrer Berechnung.
Grundlage dieser Arbeit sind ein Artikel von Aurenhammer et. al. [2] und zwei Artikel von Balzer et. al. [6,7].
Aurenhammer et. al. [2] beschreiben ein Verfahren, wie in einem power diagram – einem gewichtetem Voronoi-Diagramm – die Gewichte so gewählt werden können, dass für eine vorgegebene Menge von Orten und Punkten die Kapazitätsbedingung erfüllt wird. Dazu wird von einem gültigen leeren power diagram ausgegangen, in das die Punkte einzeln eingefügt werden. Nach jedem Einfügen werden die Gewichte so angepasst, dass jeder Ort die vorgegebene Kapazität entweder unterschreitet oder genau erfüllt, aber nicht überschreitet. Nach dem Einfügen aller Punkte ist die Kapazitätsbedingung erfüllt. Dieses inkrementelle Verfahren wird nachfolgend als das Einfügeverfahren bezeichnet.
Balzer et. al. [6] verzichten auf die explizite Berechnung der Gewichte und gehen statt- dessen anders vor: Es wird zunächst eine Zuordnung von Punkten zu Orten gefunden, die die Kapazitätsbedingung erfüllt. Anschließend werden iterativ zwischen jeweils zwei Orten die zugeordneten Punkte ausgetauscht, bis schließlich die Summe aller Distanzen minimiert ist und so ein kapazitätsgebundenes Voronoi-Diagramm entsteht. Unter Be- rufung auf die Ergebnisse von Aurenhammer et. al. stellen Balzer et. al. fest, dass dieses Verfahren – nachfolgend das Tauschverfahren genannt – tatsächlich das globale Minimum der Gesamtdistanzen erreicht. Das Tauschverfahren zeichnet sich durch eine besonders flexible Struktur aus und ist leicht zu implementieren.
Als Anwendung untersuchen Balzer et. al. [7], wie durch eine Modifizierung des Tausch- verfahrens eine Punkteverteilung in der Ebene (auch Poisson-Disk-Verteilung genannt) erzeugt werden kann, die besonders günstige Spektraleigenschaften aufweist und sich gut an eine vorgegebeneDichtefunktion anpasst. Dieses Verfahren soll hier als dasmodifizierte Tauschverfahren bezeichnet werden, es steht in Konkurrenz zu dem bekannten Algorith- mus von Lloyd.
1.3. AUFBAU DER ARBEIT 5 In dieser Arbeit werden kapazitätsgebundene Voronoi-Diagramme untersucht, bei denen die Menge der Punkte, die den Orten zugeordnet werden, endlich sind. Punkte und Orte werden dabei i. d. R. aus Rk sein, ein Teil der Untersuchungen setzt die Obermenge R2 voraus.
Hier nicht weiter untersucht wird der Fall, dass die Punktmenge eine (abzählbar oder überabzählbar) unendliche Menge bildet (wie z. B.Rkoder einer offenen Teilmenge davon).
Für eine derartige Untersuchung sei der Leser auf die entsprechenden Teile der Arbeit von Aurenhammer et. al. [2] und eine weitere Arbeit von Balzer [5] verwiesen.
1.3 Aufbau der Arbeit
In Kapitel 2 wird zunächst an die Definition des Voronoi-Diagramms in seiner »gewöhnli- chen« Form herangeführt. Anschließend wird das Voronoi-Diagramm auf endlichen Men- gen konstruiert und weitere spezielle Formen (Schwerpunkt-Voronoi-Diagramme, gewich- tete Voronoi-Diagramme) erläutert. Der letzte Abschnitt des Kapitels diskutiert Poisson- Disk-Verteilungen und einige ihrer grundlegenden Eigenschaften.
Kapitel 3 bildet den Hauptteil dieser Arbeit.
Im ersten Abschnitt wird der Begriff der Kapazität und des kapazitätsgebundenen Voronoi- Diagramms präzisiert.
Der zweite Abschnitt erläutert die von Aurenhammer et. al. definierten power diagrams und deren wichtigste Eigenschaften unter der Kapazitätsbedingung.
Im dritten Abschnitt wird das Einfügeverfahren von Aurenhammer et. al. erläutert, mit einer Untersuchung der benötigten Laufzeit und des Speicherplatzes. Außerdem wird ein ebenfalls von Aurenhammer et. al. stammender Ansatz vorgestellt, die Gewichte despower diagrams mittels einer linearen Optimierung zu berechnen.
Im vierten Abschnitt wird das Tauschverfahren von Balzer et. al. erklärt und ebenfalls eine Laufzeit- und Speicherplatzanalyse durchgeführt.
Die nach den Verfahren von Aurenhammer et. al. oder Balzer et. al. berechneten kapazi- tätsgebundenen Voronoi-Diagramme haben eine Reihe von Anwendungen. Einige Beispiele werden im fünften Abschnitt vorgestellt.
Im sechsten Abschnitt werden Variationen der Problemstellung diskutiert. Dazu gehören die Fälle, dass die vorgegebene Gesamtkapazität der Orte die Punktzahl übersteigt oder unterschreitet. Kurz wird angerissen, ob und wie den Punkten eine nicht-gleichförmige Dichtefunktion zugeordnet werden kann. Außerdem wird noch untersucht, wie kapazitäts- gebundene Voronoi-Diagramme für andere Metriken (jenseits der euklidischen Metrik) berechnet werden können.
Den letzten Abschnitt von Kapitel 3 bildet eine Beschreibung des modifizierten Tausch- verfahrens zur Erzeugung von Poisson-Disk-Verteilungen. Es wird die Grundidee erläu- tert, die wiederum auf dem Begriff der Kapazität aufbaut. Weiter werden die besonderen Eigenschaften des Verfahrens und der erzeugten Poisson-Disk-Verteilungen diskutiert – insbesondere die Anpassung an eine vorgegebene Dichtefunktion – und dem Algorithmus von Lloyd gegenübergestellt. Zum Schluss erfolgt eine Laufzeit- und Speicherplatzanalyse, mit einer Besprechung möglicher Optimierungen.
Kapitel 4 schließlich beschreibt das Programm Ccvt, welches das Tauschverfahrens von Balzer et. al. in einem auf JavaScript und HTML basierenden Programm implemen- tiert. Dazu werden zunächst die Ziele der Implementierung erörtert. Anschließend werden die einzelnen Programmteile vorgestellt und Besonderheiten beschrieben. Den Schlussab- schnitt bildet eine Beschreibung der Benutzerführung des Programms.
Kapitel 2 Grundlagen
2.1 Topologie
In diesem Abschnitt sollen zunächst topologische Grundbegriffe definiert werden.
Definition 2.1.1 (Metrischer Raum)
Ein metrischer Raum ist ein geordnetes Paar (M, d). M ist eine Menge, deren Elemente auch als Punkte bezeichnet werden. Der Abstand zweier Punkte wird durch die Funktion d:M ×M →R bestimmt. d ist eineMetrik, d. h. für alle p, q, r∈M gilt:
Definitheit: d(p, q) = 0⇐⇒p=q (2.1)
Symmetrie: d(p, q) =d(q, p) (2.2)
Dreiecksungleichung: d(p, q)≤d(p, r) +d(r, q) (2.3) Aus Dreiecksungleichung und Definitheit folgt d(p, q)≥0für alle p, q ∈M.
Aus dem Abstand ergibt sich unmittelbar dieUmgebung eines Punktes. Die nachfolgenden Definitionen orientieren sich an dem Lehrtext von Klein und Icking [18].
Definition 2.1.2 (Umgebung und abgeleitete Begriffe)
Sei p ein Punkt im metrischen Raum (M, d) und > 0 eine reelle Zahl. Dann heißt die Menge U(p) = {q ∈ M | d(p, q) < } die -Umgebung von p. Eine Menge U ist eine Umgebung von p, wenn es ein >0 gibt mitU(p)⊆ U. Ein Punkt a von A⊆M ist ein innerer Punkt vonA, wenn es eine Umgebung vonagibt, die ganz inAenthalten ist. Die Menge der inneren Punkte ist dasInnere vonA. WennAnur aus inneren Punkten besteht, heißt A offen (in M). Eine Menge B ⊆ M heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement BC =M\B offen ist. Ein Punktr ist einRandpunkt vonA, wenn es in jeder Umgebung von r sowohl Punkte ausA als auch ausAC gibt; dabei muss rnicht Element von Asein.
Die Menge der Randpunkte wird als der Rand von A oder ∂A bezeichnet. Die Menge A = A∪∂A heißt der Abschluss von A. Eine Menge x⊆ M ist diskret, wenn es für alle Punkte x∈X eine Umgebung U gibt mit X∩U ={x}.
Den Elementen aus Rk kann durch eine Norm eine nicht-negativer reeller Betrag zuge- wiesen werden. Meist wird dieeuklidische Norm verwendet, welche dieeuklidische Metrik
7
induziert. Die euklidische Metrik zusammen mit Rk wird als der euklidische Raum Ek bezeichnet.
Definition 2.1.3 (Euklidische Norm/Metrik, euklidischer Raum Ek)
Sei k ∈ N, k > 0 und x, p, q,∈ Rk mit x = (x1, . . . , xk), p = (p1, . . . , pk) und q = (q1, . . . , qk). Dann ist dieeuklidische Norm eine Abbildungk · k2 :Rk →R≥0, die gegeben ist durch:
kxk2 = v u u t
k
X
i=1
(xi)2 (2.4)
Wegen der herausragenden Bedeutung der euklidischen Norm wird stattkxk2 häufig auch einfach nur |x| geschrieben.
Die euklidische Metrik dE ist gegeben durch:
dE(p, q) =|p−q|= v u u t
k
X
i=1
(pi−qi)2 (2.5)
Der metrische Raum (Rk, dE) wird als dereuklidische Raum Ek bezeichnet.
Ohne Beweis sei hier angefügt, dass endliche Teilmengen von Rk bzgl. der euklidischen Metrik (und verwandten Metriken) diskret und (abgesehen von der leeren Menge) nicht offen sind.
Bei der Betrachtung von Punkteverteilungen in der Ebene ist es eine wichtige Maßzahl, wie viele Punkte in dem Einheitsquadrat, d. h. in der Menge [0,1]×[0,1], angeordnet werden können. Um Randeffekte zu vermeiden, wird für die Berechnung der Abstände das Einheitsquadrat als Torus aufgefasst.
Definition 2.1.4 (Euklidische Metrik auf dem Einheitstorus)
Seien p, q ∈ [0,1]×[0,1] mit p = (p1, p2) und q = (q1, q2). Dann sei dET die euklidische Metrik auf dem Einheitstorus und definiert durch:
dET(p, q) = q
∆21+ ∆22 (2.6)
Dabei seien ∆1 und ∆2 gegeben durch:
∆1 = min{|p1−q1|, p1−q1+ 1, q1−p1+ 1} (2.7)
∆2 = min{|p2−q2|, p2−q2+ 1, q2−p2+ 1} (2.8) Zwei Elementen aus Rk kann über einSkalarprodukt eine reelle Zahl zugeordnet werden.
Meistens wird das euklidische Skalarprodukt verwendet, das deswegen auch Standardska- larprodukt genannt wird. Dieses ist im Folgenden auch stets gemeint, wenn vom Skalar- produkt gesprochen wird.
2.2. VORONOI-DIAGRAMME AUF OFFENEN MENGEN 9 Definition 2.1.5 (Euklidisches Skalarprodukt)
Sei k ∈ N, k > 0 und p, q,∈ Rk mit p = (p1, . . . , pk) und q = (q1, . . . , qk). Dann ist das euklidische Skalarprodukt oderStandardskalarprodukt eine Abbildungh·,·i:Rk×Rk →R, die gegeben ist durch:
hp, qi=
k
X
i=1
piqi (2.9)
Schließlich sei noch definiert, was eine Zerlegung ist:
Definition 2.1.6 (Zerlegung einer Menge)
Sei X eine nicht–leere Menge. Dann wird die Mengenfamilie Z = {Zi}ni=1 als Zerlegung von X bezeichnet, wenn gilt:
Zi∩Zj =∅füri6=j (2.10)
∪ni=1Zi =X (2.11)
Im Gegensatz zu der in der Mengenlehre sonst üblichen Definition einer Zerlegung soll es hier auch erlaubt sein, dass eine oder mehrere Mengen Zi gleich der leeren Menge sind.
2.2 Voronoi-Diagramme auf offenen Mengen
Bei Voronoi-Diagrammen werden Punkte eines Raums gemäß ihres Abstands anderen Objekten, den Orten zugeordnet. Für die Orte (engl.sites) werden in der Literatur auch andere Bezeichnungen, z. B. Generatoren oderVoronoi-Punkte verwendet.
Im verallgemeinerten Voronoi-Diagramm können die Orte verschiedene Formen haben, es können z. B. Liniensegmente, Ebenen oder Kreise sein. In dieser Arbeit wird die Menge der Orte jedoch stets eine Menge S ={si}ni=1 ⊆Rk von n Punkten aus Rk sein.
Im Voronoi-Diagramm werden die Punkte des Raums dem bzgl. einer gegebenen Metrik nächsten Ort zugeordnet. Von speziellem Interesse sind die Teile des Raums, die nicht eindeutig zugeordnet werden können, weil sie die gleiche Distanz zu zwei oder mehr Orten haben. Zwei gegebene Orte definieren so einen Bisektor.
Definition 2.2.1 (Bisektor)
Seien si, sj zwei Orte aus S und d eine Metrik. Dann ist
B(si, sj) ={x∈Rk|d(si, x) =d(sj, x)} (2.12) der Bisektor von si und sj.
In E2 ist der Bisektor zweier Orte eine Gerade, in höheren Dimensionen stellt er eine (Hyper-)Ebene dar.
Damit sind alle Grundlagen beisammen, um das Voronoi-Diagramm auf offenen Mengen zu definieren.
Definition 2.2.2 (Voronoi-Region/Voronoi-Diagramm auf Rk)
Sei S = {si}ni=1 ⊆ Rk eine Menge von Orten und d eine Metrik. Die zu einem Ort si gehörige Voronoi-Region VR(si, S) ist definiert durch:
VR(si, S) ={x∈Rk|d(x, si)< d(x, sj)fürj = 1, . . . , n;j 6=i} (2.13) Die Mengenfamilie VD(S) = {VR(si, S)}ni=1 sei als Voronoi-Diagramm (engl. Voronoi diagram)auf Rk bzgl. S bezeichnet.
Häufig interessiert man sich für das Voronoi-Diagramm auf einer offenen Teilmenge von Rk. Dessen Definition ergibt sich direkt aus der vorhergehenden:
Definition 2.2.3 (Voronoi-Region/Voronoi-Diagramm auf einer offenen Menge) Für eine offene Menge Ω⊆Rk sei die Voronoi-RegionVRΩ(si, S) gegeben durch:
VRΩ(si, S) = VR(si, S)∩Ω (2.14) Die Mengenfamilie VDΩ(S) ={VRΩ(si, S)}ni=1 sei als Voronoi-Diagramm (engl. Voronoi diagram)auf Ωbzgl. S bezeichnet.
In der Literatur wird das Voronoi-Diagramm auch synonym als Voronoi-Zerlegung (engl.
Voronoi tessellation) bezeichnet. Dies rührt daher, dass die Voronoi-Regionen paarweise disjunkt sind und – sieht man von den Punkten auf den Rändern ab – ihre Vereinigung alle Punkte von Rk enthält. Für die Mengen VR gilt:
VR(si)∩VR(sj) =∅füri6=j (2.15)
∪ni=1VR(si) =Rk (2.16)
Bei der Definition der Voronoi-Regionen und des Voronoi-Diagramms gibt es geringfügige Variationen (siehe z. B. [3,18,27]), die jedoch die strukturellen Eigenschaften des Voronoi- Diagramms nicht berühren. So kann in Gleichung 2.13 der Vergleich d(x, si) < d(x, sj) durch d(x, si)≤d(x, sj)ersetzt werden. Dann enthalten die Voronoi-Regionen auch ihren Rand und sind abgeschlossen. Das Voronoi-Diagramm selbst kann ebenfalls anders defi- niert werden: Nämlich als die Vereinigung von Voronoi-Kanten und -Knoten, d. h. als die Vereinigung der Punkte, die keinen eindeutigen nächsten Ort, sondern zwei bzw. drei und mehr nächste Orte haben.
Zur Konstruktion von Voronoi-Diagrammen können eine Vielzahl von Algorithmen ver- wendet werden, die verschiedene Paradigmen aus der Algorithmischen Geometrie verwen- den, z. B. das Sweep-Verfahren, dasDivide-and-Conquer-Verfahren oder die geometrische Transformation. Die Laufzeit dieser Algorithmen beträgt O(nlogn) und Speicherplatz O(n), dies ist auch gleichzeitig optimal. Als Datenstrukturen für die Speicherungen der Kanten der Voronoi-Regionen können spezielle mehrfach verkette Listen verwendet wer- den, z. B. die DCEL (engl. doubly connected edge list [24]) oder die QEDS (engl. quad edge data structure [14]).
Voronoi-Diagramme (mit der euklidischen Metrik) sinddualzuDelaunay-Triangulationen.
Für eine Erläuterung dieser und weiterer Eigenschaften, den Algorithmen zur Berech- nung und einen generellen Überblick über die Anwendungsmöglichkeiten von Voronoi- Diagrammen sei z. B. auf die Monographien von Aurenhammer et. al. [3] oder Okabe et. al. [27] verwiesen.
2.3. VORONOI-DIAGRAMME AUF ENDLICHEN MENGEN 11
2.3 Voronoi-Diagramme auf endlichen Mengen
.
Nun soll das Voronoi-Diagramm auf endlichen Mengen definiert werden. Nachfolgend bezeichne X ={xi}mi=1 ⊆Rk stets eine nicht-leere Menge von m Punkten aus Rk.
Es liegt nahe, das Voronoi-Diagramm auf X analog zu Def. 2.2.3 zu definieren. Jedoch sind dann die Punkte, die mehr als einen nächsten Ort haben, keiner Voronoi-Region bzw. – wenn die Voronoi-Regionen als abgeschlossen definiert werden – den Voronoi- Regionen aller nächsten Orte zugeordnet. Für das Voronoi-Diagramm aufEk ist der Rand einer Voronoi-Region eine Nullmenge bzgl. des Lebesgue-Maßes λk und für die Flächen- bzw. Volumenberechnung einer Voronoi-Region spielt es keine Rolle, ob der Rand zur Region gehört oder nicht. Bei Voronoi-Diagrammen von endlichen Mengen können jedoch die Punkte auf dem Rand einer Voronoi-Region nicht vernachlässigt werden. Daher wird nachfolgend eine Konstruktion gewählt, die allen Punkten – also auch denen mit mehreren nächstgelegenen Orten – genau einen Ort zuordnet.
Bemerkung 2.3.1
Bei Aurenhammer et. al. [2] und (darauf basierend) bei Balzer et. al. [6,7] wird nur kurz auf die Problematik von Punkten auf den Rändern eingegangen. Aurenhammer et. al. schrei- ben (S.63 unten):
More precisely the diagram defines an assignment function A:X →S, given by
A(x) = s⇔x∈reg(s)
Equivalently, A−1(s) = X∩reg(s) for all s ∈ S. Note that points of X that have more than one closest site in S are not covered by this definition. By convention, A assigns each such point to an arbitrary but fixed closest site.
Diese Beschreibung ist nicht präzise, da insbesondere das Einfügeverfahren von Auren- hammer et. al. explizit darauf basiert, dass die Zuordnung von Punkten auf den Rändern geändert werden kann. Um diese Unschärfe zu vermeiden, werden in der vorliegenden Arbeit die Voronoi-passenden Ortszuordnungen eingeführt.
Definition 2.3.2 (Voronoi-passende Ortszuordnung)
Sei X eine endlichen Menge von Punkten und S eine Menge von Orten. Eine Funktion A∈Abb(X, S)sei als Ortszuordnung von X in S bezeichnet.
Eine Ortszuordnung Avon X inS istVoronoi-passend bzgl. einer Metrik d, wenn für alle x∈X gilt:
A(x) =si ⇒d(x, si)≤d(x, sj) ; j = 1, . . . , n;j 6=i (2.17)
Zu beachten ist, dass – wenn sich Punkte auf dem Bisektor zweier Orte befinden – es durchaus mehrere Voronoi-passende Ortszuordnungen geben kann.
Beispiel 5 (Voronoi-passende Ortszuordnung mit Punkten auf Bisektor) Für die Abb. 2.1 werde die euklidische Metrik zu Grunde gelegt. Dann muss für eine Voronoi-passende Ortszuordnung A : X → S stets A(x1) = s1 und A(x5) = s2 gelten.
Die Punktex2, x3, x4 liegen auf dem Bisektor vons1 unds2 und können beliebig zwischen diesen Orten verteilt werden. Das Diagramm zeigt eine mögliche Zuordnung dieser drei Punkte, insgesamt gibt es jedoch23 = 8verschiedene Voronoi-passende Ortszuordnungen.
B(s ,s )
1 2s
1s
2x
1x
5x
2x
3x
4Abbildung 2.1: Voronoi-passende Ortszuordnung mit Punkten auf Bisektor
Es soll kurz betrachtet werden, welche Laufzeit- und Speicherplatzkomplexität das Finden einer Voronoi-passenden Ortszuordnung hat. Dazu sei eine Mengen X von Punkten mit
|X| = m, eine Menge von Orten S mit |S| = n und eine Metrik d gegeben. Für jeden Punkt ausX muss nun der nächste Ort(bzw. die nächsten Orte) aus S gefunden werden.
Mit dem naiven Ansatz (für jeden Punkt werden die Abstände zu allen Orten berechnet) kann eine Voronoi-passende Zuordnung inO(nm)Zeit gefunden werden. Außer den Struk- turen für die Eingabe der Punkte und Orte wird nur O(1)zusätzlicher Speicher benötigt.
Jedoch wird in den meisten typischen Anwendungen die Zahl der Punkte deutlich größer sein als die der Orte, daher sollten Datenstrukturen verwendet werden, die die Suche nach dem nächsten Nachbarn bzgl. der Laufzeit optimieren. Für die euklidische Metrik kann in der Ebene beispielsweise zunächst in O(nlogn) Zeit und O(n) Speicherplatz das ge- wöhnliche Voronoi-Diagramm fürS aufR2 berechnet werden. Anschließend kann dann für jeden Punkt aus X der nächste Ort in O(logn)Zeit gefunden werden; es ergibt sich eine Gesamtlaufzeit von O(mlogn) für das Finden einer Voronoi-passenden Zuordnung. Al- ternativ kann z. B. auch eink-d-Baum [9] zur Suche des nächsten Orts verwendet werden.
In der Ebene benötigt die Konstruktion dieses Baumes O(nlogn) Zeit und O(n) Spei- cherplatz, die (randomisierte) Gesamtlaufzeit für die Zuordnung beträgt dann ebenfalls O(mlogn).
Für die späteren Betrachtungen in Kapitel 3 wichtig ist die Kleinste-Quadrate-Zuordnung (engl. least-squares assignment). Wie das anschließende Lemma zeigt, sind die Kleinste- Quadrate-Zuordnungen genau die Voronoi-passenden Zuordnungen.
2.4. SCHWERPUNKT-VORONOI-DIAGRAMME 13 Definition 2.3.3 (Kleinste-Quadrate-Zuordnung)
Sei X eine nicht-leere endliche Menge, S eine Menge von Orten und d eine Metrik. Eine Zuordnung L:X →S, für die
X
x∈X
d(x, L(x))2 = min{X
x∈X
d(x, A(x))2 |A∈Abb(X, S)} (2.18) gilt, wird Kleinste-Quadrate-Zuordnung (bzgl. d) genannt.
Lemma 2.3.4 (Minimierung der totalen quadrierten Distanz)
Sei X eine nicht-leere endliche Menge,S eine Menge von Orten undd eine Metrik. Dann sind die Kleinste-Quadrate-Zuordnungen bzgl. d genau die Voronoi-passenden Ortszuord- nungen bzgl. d.
Beweis Sei A : X → S eine Voronoi-passende Ortszuordnung bzgl. d. Dann sind nach Def. 2.3.2 alle x ∈ X einem Ort si ∈ S zugeordnet, für den die Distanz d(x, si) mi- nimal wird. Da die Quadratfunktion streng monoton wachsend ist, ist folglich auch die Gesamtsumme der quadrierten Distanzen minimal.
Sei nun umgekehrt Aeine Ortszuordnung, die nicht Voronoi-passend ist. Dann gibt es ein xk ∈X und Orte si, sj mit A(xk) =si und d(xk, si) > d(xk, sj) ≥0. Für die Zuordnung A0 : X →S, die gegeben ist durch A0(x) = A(x) für alle x ∈X\ {xk} und A0(xk) = sj, ist dann die Gesamtsumme der quadrierten Distanzen kleiner als die von A. A kann also
keine minimale Zuordnung sein.
Im Zusammenhang mit der Minimierung der (quadrierten) Gesamtdistanzen wird auch häufig von einer Energieminimierung gesprochen. In einer Voronoi-passenden Zuordnung wird das Energieminimum über alle Ortszuordnungen angenommen.
Kommen wir zurück zu den Voronoi-Regionen und dem Voronoi-Diagramm auf einer endlichen Menge. Diese Begriffe können anhand einer Voronoi-passenden Ortszuordnung definiert werden.
Definition 2.3.5 (Voronoi-Diagramm auf einer endlichen Menge)
Sei X eine nicht-leere endliche Menge, S eine Menge von Orten und A : X → S eine Ortszuordnung, die Voronoi-passend bzgl. einer Metrik d ist. Die zu einem Ort s ∈ S gehörige Voronoi-Region dVR(s, A) ist definiert durch:
dVR(s, A) =A−1(s) (2.19) Die Mengenfamilie VDd(A) = {dVR(si, A)}ni=1 ist eine Zerlegung von X und sei als das durch A induzierte Voronoi-Diagramm bezeichnet.
Im weiteren Verlauf werden ausschließlich Voronoi-Diagrammen auf endlichen Mengen besprochen. Durch die Verwendung des Zirkumflex-Akzent bei den Bezeichnern dVR und VDd (stattVR bzw.VD) soll die besondere Art der Konstruktion gekennzeichnet werden.
2.4 Schwerpunkt-Voronoi-Diagramme
Eine Spezialfall des Voronoi-Diagramms liegt vor, wenn der Ort, der eine Voronoi-Region definiert, gleichzeitig auch der Schwerpunkt dieser Region ist. Nachfolgend wird eine De-
finition des Schwerpunkt-Voronoi-Diagrammes (CVD, engl. centroidal Voronoi diagram) für endliche Mengen entwickelt. Für die entsprechende Definition auf offenen Mengen sowie Algorithmen und Anwendungen sei auf die Zusammenfassung von Du et. al. [12]
verwiesen.
Bei der Berechnung des Schwerpunkts können den Punkten einer Region über eine Dich- tefunktion unterschiedliche Gewichte zugewiesen werden.
Definition 2.4.1 (Dichtefunktion)
Sei X eine nicht-leere endliche Menge. Dann werde eine Funktion ρ : X → R als eine Dichtefunktion bezeichnet, wenn gilt:
ρ(x)≥0für allex∈X (2.20)
X
x∈X
ρ(x)<∞ (2.21)
Im Gegensatz zur Definition von Dichtefunktionen in der Wahrscheinlichkeitstheorie muss hier die Summe P
x∈Xρ(x)nicht unbedingt 1 ergeben, es ist lediglich ein endlicher Wert erforderlich. Auch P
x∈Xρ(x) = 0 sei erlaubt.
In Anlehnung an Du et. al. [12] wird der Schwerpunkt definiert.
Definition 2.4.2 (Schwerpunkt)
Sei X eine endliche Menge, d eine Metrik und ρ eine Dichtefunktion auf X. Dann ist z ∈Rk ein Schwerpunkt von X, wenn gilt:
X
x∈X
ρ(x)d(z, x)2 = inf
z∈Rk
X
x∈X
ρ(x)d(z, x)2 (2.22)
Der Schwerpunkt muss also nicht selbst Element vonX sein. Im Falle vonP
x∈X ρ(x) = 0 sind alle Punkte aus Rk Schwerpunkt von X. Wenn d die Eulersche Metrik und ρ eine konstante Funktion ist, dann entspricht der Schwerpunkt dem arithmetischen Mittel von X.
Definition 2.4.3 (Schwerpunkt-Voronoi-Diagramm)
Sei X eine endliche Menge undρ eine Dichtefunktion auf X. SeiS ={Si}ni=1 eine Menge von Orten und VDd(A) = {dVR(si, A)}ni=1 das durch eine Ortszuordnung A induzierte Voronoi-Diagramm. Dann ist dieses Diagramm einSchwerpunkt-Voronoi-Diagramm, wenn alle si ∈S Schwerpunkt ihrer jeweiligen Voronoi-Region sind.
Schwerpunkt-Voronoi-Diagramme mit konstanter Dichtefunktion und der Eulerschen Me- trik sind eng verwandt mit einer Problemstellung aus der Clusteranalyse. Dabei geht es darum, zu einer vorgegebenen Menge von Daten (Punkten) eine vorgegebene Anzahl von Cluster-Mittelpunkten (Orten) zu finden, so dass die mittlere quadratische Abweichung zwischen den Daten und ihren zugehörigen Cluster-Mittelpunkten minimiert wird. Dieses Problem wird auch als Minimum Sum-of-Squares Clustering oder k-means-Clustering 1 bezeichnet.
1Dabei bezeichnetk– anders als der in der vorliegenden Arbeit – nicht die Dimension des Punktraums, sondern die Anzahl der Cluster.
2.4. SCHWERPUNKT-VORONOI-DIAGRAMME 15 Die nachfolgende Beschreibung der Problemstellung verwendet die Terminologie dieser Arbeit:
Definition 2.4.4 (Minimum Sum-of-Squares Clustering)
Sei X ={xj}aus Rk eine vorgegebene Menge von Punkten ausRk und n eine natürliche Zahl. Dann besteht das Minimum Sum-of-Squares Clustering darin, eine Menge S = {Si}ni=1 von Orten aus Rk und eine Ortszuordnung A : X → S zu finden, so dass die Funktion
E(S, A) =
m
X
j=1
|xj −A(xj)|2 (2.23)
einen minimalen Wert annimmt.
Die Funktion E wird auch als Energiefunktion oder Varianz bezeichnet. Analog zu der Formulierung im Nachsatz zu Lemma2.3.4 kann auch hier von einer Energieminimierung gesprochen werden. Allerdings ist diese Art der Minimierung bedeutend schwerer, da das Minimum nicht nur für alle Ortszuordnungen von X nach S gefunden werden muss, sondern auch für alle möglichen Positionen der Orte ausS. Falls sowohl die Dimension des Punktraums als auch die Anzahl der Cluster größer oder gleich 2 ist, ist die Bestimmung des globalen Minimums der Energiefunktion ein NP-hartes Problem [1]. Daher werden in der Praxis häufig heuristische Methoden verwendet, die eine »gute« Annäherung an das Optimum liefern. Eine dieser Methoden ist derAlgorithmus von Lloyd [23], der sich durch seine strukturelle Einfachheit auszeichnet. Der Algorithmus 2.1 ist mit der Begrifflichkeit dieser Arbeit formuliert.
Algorithmus 2.1 Algorithmus von Lloyd Eingabe
Menge S ={si}ni=1 von Orten aus Rk (* 1 *) Menge X ={xi}mi=1 von Punkten ausRk Ausgabe
Menge S ={si}ni=1 von Orten mit geänderten Positionen (* Hauptschleife *)
repeat
erzeuge eine Voronoi-passende Zuordnung A:X →S (* 2 *) foreach Ort si ∈S do
verschiebesi zu dem Schwerpunkt seiner Voronoi-RegionVR(sd i, A) end for
until ein vorgegebenes Konvergenzkriterium ist erfüllt (* 3 *)
(* Die geänderten Positionen der Orte S sind das Ergebnis des Algorithmus *)
Zu den gekennzeichneten Schritten des Algorithmus seien die folgenden Anmerkungen angefügt, vgl. Kanungo et. al. [17] für nähere Erläuterungen:
1. Die MengeS von Orten ist Eingabe und (nach Modifikation) die Ausgabe des Algo- rithmus. Von der anfänglichen Verteilung der Orte hängt in starkem Maße ab, gegen welche Verteilung der Algorithmus am Ende konvergiert. Ein mögliches Verfahren
besteht darin, dass die anfängliche Verteilung zufällig bestimmt wird. Ein anderes, häufig gewähltes Verfahren besteht darin, dass die Menge S zunächst durch einen anderen Algorithmus bestimmt wird und dann die Energiefunktion durch den Al- gorithmus von Lloyd optimiert wird.
2. Die Bestimmung einer Voronoi-passenden Zuordnung ist der aufwändigste Schritt in einer Iteration. Von Kanungo et. al. [17] wird eine effiziente Implementierung mit Hilfe eines k-d-Baums erläutert.
3. Es bietet sich an, den Algorithmus dann abzubrechen, wenn die Position der Orte stabil bleibt. Wenn die Punkte sich in allgemeiner Position befinden (im Speziellen:
kein Punkt befinden sich in Äquidistanz zu zwei Orten), wird dieser stabile Zustand auch erreicht. Die Energiefunktion nimmt dann ein lokales Minimum an, dies muss jedoch nicht unbedingt das globale Minimum sein [17]. Je nach Problemstellung und zur Vermeidung von numerischen Instabilitäten kann alternativ der Algorith- mus auch vorzeitig beendet werden, wenn z. B. die Änderung der Energiefunktion zwischen den Iterationen unter einer vorgegebenen Schranke liegt oder eine fest vorgegebene Anzahl von Iterationen durchlaufen wurde.
2.5 Gewichtete Voronoi-Diagramme
Nicht nur den Punkten aus X, sondern auch den Orten können Gewichte zugeordnet werden. Bei einem gewichteten Voronoi-Diagramm wird der Abstand zwischen einem Ort und einem Punkt nicht mehr über eine Metrik d berechnet, sondern über eine gewichtete Distanzfunktion δ:X×S →R. In diese Funktion fließt das Gewicht des Ortes mit ein.
Von Aurenhammer et. al. [2] wird als Verallgemeinerung des Voronoi-Diagramms das power diagram formuliert. Die hier gewählte Definition orientiert sich an der Konstruktion des Voronoi-Diagramms aus Abschnitt 2.3.
Definition 2.5.1 (Power diagram)
Sei X eine nicht-leere endliche Menge und S ={Si}ni=1 eine Menge von Orten. Sei ferner W : S → R eine Funktion, die jedem Ort eine reelle Zahl, das Gewicht zuordnet. Für jeden Ort s mit GewichtW(s)ist eine power function δP :X×S →R gegeben durch:
δP(x, s) =|x−s|2−W(s) (2.24) Sei AW eine Ortszuordnung, die Voronoi-passend bzgl.δP und W ist, d. h. für alle x∈X gelte:
AW(x) =si ⇒δP(x, si)≤δP(x, sj) ; j = 1, . . . , n;j 6=i (2.25) Analog zu den Voronoi-RegionenVRdkönnen dann die MengenPRc definiert werden durch PR(s, Ac W) = A−1W(s) (2.26) Die Mengenfamilie dPD(AW) = {PR(sc i, AW)}ni=1 ist eine Zerlegung von X und sei als das durch AW induzierte power diagram bezeichnet.
Wie bei einem gewöhnlichen Voronoi-Diagramm ist der Bisektor zweier Orte si und sj durch eine Gerade gegeben, die senkrecht zur Geraden sisj verläuft. Proportional zur
2.5. GEWICHTETE VORONOI-DIAGRAMME 17 Differenz der Gewichte W(si)undW(sj)wird der Bisektor zwischen den Orten »verscho- ben«: Ist die Differenz gleich 0, so ist der Bisektor die Mittelsenkrechte (wie bei einem gewöhnlichen Voronoi-Diagramm). Ist die Differenz der Gewichte gleich |si, sj|2, so ver- läuft der Bisektor durch den Ort mit dem kleineren Gewicht. Ist die Differenz noch größer, so wird der Bisektor so weit verschoben, dass der Ort mit dem kleineren Gewicht nicht mehr innerhalb »seiner« Region liegt. Wird zu allen Gewichten eine Konstante addiert oder subtrahiert, ändert sich die Lage des Bisektors nicht.
Zur Veranschaulichung sind in Abb. 2.2 die Orte s1 = (0.4,0.5) und s2 = (0.6,0.5) und deren Bisektor für die Gewichte W(s2) = 0 und a) W(s1) = 0, b) W(s1) = 0.02, c) W(s1) = 0.04, d) W(s1) = 0.06eingezeichnet.
s2
s1 s1 s2 s1 s2 s1 s2
a) b) c) d)
Abbildung 2.2: Lage des Bisektors im power diagram: W(s2) = 0 und a) W(s1) = 0, b) W(s1) = 0.02, c)W(s1) = 0.04, d) W(s1) = 0.06.
In R2 sind die Begrenzungen der Regionen PRc gegeben durch konvexe Polygone, in Rk durch konvexe Polyeder. Falls alle Gewichte gleich sind, entspricht das power diagram dem gewöhnlichen Voronoi-Diagramm der gegebenen Orte. In der Ebene kann das power diagram für offene Mengen in O(nlogn) Zeit berechnete werden [3].
Weitere wichtige Eigenschaften des power diagrams werden in Kapitel 3 erläutert.
Andere Formen von gewichteten Voronoi-Diagrammen sind das additiv gewichtete (engl.
additively weighted) und das multiplikativ gewichtete (engl. multiplicatively weighted) Voronoi-Diagramm, die nachfolgend als AWVD\ bzw. MWVD\ bezeichnet werden.
AWVD\ definiert sich analog zu dPD, dabei wird die Distanzfunktion δP ersetzt durch:
δAW(x, s) = |x−s| −W(s) (2.27) Die Regionen AWVR\ von AWVD\ werden durch Liniensegmente und Hyperbelbögen be- grenzt.
Für das multiplikativ gewichtete Voronoi-Diagramm sei angenommen, dassW(si)>0für alle Orte si ∈ S gilt. Dann wird MWVD\ analog zu dPD und AWVD\ definiert, mit der folgenden Distanzfunktion:
δM W(x, s) = |x−s|
W(s) (2.28)
Die Regionen MWVR\ von MWVD\ werden durch Liniensegmente und Kreisbögen be- grenzt.
2.6 Poisson-Disk-Verteilungen
Eine spezielle Art von Punktverteilungen, die besonders in der Computergrafik von Inter- esse sind, sind die Poisson-Disk-Verteilungen. Die nachfolgende Definition ist adaptiert von Lagae und Dutré [20].
Definition 2.6.1 (Poisson-Disk-Verteilung)
Eine Poisson-Disk-Verteilung ist eine gleichmäßige Verteilung von Punkten in R2, in der alle Punkte durch eine (euklidische) Mindestdistanz voneinander getrennt sind. Die Hälfte dieser Mindestdistanz wird Radius genannt.
Wenn eine Poisson-Disk-Verteilung den Radius r hat, kann um jeden Punkt der Vertei- lung eine Kreisscheibe (engl. disk) mit Radius r gezeichnet werden, ohne dass sich die Kreisscheiben überlappen. Haben zwei Punkte exakt dieselbe Position, ist der Radius 0.
Anwendungsmöglichkeiten von Poisson-Disk-Verteilungen in der Computergrafik sind z. B.
das Sampling, prozedurale Texturen, Objektverteilungen oder das Erstellen von Halbton- bildern, siehe z. B. die Monographie von Pharr und Humphreys [30]. Die Effektivität der Poisson-Disk-Verteilungen bei diesen Anwendungen wird bedingt [21] durch ihre soge- nannten blue-noise-Eigenschaften. Dieser Begriff wird weiter unten erklärt.
Eine einfache Methode zur Erzeugung von Poisson-Disk-Verteilungen wurde von Cook [11] vorgeschlagen: Beginnend mit einer leeren Menge X, werden durch eine gleichver- teilte Zufallsfunktion nacheinander Punkte erzeugt (gewöhnlich über einem Torus, um Randeffekte korrekt zu behandeln [21]). Hat ein erzeugter Punkt nicht die geforderte mi- nimale Distanz zu den bereits inX enthaltenen Punkten, so wird er verworfen, andernfalls zu X hinzugefügt. Es werden solange Punkte erzeugt, bis keine weiteren Punkte zu X hinzugefügt werden können (oder der Algorithmus vorher abgebrochen wird). Die Menge X stellt dann die Poisson-Disk-Verteilung dar. Dieser als dart throwing bezeichnete Al- gorithmus ist einfach zu implementieren, aber auch rechnerisch aufwändig. Zudem ist es schwer, ein praktikables Abbruchkriterium zu finden.
Es existieren etliche andere Algorithmen zur Generierung von Poisson-Disk-Verteilungen, eine Übersicht gibt der Artikel von Lague und Dutré [21]. Die Autoren vergleichen die Algorithmen und die von ihnen erzeugten Punkteverteilungen anhand verschiedener Kenn- werte, einer davon ist der relative Radius [20].
Definition 2.6.2 (Relativer Radius einer Poisson-Disk-Verteilung)
Die Menge X = {xi}mi=1 von Punkten sei eine Poisson-Disk-Verteilung im euklidischen Einheitstorus mit Radius r. Dann ist der maximale Poisson-Disk-Radius rmax gegeben durch:
rmax= s
1 2√
3m (2.29)
Der relative Radius α∈[0,1]ist gegeben durch:
r=αrmax (2.30)
2.6. POISSON-DISK-VERTEILUNGEN 19 Dadurch, dass die Punkte auf dem Einheitstorus betrachtet werden und die Punktzahl m in die Definition von rmax einfließt, findet eine Normalisierung des Radius statt. Je größer der relative Radius, desto gleichmäßiger sind die Mittelpunkte der Kreisscheiben verteilt. Die Definition des relativen Radius stellt einen Bezug zu einem Problem her, das als circle packing bekannt ist: Der relative Radius von α = 1 (wenn also r = rmax) wird dann erreicht, wenn die Punkte in einem hexagonalen Gitter angeordnet sind; dies entspricht der dichtesten möglichen Anordnung von Kreisen gleicher Größe in der Ebene [15].
Gemäß Lagae und Dutré [21] sollte für ein gutes Sampling-Muster der relative Radius einer Poisson-Disk-Verteilung groß (α ≥ 0.65), aber nicht zu groß (α ≤ 0.85) sein, um regelmäßige Konfigurationen zu vermeiden.
Von Ulichney [38] stammt der Ansatz, Poisson-Disk-Verteilungen in der Frequenzdomäne auf der Basis der zweidimensionalen Fourier-Transformation zu untersuchen. Diese Art der Untersuchung soll hier als spektrale Analyse bezeichnet werden. Als wichtigste Statis- tiken dienen dabei dasEnergiespektrum(engl.power spectrum) und die davon abgeleiteten Kenngrößen des radial gemittelten Energiespektrums (engl. radially averaged power spec- trum) und der Anisotropie (engl. anisotropy) für die Analyse von Punktverteilungen.
Die genaue Herleitung dieser Begriffe würde den Rahmen dieser Arbeit sprengen, daher soll nachfolgend nur ein sehr grober Überblick vermittelt werden. Für detaillierte Erläu- terung sei auf die Arbeiten von Ulichney [38] und Lagae und Dutré [21] verwiesen.
Das Periodogramm ist die quadrierte Amplitude der Fourier-Transformation der Poisson- Disk-Verteilung, geteilt durch die Anzahl der Punkte. Lagae und Dutré [21] verwenden die nachfolgende Darstellung.
Definition 2.6.3 (Periodogramm)
DasPeriodogramm einer Poisson-Disk-Verteilung vonmPunkten{x1, . . . , xm}aus[0,1)2 ist gegeben durch:
P(f) = 1 m
F
m
X
i=1
δ(x−xi)
(2.31) Dabei bezeichnet F die Fourier-Transformation und δ die Dirac’sche Delta-Distribution.
Für ein gegebenes Verfahren zur Erzeugung von Poisson-Disk-Verteilungen wird dasEner- giespektrum dadurch ermittelt, das durch das zu untersuchende Verfahren eine Anzahl (typischerweise 10) verschiedener Periodogramme berechnet werden und diese dann ge- mittelt werden. Das Energiespektrum kann als zweidimensionales quadratisches Bild von Intensitäten dargestellt werden, dann befinden sich die Intensitäten für die niedrigen Fre- quenzen in konzentrischen Kreisen nahe der Mitte, die Intensitäten für die hohen Fre- quenzen an den Rändern des Bildes. Mit fc sei die Frequenz bezeichnet, deren Kreisring noch vollständig ins Bild passt.
Vom Energiespektrum abgeleitet sind zwei eindimensionale Größen: Das radial gemittelte Energiespektrum wird berechnet, indem die Intensitäten der Bildpunkte in konzentrischen Kreisringen um den Bildmittelpunkt gemittelt werden. DieAnisotropie ist die Varianz der Intensitäten innerhalb eines Kreisrings mit vorgegebener Breite und ist ein Maß für die Ra- dialsymmetrie des Spektrums. Diese wird bei Darstellung in einem Graphen üblicherweise in Dezibel angegeben. Für K Periodogramme und einer Darstellung gemäß der Relation xdB = 10 log10x entspricht ein Wert von xdB =−KdB dem Hintergrundrauschen [35].
Eine Grafik soll zur Veranschaulichung der genannten Begriffe dienen. Die Abb. 2.3 zeigt die typischen spektralen Eigenschaften einer Poisson-Disk-Verteilung. Diese Verteilung wurde durch das modifizierte Tauschverfahren erzeugt, das in Abschnitt 3.7 erläutert wird.
0 Frequenz
-10 -5 0 +5 +10
Anisotropie
fc
0 Frequenz
0 0.5 1 1.5 2
Energie
fc
2 1
3
f c 3
Abbildung 2.3: Spektrale Analyse: Energiespektrum (links), radial gemitteltes Energiespek- trum (rechts oben) und Anisotropie (rechts unten) einer Poisson-Disk-Verteilung mit blue-noise- Eigenschaften (siehe Text). Modifizierter Ausschnitt einer Abbildung von Balzer et. al.[7], mit freundlicher Genehmigung von Michael Balzer
In der Grafik sind die folgenden drei charakteristischen Eigenschaften markiert, die auch als blue-noise-Eigenschaften [38] bezeichnet werden:
1. Bei einer Poisson-Disk-Verteilung mit einem Radius r > 0 sind die niedrigen Fre- quenzen weggeschnitten. Dies wird im Energiespektrum durch den schwarzen Mit- telpunkt gezeigt; im radial gemittelten Energiespektrum liegt der Graph bei 0.
2. Ab der Grenzfrequenz1/2r [21] steigt der Graph steil an zum Hauptscheitelpunkt, den Lagae und Dutré im Englischen als central DC peak bezeichnen. Der Haupt- scheitelpunkt ist im Energiespektrum durch den hellsten Kreisring gegeben.
3. Die Schwingungen des Graphen verringern sich und die Verteilung der hohen Fre- quenzen wird gleichmäßig, was sich im Energiespektrum durch ein gleichmäßiges Grau bzw. im radial gemittelten Energiespektrum durch einen Graphen nahe bei 1 auf der Y-Achse zeigt.
Die Anisotropie der gezeigten Verteilung ist nahezu ideal: Da das vorliegende Energiespek- trum durch Mittelung von 10 Periodogrammen entstanden ist, entspricht eine Anisotropie von -10 dB dem Hintergrundrauschen. Dieser Wert wird für den Großteil der Frequenzen der Verteilung erreicht, lediglich bei den niedrigen Frequenzen liegt die Anisotropie höher.
Bei Lagae und Dutré [21] nimmt die spektrale Analyse einen großen Raum ein. Nicht näher untersucht wird die Anpassung an eine Dichtefunktion, dieses Kriterium wird in Abschnitt 3.7.2 präzisiert.
Kapitel 3
Kapazitätsgebundene Voronoi-Diagramme
3.1 Problembeschreibung
Kommen wir auf die Arztpraxen aus Kapitel 1 zurück. Als deren vorgegebene Kapazität wurde die Anzahl der Patienten betrachtet, die innerhalb eines vorgegebenen Zeitraums (in den Beispielen war dies eine Woche) behandelt werden können. Wenn die Anzahl der Patienten gleich der Summe der vorgegebenen Kapazitäten aller Arztpraxen ist, so bedeutet die Einhaltung der Kapazitätsbedingung, dass jeder Arztpraxis genau so viele Patienten zugeordnet werden, wie es ihrer jeweiligen vorgegebenen Kapazität entspricht.
Diese Gedankengänge werden in den nachfolgenden Definitionen formalisiert.
Definition 3.1.1 (Vorgegebene Kapazität eines Ortes)
Sei S ={si}ni=1 eine Menge von Orten undC :S →N0 eine Funktion, die jedem Ort eine nicht-negative ganze Zahl zuordnet. Dann werdeC alsKapazitätsbedingung undC(si)als die vorgegebene Kapazität des Ortes si bezeichnet. Die vorgegebene Gesamtkapazität von S sei als die Summe Pn
i=1C(si) aller vorgegebenen Einzelkapazitäten definiert.
Definition 3.1.2 (Tatsächliche Kapazität eines Ortes)
Seien S ={si}ni=1 eine Menge von Orten, X ={xi}mi=1 eine endliche Menge von Punkten und A : X → S eine Ortszuordnung. Dann werde für einen Ort si der Betrag |A−1(si)|
als die tatsächliche Kapazität des Ortes si bezeichnet.
Bemerkung 3.1.3
Der Begriff der Kapazität wird bei Aurenhammer et. al. – und davon abgeleitet bei Balzer et. al. – nicht immer einheitlich verwendet. Einerseits ist dort die Kapazität (bei einer gegebenen Ortszuordnung) die Anzahl der einem Ort zugeordneten Punkte. Andererseits wird mit Kapazität auch eine vorgegebene (maximale) Größe bezeichnet. So schreiben Aurenhammer et. al. [2] bei der Erläuterung des Einfügeverfahrens (S.73 oben):
Note that the insertion method of Section 4 cannot be used directly, as it assumes that no power region is ever filled beyond its capacity.
Daher erfolgt in dieser Arbeit die Definition vonvorgegebener undtatsächlicher Kapazität.
21
Balzer et. al. verwenden auch den Begriff tatsächliche Kapazität (vgl. Abschnitt 3.6.2), jedoch in einem anderen Sinn als hier. Schließlich definieren Aurenhammer et. al. für stetige PunktmengenXnoch den Kapazitätsbegriff als Integral einer Dichtefunktion über X. Aufgrund der thematischen Abgrenzung der vorliegenden Arbeit wird dieser stetige Kapazitätsbegriff erst in Abschnitt 3.7.4 aufgegriffen.
Definition 3.1.4 (Kapazitätsgebundene Ortszuordnung, Menge Kap)
Seien S = {si}ni=1 eine Menge von Orten und werden durch die Kapazitätsbedingung C : S → N0 die Kapazitäten dieser Orte definiert. Sei X = {xi}mi=1 eine endliche Menge von Punkten mit Pn
i=1C(si) = |X| = m. Sei außerdem A : X → S eine Ortszuord- nung. Dann erfüllt A die Kapazitätbedingung oder ist kapazitätsgebunden bzgl. C, wenn
|A−1(si)|=C(si)für alle i= 1, . . . , n, d. h. wenn bei allen Orten die tatsächliche Kapazi- tät mit der vorgegebenen Kapazität übereinstimmt. Mit Kap(X, S, C)sei die Menge aller Ortszuordnungen vonX inS bezeichnet, die kapazitätsgebunden bzgl.C sind. DaX und S nicht-leer und endlich sind, ist auch Kap(X, S, C) nicht-leer und endlich.
Die Definition eines kapazitätsgebundenen Voronoi-Diagramms (CCVT, engl. capacity- constrained Voronoi tessellation) ergibt sich direkt.
Definition 3.1.5 (Kapazitätsgebundenes Voronoi-Diagramm)
Ein (gewichtetes oder ungewichtetes) Voronoi-Diagramm von X erfüllt die Kapazitätsbe- dingung oder istkapazitätsgebunden, wenn es durch eine kapazitätsgebundene Ortszuord- nung A bzw. AW induziert wird.
Im Allgemeinen wird bei einem Voronoi-Diagramm zu einer vorgegebenen Menge von Orten, Punkten und Kapazitäten nicht die Kapazitätsbedingung erfüllt sein. Daher stellt sich die Frage: Wie kann das Voronoi-Diagramm verändert werden, damit schließlich bei allen Orten die tatsächliche Kapazität mit der vorgegebenen Kapazität übereinstimmt?
Bei gewichteten Voronoi-Diagrammen kann die Voronoi-Region eines Ortes über die Ver- änderung des Gewichts vergrößert oder verkleinert werden. Im Rahmen dieser Arbeit ist das power diagram die bedeutendste Form von gewichtetem Voronoi-Diagramm und wird daher in den nächsten Abschnitten genauer untersucht. In Abschnitt 3.2 werden wich- tige Eigenschaften von kapazitätsgebundenen power diagrams erläutert. Von besonderer Bedeutung ist dabei Satz 3.2.4, der den Zusammenhang zwischen power diagrams und kapazitätsgebundenen Kleinste-Quadrate-Zuordnungen herstellt. Zum Beweis dieses Sat- zes formulieren Aurenhammer et. al. ein Einfügeverfahren, welches zu einer gegebenen Kapazitätsbedingung eine Kleinste-Quadrate-Zuordnung erzeugt, die einem power dia- gram entspricht. Dieses Verfahren – welches auch mit einem ebenfalls von Aurenhammer et. al. vorgeschlagenem linearem Optimierungsverfahren kombinierbar ist – ist Thema von Abschnitt 3.3.
Im Gegensatz dazu werden im Tauschverfahren von Balzer et. al. die Gewichte des power diagrams implizit verändert. Dieses strukturell einfache Verfahren wird – zusammen mit einer Laufzeit-/Speicherplatzanalyse und einer Diskussion von Verbesserungsmöglichkei- ten – im Abschnitt 3.4 erläutert.
Zwei überraschende Anwendungsmöglichkeiten für kapazitätsgebundene power diagrams bilden den Inhalt von Abschnitt 3.5.
3.2. KAPAZITÄTSGEBUNDENE POWER DIAGRAMS 23 In den ersten Abschnitten dieses Kapitels wird angenommen, dass die Gesamtkapazität der Orte genau der Anzahl der Punkte entspricht. In praktischen Anwendungen wird es jedoch häufig der Fall sein, dass Gesamtkapazität und Punktezahl voneinander abwei- chen. In Abschnitt 3.6 wird erläutert, wie sich der Algorithmus von Balzer et. al. ent- sprechend anpassen lässt. Außerdem wird kurz beleuchtet, ob und wie den Punkten eine nicht-gleichförmige Dichtefunktion zugeordnet werden kann. Schließlich wird untersucht, wie kapazitätsgebundene Voronoi-Diagramme für andere Metriken als der euklidischen berechnet werden können.
Im letzten Abschnitt dieses Kapitel wird untersucht, wie der Algorithmus von Balzer et. al. modifiziert werden kann, um Poisson-Disk-Verteilungen zu erzeugen. Dabei soll es erlaubt sein, dass die Orte ihre Position ändern können. Der resultierende Algorithmus weist äußerliche Gemeinsamkeiten auf zu dem Algorithmus von Lloyd aus Abschnitt 2.4, ist diesem jedoch in einigen wichtigen Punkten überlegen.
3.2 Kapazitätsgebundene power diagrams
Zum Verständnis der nachfolgenden Algorithmen von Aurenhammer et. al. bzw. Balzer et. al. ist zunächst eine Diskussion der Eigenschaften von kapazitätsgebundenen power diagrams notwendig.
Die zentrale Aussage von Aurenhammer et. al. [2] ist die Äquivalenz von durch einpower diagram induzierten kapazitätsgebundenen Ortszuordnungen und kapazitätsgebundenen Kleinste-Quadrate-Zuordnungen (bzgl. der euklidischen Metrik). Letzteres sind – in Ana- logie zu Def. 2.3.3 – Zuordnungen, die die Summe der quadrierten Distanzen unter der gegebenen Kapazitätsbedingung minimieren.
Definition 3.2.1 (Kapazitätsgebundene Kleinste-Quadrate-Zuordnung)
Sei X eine nicht-leere endliche Menge, S eine Menge von Orten und d eine Metrik. Sei ferner C : S → N0 mit Pn
i=1C(si) = |X| = m eine Zuordnung von Kapazitäten Eine Zuordnung L:X →S, die kapazitätsgebunden bzgl. C ist und für die
X
x∈X
d(x, L(x))2 = min{X
x∈X
d(x, A(x))2 |A∈Kap(X, S, C)} (3.1) gilt, wirdKleinste-Quadrate-Zuordnung bzgl.dund bzgl.Cgenannt. DaKap(X, S, C)end- lich und nicht-leer ist, existiert auch stets (mindestens) eine Kleinste-Quadrate-Zuordnung.
Aurenhammer et. al. zeigen zwei wichtige Eigenschaften von kapazitätsgebundenen Kleinste- Quadrate-Zuordnungen (bzgl. der euklidischen Metrik). Zunächst wird gezeigt, dass – wenn die Summe der quadrierten Distanzen minimiert wird – gleichzeitig auch die Sum- me der Skalarprodukte von Orten und Punkten maximiert wird.
Lemma 3.2.2 (Maximierung des Skalarprodukts)
Sei L : X → S eine kapazitätsgebundenen Kleinste-Quadrate-Zuordnung bzgl. der eukli- dischen Metrik und bzgl. einer Kapazitätszuordnung C :S →N0. Dann gilt:
X
x∈X
hx, L(x)i= max{X
x∈X
hx, A(x)i |A∈Kap(X, S, C)} (3.2)
Beweis Aus der Definition von Skalarprodukt und euklidischer Metrik folgt für alle A ∈ Abb(X, S):
X
x∈X
|x−A(x)|2 = X
x∈X
hx−A(x)), x−A(x)i (3.3)
= X
x∈X
(hx, xi+hA(x), A(x)i −2hx, A(x)i) (3.4)
= X
x∈X
hx, xi+X
x∈X
hA(x), A(x)i −2X
x∈X
hx, A(x)i (3.5) Für alle OrtszuordnungenA, die die Kapazitätsbedingung erfüllen, sind die ersten beiden Teilsummen aus Gleichung 3.5 konstant. Aus der Minimalität vonP
x∈X|x−A(x)|2 folgt
die Behauptung.
Die andere wichtige Eigenschaft besteht darin, dass eine kapazitätsgebundene Kleinste- Quadrate-Zuordnung invariant gegenüber Verschiebung und gleichförmiger Skalierung ist.
Die Invarianz wird in Abb.3.1 dargestellt: Bei jeweils gleicher Kapazitätsbedingung wur- den die Orte aus dem linken Diagramm im rechten Diagramm skaliert und verschoben, aber die Zuordnung bleibt dennoch die gleiche. Das nachfolgende Lemma formuliert diesen Sachverhalt.
s1
s3
s4
s2
s1
s3
s4
s2
a) b)
Abbildung 3.1: Invarianz unter Verschiebung und Skalierung: Durch Verschiebung und Ska- lierung der Orte in Diagramm a) entstehen die Orte in Diagramm b). Die kapazitätsgebundene Kleinste-Quadrate-Zuordnung bleibt gleich.
Lemma 3.2.3 (Invarianz unter Verschiebung und Skalierung)
Sei L:X →S eine kapazitätsgebundenen Kleinste-Quadrate-Zuordnung bzgl. der euklidi- schen Metrik und bzgl. einer Kapazitätszuordnung C :S →N0. Sei außerdem ein Skalie- rungsfaktorσ ∈R+und eine Translationτ ∈Rkgegeben. Sei fernerS0 ={σsi+τ |si ∈S}
die Menge von Orten, die aus S durch Skalierung und Translation entsteht. Dann ist die Ortszuordnung L0 : X → S0 mit L0(x) = σL(x) +τ eine kapazitätsgebundene Kleinste- Quadrate-Zuordnung bzgl. der euklidischen Metrik und bzgl. C.
