Stochastik und Pythagoras - 15 fertige Unterrichtsstunden

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Inhalt

Klippert Zeitgemäß unterrichten

Inhalt

Stochastik

Autorinnen und Autoren: Johanna Harnischfeger, Heike Hofmann, Sigrid Hohmeyer, Heiner Juen, Christa Juen-Kretschmer, Marion Rieder

LS 01 Reiner Zufall? 5

LS 02 Wahrscheinlichkeiten 8

LS 03 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 12

LS 04 Mehrstuige Zufallsversuche 19

LS 05 Ausgewählte Beispiele 25

LS 06 Selbsteinschätzung – Test 31

Pythagoras

Autorinnen und Autoren: Johanna Harnischfeger, Heike Hofmann, Sigrid Hohmeyer, Heiner Juen, Christa Juen-Kretschmer, Marion Rieder

LS 01 Rund um das rechtwinklige Dreieck 35

LS 02 Grundlagen zum Satz von Pythagoras 37

LS 03 Was zu beweisen wäre! 40

LS 04 Pythagoras in ebenen Figuren 42

LS 05 Überall Pythagoras? 45

LS 06 Pythagoras im Raum 47

LS 07 Individuelles Üben mit der Lernkartei 50

LS 08 Höhensatz und Kathetensatz von Euklid 55

LS 09 Pythagoras – Person, Leben, Umfeld 59

LS 10 Selbsteinschätzung – Test 62

Glossar 68

Herausgeber:

Johanna Harnischfeger Lehrerin für Mathe- matik, Physik und Informatik, Mitar- beiterin am LISUM Berlin

Heiner Juen Lehrer für Mathema- tik und Physik am Akademischen Gym- nasium Innsbruck, Mitarbeiter an der PH Tirol, Mitglied der Projektleitung „Ma- thematische Bildung“

des BMUKK

Autorinnen:

Heike Hofmann Konrektorin an der Regionalen Schule Salmtal, Lehrerin für Mathematik, Physik und Arbeitslehre, Trainerin für das Pro- jekt „Pädagogische Schulentwicklung“

für das EFWI Sigrid Hohmeyer Lehrerin für Mathe- matik und Physik, Mitarbeiterin am LISUM Berlin Christa

Juen-Kretschmer Leiterin des Institutes für Lehr- und Lern- kompetenz, Pädago- gische Hochschule Tirol (PHT), Lehrerin für Mathematik Marion Rieder Lehrerin für Mathe- matik, Sport und Gesellschaftslehre, Trainerin für das Pro- jekt „Pädagogische Schulentwicklung“

des EFWI in Rhein- land-Pfalz

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VORSC

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Inhalt

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Lerneinheit 1: Stochastik

Der Lern- und Arbeitsprozess

A Vorwissen und Voreinstellungen aktivieren

Die Lernspirale LS 01 dient zur Einstimmung der S. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff soll über die relative Häuigkeit intuitiv erarbeitet werden. Die betreffenden Arbeitsabläufe werden durch Pfeile angedeutet. Detailliertere Ausführungen dazu inden sich auf den nachfolgenden Seiten.

LS 01 Reiner Zufall?

u In einem Würfelexperiment Daten für relative Häuigkeiten ermitteln u Stabilisierung der relativen Häuigkeit erkennen u Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung erinnern bzw.

erlernen

B Neue Kenntnisse und Verfahrensweisen erarbeiten

Die Lernspiralen LS 02 bis LS 04 dienen der Erarbeitung neuer Inhalte. Die S lernen weitere Grund- begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennen, wenden diese an und lösen komplexere Aufga- ben mithilfe der Summen- und der Pfadregel.

LS 02 Wahrscheinlichkeiten

u Daten in einem Experiment zusammentragen, Vertiefen des Zusammenhangs zwischen relativer Häuigkeit und Wahrscheinlichkeit u Modelle für Laplace-Experimente in Gruppen erarbeiten u

Wahrscheinlichkeiten für Gleichverteilungen erkennen LS 03 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

u Grundbegriffe kennenlernen u Grundbegriffe anwenden, Wahrscheinlichkeiten in Gruppenarbeit berechnen u Beispiele in Einzelarbeit lösen u bereits Gelerntes überprüfen

LS 04 Mehrstuige Zufallsversuche

u Grundbegriffe kennenlernen u Grundbegriffe anwenden, Wahrscheinlichkeiten in Expertengrup- pen berechnen u über die unterschiedlichen Beispiele in Stammgruppen austauschen u Beispiele in Gruppen lösen u Überprüfung des bisher Gelernten

C Komplexere Anwendungs- und Transferaufgaben

Die Lernspiralen LS 05 und LS 06 dienen der zusammenfassenden Übung, der Erweiterung von Begriffen und der selbstständigen Überprüfung des bisher Gelernten.

LS 05 Ausgewählte Beispiele

u eigene Aufgaben zu vorgegebenen Situationen erstellen u Beispiele anderer Tandems auf ihre Richtigkeit überprüfen u erlernte Strategien anwenden

LS 06 Selbsteinschätzung – Test

u anhand eines Fragenkatalogs bisherigen Lernerfolg ermitteln u Aufgaben des Tests lösen und und tatsächliche Kenntnisse kritisch überprüfen

Abkürzungen und Siglen LS = Lernspirale LV = Lehrervortrag EA = Einzelarbeit PA = Partnerarbeit GA = Gruppenarbeit PL = Plenum HA = Hausarbeit/

Hausaufgabe M = Material L = Lehrerin oder

Lehrer S = Schülerinnen

und Schüler In den Erläuterungen zur Lernspirale wird für Lehrerinnen und Lehrer bzw. für Schü- lerinnen und Schüler ausschließlich die männliche Form verwendet. Dabei ist die weibliche Form stets mitgemeint.

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3

Inhalt

Hinweis zum Zeitansatz:

Eine Lernspirale ist für 90 (45) Minuten konzipiert. Je nach Größe und Leistungs- stärke der Lerngruppe muss der Zeitansatz, der im Stundenraster für jeden Arbeits- schritt ausgewiesen ist, entsprechend angepasst werden.

Lerneinheit 2: Pythagoras

Der Lern- und Arbeitsprozess

A Vorwissen und Voreinstellungen aktivieren

Die Lernspirale LS 01 dient der Einstimmung in das Thema und der selbstständigen Wiederholung der Kenntnisse über das rechtwinklige Dreieck.

LS 01 Rund um das rechtwinklige Dreieck

u mithilfe alter Schulhefte, in der Klasse bereitstehender Mathematikbücher und des Einsatzes von Computern das rechtwinklige Dreieck anhand der gestellten Fragen ins Gedächtnis rufen u

kurze Zusammenfassung erstellen

B Neue Kenntnisse und Verfahrensweisen erarbeiten

Die Lernspiralen LS 02 bis LS 07 dienen der Erarbeitung und Anwendung neuer Inhalte. Die S lernen den Satz von Pythagoras kennen, üben sich in Beweisführung, wenden den Satz in komplexeren Aufgaben an und erstellen eigenständig Aufgaben.

LS 02 Grundlagen zum Satz von Pythagoras

u über ein praktisches Experiment, dessen Grundlage die Arbeit der ägyptischen Seilspanner ist, ein pythagoreisches Tripel erkennen u durch vergleichendes Arbeiten mit rechtwinkligen und nicht rechtwinkligen Dreiecken selbstständig zur Lehrsatzformulierung gelangen

LS 03 Was zu beweisen wäre!

u unterschiedliche Beweise nachvollziehen u Beweis selbstständig wiedergeben LS 04 Pythagoras in ebenen Figuren

u übersichtliche Lernplakate erstellen u mögliche rechtwinklige Dreiecke in unterschiedlichen Vierecken aufinden u Dreiecksberechnung in diesen Vierecken erkennen und üben

LS 05 Überall Pythagoras?

u zu vorliegenden bzw. mitgebrachten Fotos selbstständig Textaufgaben erstellen u Berechnungen zu diesen praktischen Aufgaben überlegen und ausführen u Texte und Lösungen präsentieren LS 06 Pythagoras im Raum

u rechtwinklige Dreiecke in geometrischen Körpern (Quader, Pyramide) aufinden u Kantenmo- delle von Pyramiden mit Draht anfertigen u Anwendung des Satzes von Pythagoras im Raum festigen

LS 07 Individuelles Üben mit der Lernkartei

u unterschiedlich schwierige Beispiele in Einzelarbeit lösen u mit Lösungsblättern abgleichen u

eigene Lücken und Fehler erkennen u gegenseitig Hilfestellung leisten

C Komplexe Anwendungs- und Transferaufgaben

Die Lernspiralen LS 08, LS 09 und LS 10 dienen der Intensivierung von Beweisführungen, dem Kennenlernen der Person Pythagoras und seiner geschichtlichen Einordnung sowie der selbst- ständigen Überprüfung des bisher Gelernten.

LS 08 Höhensatz und Kathetensatz von Euklid

u verschiedene algebraische und geometrische Beweise zum Höhensatz und zum Kathetensatz kennenlernen u Beweise erarbeiten, visualisieren und präsentieren

LS 09 Pythagoras – Person, Leben, Umfeld

(fächerübergreifende Zusammenarbeit möglich: Deutsch, Geschichte, Musik, Geograie, ...) u Pythagoras als Person in einen geschichtlichen Zusammenhang bringen u Textarbeit bzw. Atlas-

arbeit u Kurzreferat mit Visualisierung LS 10 Selbsteinschätzung – Test

u anhand eines Fragenkatalogs bisherigen Lernerfolg ermitteln bzw. Lücken schließen u Aufgaben

des Tests lösen und tatsächliche Kenntnisse überprüfen

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Inhalt

4

Zeit Lernaktivitäten Material Kompetenzen

1 EA 10’ S füllen einen Steckbrief aus. M1.A1 – Stichpunkte machen

– Fragen in vollständigen Sätzen beantworten – Aussagen über die eigene

Person formulieren

2 PL/

PA

5’ S führen beim Spiel music stop Kennenlerndialoge und benutzen dabei zunächst Fragekärtchen als Hilfestellung.

M1.A2, M2

3 PL/

PA

5’ S setzen das Spiel ohne Fragekärtchen fort.

4 EA 5’ S bereiten einen Kurzvortrag über sich vor. M1.A3 5 GA 15’ Simultanpräsentation: S stellen sich in Gruppen vor.

6 PL 5’ Zwei S stellen sich vor der Klasse vor.

Arbeitsschritte Unterschiedliche Sozialformen

Kompetenzen, die die Schüler erwerben können Hinweise

zum Zeitbedarf

Vielfältige Lern- aktivitäten und Methodenanwen- dungen der Schüler

Verweis auf das Material und die Aufgaben in den Kopiervorlagen

Beispiel zum Aufbau der Lernspiralen

Verweis auf die Lern spirale und das Material

Verweis auf die Aufgabe in

A3

der Kopiervorlage

LS 01.M2

Notizen:

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LS 01

Lerneinheit 1: Stochastik

5

J. Harnischfeger (Hg.)/H. Juen (Hg.) © Klippert Medien

1 EA 10‘ S würfeln mit zwei Würfeln und erstellen eine Tabelle. Würfel, M1.A1

– Probleme mathematisch interpretieren und verbalisieren – mathematisch

argumentieren

– mathematische Fachsprache verwenden

– einfache mathematische Sachverhalte mündlich ausdrücken

2 GA 10’ S führen ihre Ergebnisse zusammen und versuchen, Tendenzen aus der Tabelle zu erkennen.

Kartenspiel, M1.A2 3 PL 5’ S geben ihre Erfahrungen wieder und stellen

Vermutungen an.

Schulheft 4 EA/

PA

15’ S lernen Grundbegriffe kennen. M1.A3,

Schulheft 5 PL 5’ Auftretende Fragen werden geklärt.

Erläuterungen zur Lernspirale

In dieser Lernspirale stellen die Schüler einen Zu- sammenhang zwischen relativer Häuigkeit und Wahrscheinlichkeit her. Sie lernen Grundbegriffe kennen; diese werden im Plenum vertieft.

Zum Ablauf im Einzelnen:

1. Arbeitsschritt: Die Schüler arbeiten in Einzelar- beit. Jeder Schüler würfelt mit zwei Würfeln, bildet die Augensumme beider Würfel und füllt die Tabel- le aus. Die Schüler ziehen Karten und setzen sich in Vierergruppen (4 Asse, 4 Könige, usw.) zusammen.

2. Arbeitsschritt: Die Schüler füllen die Tabelle gemeinsam aus, versuchen Tendenzen zu formulieren

und sollen dabei ihre Erfahrungen bezüglich des Würfelns mit zwei Würfeln einbringen.

3. Arbeitsschritt: Im Plenum werden Vermutungen geäußert, formuliert und eventuell aufgeschrieben.

4. Arbeitsschritt: Tischnachbarn erarbeiten die Grundbegriffe gemeinsam, sie notieren Fragen, um sie im Plenum stellen zu können.

5. Arbeitsschritt: Fragen der Schüler werden geklärt;

die Begriffe Ergebnis und Wahrscheinlichkeit werden hinterfragt und die Schüler erarbeiten sich eine Vor- stellung vom Begriff Wahrscheinlichkeit.

LS 01 Reiner Zufall?

Zu Arbeitsschritt 1:

Die S können auch häuiger als 20 Mal würfeln. Eventuell müssen Begriffe wie

„Strichliste“, „relative“ und „absolute Häuigkeit“ wieder- holt werden. Jeder S bringt zwei Würfel mit.

Wichtig ist, dass die S den Begriff Ergebnis (Ausfall, Ausgang) genau kennen.

Merkposten

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Notizen:

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Stochastik

LS 01.M1

01 Reiner Zufall?

A1

Würle zwanzigmal mit zwei Würfeln und trage jeweils bei der Summe der erwürfelten Augenzahlen (Augensumme) einen Strich in die Strichliste ein. Trage anschließend die absoluten Häuigkeiten in die Spalte darunter ein und berechne zudem die relativen Häuigkeiten.

Augensumme 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Strichliste

absolute Häuigkeit relative Häuigkeit

Vergleicht eure Zahlen in der Vierergruppe. Lässt sich eine Tendenz ablesen oder handelt es sich anscheinend eher um willkürliche Zahlen?

A2

Zählt nun in der Gruppe die absoluten Häuigkeiten zusammen und berechnet erneut die relativen Häuigkeiten. Damit erhaltet ihr eine Tabelle für 80 Versuche.

Tragt dann die Zahlen der Nachbargruppe gemeinsam mit euren Ergebnissen ein (insgesamt 160 Versuche) und zählt am Schluss alle Versuche der Klasse zusammen. Ist jetzt eine Tendenz erkennbar?

Augenzahl 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

80 Versuche absolute Häuigkeit relative Häuigkeit

160 Versuche absolute Häuigkeit relative Häuigkeit

Klassenergebnis ( Versuche) absolute Häuigkeit

relative Häuigkeit

relative Häufigkeit

= absolute Häufigkeit

__________ Gesamtzahl Erinnere dich:

Die absolute Häuig- keit gibt an, wie oft die einzelne Augen- summe aufgetreten ist.

Die relative Häuig- keit gibt den Anteil der jeweiligen Augensumme an der Gesamtzahl aller Würfe an.

Bei einem Zufalls- experiment sind mehrere Ergeb- nisse (Ausgänge) möglich.

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25

Stochastik LS 05

1 PA 30‘ S entwerfen eigene Aufgaben zu vorgegebenen Situa- tionen und machen dazu Lösungsvorschläge. S fertigen Plakate zu ihren Aufgaben an.

M1.A1, Plakate,

Stifte

– Probleme selbst formulieren – mathematisch modellieren – Probleme bearbeiten, deren

Lösung die Anwendung von Strategien erfordern – Fragen stellen, die für die

Mathematik charakteristisch sind und Vermutungen äußern – auf Äußerungen von anderen

zu mathematischen Inhalten eingehen

– Äußerungen von anderen zu mathematischen Inhalten bewerten

– mit Fehlern konstruktiv umgehen 2 PA 20’ S überprüfen die Beispiele der Mitschüler auf ihre Ver-

ständlichkeit, überprüfen Lösungen, beurteilen Aufgaben und schreiben Kommentare oder Verbesserungsvorschläge.

M1.A2 Klebezettel,

rote, gelbe und grüne Klebepunkte 3 PA 15’ S setzen sich jeweils mit Kommentaren zu ihren eigenen

Aufgaben auseinander und arbeiten Verbesserungsvor- schläge in ihre Aufgaben ein.

Nach Bedarf können die in der Klasse erstellten Beispiele zu Übungszwecken verwendet werden.

M1.A3

4 GA/

PL

15’ S entwickeln eine Strategie zur Lösung bestimmter Auf- gabentypen. Lösungsvorschläge werden vorgestellt und diskutiert.

M1.A4, Folie, Stifte 5 GA/

PL

20‘ S entwerfen Hypothesen und einigen sich in der Gruppe auf Lösungsvorschläge. Ihre Vorschläge überprüfen sie mithilfe einer Deinition. S klären ihre Standpunkte in einer Plenardiskussion. Anhand eines Beispiels überprüfen die S, ob sie das Gelernte anwenden können.

M1.A5–6

6 PA/

GA

30‘ S setzten sich mit komplexen Aufgaben auseinander, entwickeln Strategien, diskutieren Lösungen und führen Simu- lationen durch. In der GA werden die Lösungen verglichen und diskutiert.

M1.A7–8

7 PL 30‘ Einzelne Gruppenergebnisse werden an der Tafel präsen- tiert, auftretende Fragen werden geklärt.

Tafel

Erläuterungen zur Lernspirale

Die Schüler wenden bisher Gelerntes an. Die Arbeits- anweisungen stehen in den Aufgaben.

1. Arbeitsschritt: Es werden Partnergruppen gebildet. Die Schüler arbeiten den Arbeitsauftrag ab. Pla- kate werden entworfen und aufgehängt.

2. Arbeitsschritt: Die Schüler besuchen je nach Zeit- aufwand 3 – 5 Plakate.

3. Arbeitsschritt: Die Schüler überarbeiten ihre Auf- gaben anhand der Klebezettelchen an den Plaka- ten und schreiben die Endfassung auf. Bei Bedarf werden fremde Arbeitsblätter geholt und Beispiele daraus nachgerechnet. Werden vermeintliche Feh- ler entdeckt, setzen sich Erstellergruppe und Bear- beiter zusammen und besprechen diese.

4. Arbeitsschritt: Der Arbeitsauftrag wird in einer Dreiergruppe (Bildung durch Auslosung) abgearbeitet. Mithilfe der erstellten Folien werden die Lösungsvorschläge präsentiert und im Plenum dis-

kutiert. Die kürzeste Variante wird ermittelt. Die Rei- henfolge der Präsentation wird ausgelost.

5. Arbeitsschritt: Es werden Vierergruppen gebildet (Losentscheid). Der Arbeitsauftrag M1.A5 wird abgearbeitet. Im anschließenden Plenum werden die verschiedenen Vorschläge unter Leitung des Lehrers diskutiert und die Begriffe erklärt. Anschlie- ßend bearbeiten die M1.A6.

6. Arbeitsschritt: Die beiden Aufgaben werden zu- nächst in PA bearbeitet, zwei Partnerteams bilden dann eine Vierergruppe, in denen die Lösungen verglichen und diskutiert werden.

7. Arbeitsschritt: M1.A7 wird von einer ausgelosten Gruppe an der Tafel entwickelt und dabei erklärt.

Der Lehrer bereitet an der Tafel Tabellen wie in M1.A8 vor, in die die Schüler ihre Ergebnisse ein- tragen, um zu einem Klassenergebnis zu kommen.

Beide Aufgaben werden im Plenum diskutiert; vor allem soll das Ziegenproblem ausführlich behan- delt werden.

LS 05 Ausgewählte Beispiele

Zu Arbeitsschritt 1–3:

S darauf hinweisen, dass die Arbeitsauf- träge genau gelesen werden. Eventuell können sie vor Arbeitsbeginn noch einmal besprochen werden.

Bevor die Endfassung aufgeschrieben wird, kann sie dem L zur Kontrolle vorgelegt werden. Die verschiedenen Beispiele kön- nen dann unter den S ausgetauscht und zur Übung verwendet werden.

Merkposten

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Stochastik

LS 05.M1

A1

Bearbeite die Aufgaben a) bis c) mit deinem Partner oder deiner Partnerin zunächst im Schulheft, dort habt ihr genügend Platz zum Probieren. Sind die Aufgaben eurer Meinung nach richtig gestellt, schreibt sie untereinander auf ein Plakat. Lasst neben den Aufgaben bitte genügend Platz, damit eure Mitschüler Kommentare dazuschreiben können. Dieses Plakat hängt ihr dann in der Klasse auf.

Beachte: Die Zeilen unter den Aufgaben bleiben zunächst noch leer.

a) Erindet zu dem folgenden Baumdiagramm eine Aufgabe aus dem Alltag mit zwei Fragen und schreibt die Lösung dazu.

05 Ausgewählte Beispiele

Diese Zeilen werden erst beim Bearbeiten der Aufgabe A3 ausgefüllt.

Unsere Aufgabe:

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VORSC

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Stochastik

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LS 05.M1

A4

Stephan behauptet, ein Pechvogel zu sein und möchte die Regel beim Mensch-ärgere-dich-nicht-Spiel än- dern. Er möchte mit einer 1 statt mit einer 6 starten dürfen; wie bei dem Spiel üblich, hat er drei Versuche.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit gelingt der Start?

Daniela indet, dass das vollständige Baumdiagramm fürchterlich groß wird. Wie viele Pfade sind es eigentlich? Ihr könnt helfen: Findet das „kürzeste“ Baumdiagramm? Schreibt und zeichnet zunächst in euer Schulheft. Schreibt eure fertige Lösung anschließend auf eine Folie.

A5

Bei einem Glücksspiel können zwei Kugeln mit einem Griff aus einem Behälter gezogen werden. In dem Behälter sind 5 Kugeln mit der Zahl 2; 3 Kugeln mit der Zahl 5 und eine Kugel mit der Zahl 10 beschriftet.

Die Summe der auf den beiden gezogenen Kugeln stehenden Zahlen wird gebildet. Erstellt ein Baumdia- gramm und gebt die Wahrscheinlichkeitsverteilung an:

Summe

Wahrscheinlichkeit

Die 10-fache Summe der Zahlen wird als Gewinn in Cent ausbezahlt. Daher ergibt sich folgende Gewinnta- belle:

Gewinn

Wahrscheinlichkeit

Nimm Stellung zu folgenden Fragen:

• Wie oft wird bei 1000 Spielen der Betrag von 150 Cent in etwa ausbezahlt werden?

• Stell dir vor, du hast das Spiel 100-mal gespielt. Was stellst du dir unter dem mittleren Gewinn bei 100 Spielen vor?

• Du sollst eine Prognose für den zu erwartenden Gewinn abgeben. Wie würdest du den zu erwartenden Gewinn für ein Spiel berechnen?

• Stell dir vor, du betreibst dieses Spiel. Dann musst du einen Einsatz von jedem Spieler und jeder Spiele- rin verlangen, um damit zu verdienen? Wie hoch musst du den Einsatz mindestens ansetzen, um keinen Verlust zu machen?

• Wie ändert sich die Gewinntabelle für einen Spieler, wenn der Einsatz 80 Cent beträgt? Wie hoch wird jetzt der zu erwartende Gewinn?

Oft werden nur Pfade gezeich- net, die von Inte- resse sind. Pfade müssen auch nicht immer voll- ständig sein. Zu einem solchen Diagramm sagt man Teilbaum- diagramm oder einfach auch Baumdiagramm.

Du weißt ja:

„Mit einem Griff„

heißt „hinter- einander ohne Zurücklegen“.

Suche das Problem von Che- valier De Méré im Internet.

Erinnere dich:

Die Wahrschein- lichkeit kann als relative Häuig- keit interpretiert werden.

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Stochastik LS 05.M1

Aus dem Lexikon:

Der zu erwartende Gewinn pro Spiel wird berechnet, indem man die einzelnen möglichen Gewinne mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten multipliziert und anschließend die Summe der Produkte bildet.

Ein Spiel wird als fair bezeichnet, wenn der zu erwartende Gewinn den Wert 0 hat.

Berechnet den zu erwartenden Gewinn bei obigem Spiel, falls ihr das Ergebnis nicht schon wisst.

A6

In einer Urne sind 10 Kugeln mit den Zahlen 0 bis 9. Eine Kugel wird gezogen. Zieht man eine 0 oder eine 1 oder eine 9, so gewinnt man 5 €. Zieht man eine 4 oder eine 6 oder eine 8, so gewinnt man 3 €. Zieht man dagegen eine Primzahl, so muss man 4 € bezahlen (Verlust). Mit welchem mittleren Gewinn oder Verlust kann man als Spieler rechnen? Wie viel muss man nach dem Ziehen einer Primzahl bezahlen, damit das Spiel fair wird?

A7

Silke spielt mit Frank und Lara Tennis. Gegen Frank gewinnt Silke einen Satz mit der Wahrscheinlichkeit 0,7 und gegen Lara gewinnt sie einen Satz mit der Wahrscheinlichkeit 0,4. Silke spielt nun drei Sätze, wo- bei nach jedem Satz der Gegenspieler wechselt. Silke gewinnt das Match, wenn sie zwei Sätze hinterei- nander gewinnt. Welche Reihenfolge (Lara-Frank-Lara oder Frank-Lara-Frank) wird Silke wählen? Wie hoch ist ihre Gewinnwahrscheinlichkeit? Wie groß ist der Unterschied der Gewinnwahrscheinlichkeit bei den beiden Möglichkeiten?

Bei einem fairen Spiel ist die Summe deiner Einsätze lang- fristig genau so hoch wie die an dich insgesamt ausbezahlten Gewinne.

Erinnere dich:

Die kleinste Prim- zahl ist 2.

Vielleicht brauchst du zwei Baum-dia- gramme.

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HAU

(11)

31

Stochastik LS 06

LS 06 Selbsteinschätzung – Test

1 EA 10‘ Die S schätzen ihr Wissen anhand des Bogens selbst ein. M1 – kritisch das eigene Können hinterfragen

– Lösungsstrategien entwickeln – mathematisch argumentieren – aktiv zuhören

– evtl. Verbesserungen oder Ergän- zungen an den eigenen Aufzeich- nungen vornehmen

2 EA 30’ Die S bearbeiten die Aufgaben. M2,

DIN-A4-Blatt 3 GA 40’ Die S vergleichen, verbessern, diskutieren ihre Lösungen

(evtl. mithilfe des Lösungsbogens).

M3 4 PL 10’ Ungeklärte Probleme werden im Plenum besprochen.

Erläuterungen zur Lernspirale

In dieser Lernspirale überprüfen die Schüler ihr Wissen.

1. Arbeitsschritt: Die Schüler schätzen mithilfe des Bogens ihr Können ein.

2. Arbeitsschritt: Die Schüler lösen die Aufgaben des Tests.

3. Arbeitsschritt: In Gruppen werden die Lösungs- wege und Ergebnisse verglichen und diskutiert.

4. Arbeitsschritt: Noch bestehende Probleme kön- nen im Plenum erläutert werden.

Notizen:

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HAU

(12)

55

Pythagoras

LS 08

1 PL 15’ S folgen dem Lehrervortrag anhand der Zeichnungen im zu den beiden Sätzen.

Information auf M1

– aus Graiken und Abbildungen Informationen entnehmen – mathematische Sachverhalte

mündlich und schriftlich ausdrücken

– Beweisführung nachvollziehen und erarbeiten

– Sachverhalte visualisieren – mit Computeranimation

umgehen 2 EA 15’ S erarbeiten jeweils einen der vier Beweise zu den beiden

Sätzen.

M1.A1–4 3 PA 15’ Je zwei S erklären sich gegenseitig ihre beiden Beweise

zu ihrem Satz und relektieren die unterschiedlichen Mög- lichkeiten der Beweisführung.

4 GA 25’ S visualisieren die beiden Beweise auf einem Plakat. M1.A5–6, Plakatpapier, Stifte, Kleber 5 PL 15’ S tragen als Gruppe anhand des Plakates die Beweise vor.

6 EA 5’ S vervollständigen das Arbeitsblatt. M1.A1–4

Erläuterungen zur Lernspirale

In dieser Lernspirale bearbeiten die Schüler geometrische und algebraische Möglichkeiten zur Be- weisführung des Höhen- und des Kathetensatzes.

1. Arbeitsschritt: Der Lehrer führt in einem Kurz- vortrag mit anschaulicher Skizze an der Tafel in die Lehrsätze ein. Sitznachbarn formulieren gemeinsam Fragen.

2. Arbeitsschritt: Die Schüler zählen ab; immer von 1 bis 4, damit werden Sie den vier Beweisen zuge- ordnet (1 = Kathetensatz algebraisch, 2 = Höhen- satz alge braisch. usw.). Jeder Schüler erarbeitet den Beweis in EA und ergänzt die Lücken.

3. Arbeitsschritt: Je 2 Schüler mit verschiedenen Be- weisen zum gleichen Satz erklären sich gegenseitig ihre Beweisführung.

4. Arbeitsschritt: In Vierergruppen (je ein Tandem zum Höhensatz und ein Tandem zum Kathetensatz) klären die Schüler noch offene Fragen und gestal- ten ein anschauliches Plakat zu ihrem Satz.

5. Arbeitsschritt: Zwei ausgeloste Gruppen präsen- tieren die beiden Beweise zum jeweiligen Satz und stehen für Fragen zur Verfügung.

6. Arbeitsschritt: Die Schüler vervollständigen das Arbeitsblatt.

LS 08 Höhensatz und Kathetensatz von Euklid

Notizen:

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(13)

Pythagoras

56

A1 Algebraischer Beweis zum Höhensatz:

Setze den Satz von Pythagoras als bekannt voraus.

1. Schritt: Ausgangsformel: Pythagoras im Dreieck ABC: c² =

2. Schritt: Stelle für alle weiteren rechtwinkligen Dreiecke (siehe Skizze in der Randspalte) den Satz von Pythagoras auf:

a² = b² =

damit gilt:

h² = und h² =

also gilt 2h² =

Ersetze a² + b² mithilfe der Formel aus dem 1. Schritt:

2 h² =

3. Schritt: Ersetze c durch die Summe der Hypotenusenabschnitte:

somit gilt 2h² = und damit gilt: h² =

LS 08.M1

Sowohl der Satz von Pythagoras als auch der Höhensatz und der Kathetensatz von Euklid beschäftigen sich mit Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck. Alle drei Sätze bilden die so genannte „Satzgruppe von Pythagoras“.

Höhensatz von Euklid: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe lächeninhaltsgleich dem Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten.

h² = p · q

Kathetensatz von Euklid: In jedem rechtwinkligen Dreieck hat ein Quadrat über einer Kathete denselben Flächeninhalt wie das Rechteck aus Hypotenuse und dem der Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt:

a² = c · q b² = c · p

08 Höhensatz und Kathetensatz von Euklid

Euklid von Alexandria (um 325 v. Chr.) war einer der bekanntesten Mathematiker der Antike. Über sein Leben ist wenig bekannt. Sein berühmtestes Werk

„Elemente“ – eine Zu- sammenfassung des damaligen Wissens – beeinlusste über zwei Jahrtausende die Mathematiker.

Was heißt eigentlich

„algebraisch“?

b²

A

C

B a²

q · c p · c

p q

p · q q

h h²