Übung zur Vorlesung

Lehrstuhl für Informatik 1 WS 2019/20

Prof. Dr. Gerhard Woeginger 18.10.2019

Tim Hartmann, Daniel Wiebking

Übung zur Vorlesung

Berechenbarkeit und Komplexität

Blatt 2

Tutoriumsaufgabe 2.1

Gegeben sei die Turingmaschine M = ({q₁, q₂, q₃},{0,1},{0,1, B}, B, q₁, q₂, δ) mitδ wie folgt:

0 1 B

q₁ (q₃,1, N) (q₁,0, R) (q₂, B, L) q3 (q1,0, L) (q3,1, L) (q1, B, R)

Berechnen Sie die Gödelnummer hMi von M wie in der Vorlesung definiert.

In den folgenden Tutoriumsaufgaben ist esnichtnotwendig, die Turingmaschinen explizit an- zugeben. Eine Beschreibung ihrer Arbeitsweise und Laufzeit in den einzelnen Arbeitsschritten genügt.

Tutoriumsaufgabe 2.2

Für ein Wort w=w₁w₂. . . w_n mit w_i ∈Σ bezeichnet w⁻¹ =w_nw_n−1. . . w₁ das Wort w rückwärts gelesen. Sei L={ww⁻¹ |w∈Σ^∗} über dem AlphabetΣ ={0,1}.

Beschreiben Sie eine möglichst effiziente 1-Band-TM, die Lentscheidet. Analysieren Sie den Zeit- und den Speicherplatzbedarf der von Ihnen entworfenen Maschine.

Tutoriumsaufgabe 2.3

Beschreiben Sie eine 1-Band-TM, die die Sprache L = {0ⁿ1ⁿ | n ∈ N} mit einem Zeitbedarf in O(mlogm)entscheidet, wobei m die Länge der Eingabe bezeichnet.

— bitte wenden —

Hausaufgabe 2.1 (4 Punkte) SeiM = (Q,Σ,Γ, B, q₀,q, δ)¯ eine1-Band-TM, deren Speicherbedarf für eine Eingabe der Länge n ≥1maximal 42n beträgt. Zeigen Sie:

(a) M erreicht bei Eingabe w mit Länge n ≥ 1 höchstens |Q| · |Γ|⁴²ⁿ·42n Konfigura- tionen.

(b) Falls M auf Eingabe w mit Länge n ≥ 1 terminiert, dann hält M auf w nach höchstens |Q| · |Γ|⁴²ⁿ·42n Schritten.

In den folgenden Hausaufgaben ist es nicht notwendig, die Turingmaschinen explizit anzu- geben. Eine Beschreibung ihrer Arbeitsweise und Laufzeit in den einzelnen Arbeitsschritten genügt.

Hausaufgabe 2.2 (4 Punkte)

Für ein Wort w=w₁w₂. . . w_n mit w_i ∈Σ bezeichnet w⁻¹ =w_nwn−1. . . w₁ das Wort w rückwärts gelesen. Sei L={ww⁻¹ |w∈Σ^∗} über dem AlphabetΣ ={0,1}.

Beschreiben Sie eine möglichst effiziente 2-Band-TM, die Lentscheidet. Analysieren Sie den Zeit- und den Speicherplatzbedarf der von Ihnen entworfenen Maschine.

Hinweis: Überlegen Sie sich zuerst, wie ein zweites Band die Erkennung eines Wortes in Lschneller machen kann.

Hausaufgabe 2.3 (4 Punkte)

Eine TM mit einseitig unendlichem Band ist eine 1-Band-TM, die die Positionen p <0 nie benutzt (und mit dem Kopf auf Position 1) startet. Zeigen Sie, dass jede 1-Band- TM (mit Akzeptieren oder Verwerfen als Ausgabe) durch eine 1-Band-TM mit einseitig unendlichem Band simuliert werden kann. Geben Sie ein möglichst effiziente Simulation.

Geben Sie den Zeitverlust ihrer Simulation an, daher falls die simulierte TMt(n)Schritte läuft, wie viele Schritte benötigt ihre Simulation (asymptotisch) abhängig von t(n)?

Abgabe bis Mittwoch, den 30.10.2019 um 14:00 Uhr

im Sammelkasten am Lehrstuhl i1 oder vorher in Ihrem Tutorium.