eMail:herbert.henning@mathematik.uni-magdeburg.dechristian.hartfeldt@t-online.de HerbertHenning,ChristianHartfeldt Muster,Fl¨achen,Parkettierungen—Anregungenf¨ureinenkreativenMathematikunterricht

(1)

Mathematische Grundlagen der Parkettierungen M. C. Escher – Parkettierung als regelm¨aßige Fl¨achenaufteilung

Das Penrose-Parkett Tangram - eine etwas ”andere” Parkettierung Parkettieren als ”Spiel mit Fl¨achen” in der Geometrie Entdeckungen zu Parkettierungen der Ebene Interessante Aufgaben zur Parkettierung

Muster, Fl¨ achen, Parkettierungen — Anregungen f¨ ur einen kreativen Mathematikunterricht

Herbert Henning, Christian Hartfeldt

Fakult¨ at f¨ ur Mathematik Otto-von-Guericke-Universit¨ at Magdeburg

eMail: herbert.henning@mathematik.uni-magdeburg.de

christian.hartfeldt@t-online.de

(2)

Inhalt

1 Mathematische Grundlagen der Parkettierungen

2 M. C. Escher – Parkettierung als regelm¨ aßige Fl¨ achenaufteilung

3 Das Penrose-Parkett

4 Tangram - eine etwas ”andere” Parkettierung

5 Parkettieren als ”Spiel mit Fl¨ achen” in der Geometrie

6 Entdeckungen zu Parkettierungen der Ebene

7 Interessante Aufgaben zur Parkettierung

(3)

Inhalt

1 Mathematische Grundlagen der Parkettierungen

2 M. C. Escher – Parkettierung als regelm¨ aßige Fl¨ achenaufteilung

3 Das Penrose-Parkett

4 Tangram - eine etwas ”andere” Parkettierung

5 Parkettieren als ”Spiel mit Fl¨ achen” in der Geometrie

6 Entdeckungen zu Parkettierungen der Ebene

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Inhalt

1 Mathematische Grundlagen der Parkettierungen

2 M. C. Escher – Parkettierung als regelm¨ aßige Fl¨ achenaufteilung

3 Das Penrose-Parkett

4 Tangram - eine etwas ”andere” Parkettierung

5 Parkettieren als ”Spiel mit Fl¨ achen” in der Geometrie

6 Entdeckungen zu Parkettierungen der Ebene

7 Interessante Aufgaben zur Parkettierung

(5)

Inhalt

1 Mathematische Grundlagen der Parkettierungen

2 M. C. Escher – Parkettierung als regelm¨ aßige Fl¨ achenaufteilung

3 Das Penrose-Parkett

4 Tangram - eine etwas ”andere” Parkettierung

5 Parkettieren als ”Spiel mit Fl¨ achen” in der Geometrie

6 Entdeckungen zu Parkettierungen der Ebene

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Inhalt

1 Mathematische Grundlagen der Parkettierungen

2 M. C. Escher – Parkettierung als regelm¨ aßige Fl¨ achenaufteilung

3 Das Penrose-Parkett

4 Tangram - eine etwas ”andere” Parkettierung

5 Parkettieren als ”Spiel mit Fl¨ achen” in der Geometrie

6 Entdeckungen zu Parkettierungen der Ebene

7 Interessante Aufgaben zur Parkettierung

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Inhalt

1 Mathematische Grundlagen der Parkettierungen

2 M. C. Escher – Parkettierung als regelm¨ aßige Fl¨ achenaufteilung

3 Das Penrose-Parkett

4 Tangram - eine etwas ”andere” Parkettierung

5 Parkettieren als ”Spiel mit Fl¨ achen” in der Geometrie

6 Entdeckungen zu Parkettierungen der Ebene

(8)

Inhalt

1 Mathematische Grundlagen der Parkettierungen

2 M. C. Escher – Parkettierung als regelm¨ aßige Fl¨ achenaufteilung

3 Das Penrose-Parkett

4 Tangram - eine etwas ”andere” Parkettierung

5 Parkettieren als ”Spiel mit Fl¨ achen” in der Geometrie

6 Entdeckungen zu Parkettierungen der Ebene

7 Interessante Aufgaben zur Parkettierung

(9)

Das regul¨are Vieleck Konstruktion einesn-Eckes Einbeschriebenen-Ecke Umbeschriebenen-Ecke Parkettierung mit einer Fl¨ache

Inhalt

1 Mathematische Grundlagen der Parkettierungen

2 M. C. Escher – Parkettierung als regelm¨ aßige Fl¨ achenaufteilung

3 Das Penrose-Parkett

4 Tangram - eine etwas ”andere” Parkettierung

5 Parkettieren als ”Spiel mit Fl¨ achen” in der Geometrie

6 Entdeckungen zu Parkettierungen der Ebene

(10)

Mathematische Grundlagen der Parkettierungen

In der Mathematik versteht man unter einer Parkettierung die

¨

uberlappungsfreie, vollst¨ andige ¨ Uberdeckung der Ebene mit

zueinander kongruenten regelm¨ aßigen Polygonen, wobei das

Muster an allen Ecken gleich aussehen soll.

(11)

Das regul¨ are Vieleck

Betrachtet man Ornamente oder gefließte Fussb¨ oden bzw. W¨ ande,

so stellt man fest, dass diese, wegen ihres ¨ asthetischen Reizes

regelm¨ aßige Vielecke besitzen. In der Natur findet man die Formen

von regul¨ aren Sechsecken z. B. bei Bienenwaben wieder.

(12)

Definition

Ein Vieleck heißt regul¨ ar, wenn

alle Seiten gleich lang und

alle Innenwinkel

gleich groß sind.

(13)

Aus der Definition folgt Theorem

Jedes regul¨ are Vieleck (n-Eck) besteht aus n-kongruenten gleichschenkligen Dreiecken. Ein solches Dreieck, das diese Bedingung erf¨ ullt, wird als Bestimmungsdreieck bezeichnet.

Da drei benachbarte Ecken einen Umkreis mit Mittelpunkt M haben gilt ∆AMB ∼ = ∆BMC .

Bestimmungsdreieck

(14)

Wird M mit der n¨ achsten Ecke (D) verbunden, so entsteht das Dreieck ∆CMD und dieses ist nach dem Kongruenzsatz zu den anderen Dreiecken kongruent. Fahre mit den anderen Ecken so fort

und es folgt die Behauptung.

F¨ ur den Innenwinkel µ gilt allgemein µ = ³⁶⁰ _n

^◦

, ist also proportional zu _n ¹ , also

µ ∝ 1

n .

F¨ ur ein Sechseck ist also µ = 60 ^◦ . Damit ergibt sich zwangsl¨ aufig f¨ ur den Winkel α

α = 180 ^◦ − µ = 180 ^◦ − 360 ^◦

n = 180 ^◦ · n − 360 ^◦

n = n − 2

n · 180 ^◦ .

Speziell f¨ ur ein Sechseck ergibt sich α = 120 ^◦ .

(15)

In der folgenden Tabelle werden die Innenwinkel f¨ ur spezielle Anzahlen von Ecken dargestellt.

Anzahl der Ecken:

3 4 5 6 8 9 10 12

Innen- winkel α:

60

^◦

90

^◦

108

^◦

120

^◦

135

^◦

140

^◦

144

^◦

150

^◦

(16)

Konstruktion eines n-Eckes

Im Folgenden wollen wir der Frage nachgehen, wie man ein regelm¨ aßiges Vieleck konstruiert. Kennt man den

Mittelpunktswinkel µ _n , dann kann ein regelm¨ aßiges Vieleck konstruiert werden. Da sich Winkel verdoppeln bzw. halbieren lassen und man ein n-Eck konstruieren kann, dann kann man auch ein n-Eck mit doppelter Eckenzahl konstruieren. Bei allen

Konstruktionen beginnt man am besten mit dem Umkreis. Im

Folgenden wollen wir dies f¨ ur verschiedene F¨ alle demonstrieren.

(17)

Quadrat

Dieses Verfahren ist auch als 4er Serie bekannt. Zun¨ achst konstruiert man den Umkreis und f¨ allt Lote, die man vom Mittelpunkt M auf die Quadratseite f¨ allt. Diese schneiden den Kreis in den Ecken des Achteckes. Damit ergibt sich

(18)

Sechseck

Dieses Verfahren ist auch als 3er Serie bekannt. Die

Bestimmungsdreiecke sind gleichseitig. Somit muss eine Seite so lang sein, wie der Radius. Das Sechseck erh¨ alt man aus dem gleichseitigen Dreieck, indem man die ¨ ubern¨ achsten Ecken verbindet. F¨ allt man die Lote, so erh¨ alt man das Zw¨ olfeck.

Das 3-Eck, 6-Eck und 12-Eck

(19)

Zehneck

Dieses Verfahren ist auch als 5er Serie bekannt. In dem Bestimmungsdreieck f¨ ur das Zehneck stellt man fest, dass die Dreiecke ∆MAB und ∆ABT ¨ ahnlich sind. Es gilt somit

M

s

r s r

T

(20)

Zehneck

r

s = s

r − s ⇔ r

²

−rs = s

²

⇔ r

²

+ r 2

²

= s

²

+rs+ r 2

²

⇔ r

²

+ r 2

²

= s + r

2

²

. r, ^r ₂ und s + ^r ₂ lassen sich nach dem Satz von Pythagoras als

Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks deuten. Die Konstruktion der Seite s des Zehnecks, bei bekanntem Umkreisradius, entnehme man der Zeichnung.

Zur Konstruktion des Zehnecks

(21)

Zehneck

Auch hier wieder ist das Zehneck Ausgangsfigur f¨ ur das 5- und 20-Eck.

(22)

Einbeschriebene n-Ecke

Der Unterschied zwischen einbeschriebenem und umbeschriebenem n-Eck am

Beispiel des F¨ unfecks

(23)

Aus den Zeichnungen liest man sofort f¨ ur das Sechseck

Die Seitenl¨ ange f¨ ur das Viereck, Sechseck und Zehneck

(24)

s 6 = 1, f¨ ur das Viereck

s ₄ = √ 2 und f¨ ur das Zehneck gilt

1 + 1

2 2

=

s ₁₀ + 1 2

2 ⇒ s ₁₀ =

√ 5 − 1

2 .

Erstaunlich hierbei ist, dass die L¨ ange von s 10 das Verh¨ altnis des

Goldenen Schnittes darstellt.

(25)

Umbeschriebene n-Ecke

Auch hier werden die ¨ Ahnlichkeitss¨ atze f¨ ur die Seite t n angewandt.

Es gilt

t _n : s _n = 1 : c n

2 ⇒ t _n = 2 s n

c _n .

Darstellung der H¨ ohe

(26)

Parkettierung mit einer Fl¨ ache

Theorem

Eine l¨ uckenlose Parkettierung ohne Uberschneidungen ist nur mit ¨

den regul¨ aren n-Ecken f¨ ur n = 3, 4, 6 m¨ oglich.

(27)

”Entdeckungen” am Escher-Parkett ”Reptilien”

Geometrische Betrachtungsweise Realisierung der Kn¨upfmuster

Inhalt

1 Mathematische Grundlagen der Parkettierungen

2 M. C. Escher – Parkettierung als regelm¨ aßige Fl¨ achenaufteilung

3 Das Penrose-Parkett

4 Tangram - eine etwas ”andere” Parkettierung

5 Parkettieren als ”Spiel mit Fl¨ achen” in der Geometrie

6 Entdeckungen zu Parkettierungen der Ebene

(28)

Escher

Das zentrale mathematische Thema von M. C. Escher war die

” regelm¨ aßige Fl¨ achenaufteilung“.

Eine Fl¨ ache, die man sich nach allen Seiten unbegrenzt fortgesetzt vorstellen muss, kann nach einer beschr¨ ankten Zahl von

bestimmten Systemen bis ins Unendliche aufgef¨ ullt werden oder aufgeteilt werden in gleichf¨ ormige mathematische Figuren, die sich an allen Seiten begrenzen ohne das

” leere Stellen“¨ ubrigbleiben.

In mathematischer Sprechweise handelt es sich bei den

” regelm¨ aßigen Fl¨ achenaufteilungen“um Parkette. Dabei ist ein Parkettstein, (bei Escher ein

” Motiv“) eine beliebige Teilmenge

der Ebene, die sich durch umkehrbare stetige Deformation aus

einer abgeschlossenen Kreisscheibe herstellen l¨ asst, die also zu

einer solchen Kreisscheibe hom¨ oomorph ist.

(29)

Bei der abgebildeten Symmetriezeichnung Nr. 25 Eschers hat der einzelne Parkettstein die Form eines Reptils. Offensichtlich ¨ uberdecken diese Reptilien die Ebene l¨ uckenlos und ¨ uberlappungsfrei und das Muster ist in zwei verschiedenen Richtungen periodisch, was man m¨ uhelos an den Richtungen erkennt, in denen sich jeweils Tiere gleicher Farbe wiederholen. Weiterhin kann man offensichtlich jedes Tier einer

bestimmten Farbe durch eine Parallelverschiebung des gesamten Musters

auf jedes vorgegebene Tier derselben Farbe abbilden. Weiterhin lassen

120

^◦

-Drehungen um jeden Punkt, an dem jeweils drei Pfoten, Knie oder

K¨ opfe verschiedenfarbiger Tiere zusammenstoßen, das gesamte Muster

(unter Vernachl¨ assigung der F¨ arbung!) unver¨ andert. Daher l¨ aßt sich

auch jedes Tier einer Farbe auf jedes benachbarte Tier einer anderen

(30)

Reptilien

(31)

Geometrische Betrachtungsweise

Man kann die Punkte auf dem Rand eines einzelnen Parkettsteins danach bewerten, zu wie vielen verschiedenen Parkettsteinen im Parkett sie geh¨ oren. Man bezeichnet Punkte, die zu mindestens drei verschiedenen Parkettsteinen geh¨ oren, als Eckpunkte und Punkte, die zu zwei Parkettsteinen geh¨ oren, als Kantenpunkte.

Eine Kante ist dann eine zusammenh¨ angende Linie aus

Kantenpunkten, die genau zwei Eckpunkte miteinander verbindet.

(32)

An einer Kante stoßen also genau zwei Parkettsteine aneinander.

Das System aus Kanten und Ecken eines Parketts kann man sich sehr gut als

” Netz“vorstellen mit den Eckpunkten als

” Knoten“.

Uml¨ auft man nun einen einzelnen Parkettstein (etwa im

Uhrzeigersinn) und notiert f¨ ur jeden Eckpunkt seinen Wert, so

erh¨ alt man eine Sequenz von nat¨ urlichen Zahlen, die bis auf

zyklische Vertauschungen f¨ ur alle Parkettsteine desselben Parketts

dieselbe ist. Man bezeichnet diese Sequenz auch als Kn¨ upfmuster

des betreffenden Parketts.

(33)

Realisierung der Kn¨ upfmuster

Es gibt 11 verschiedene Kn¨ upfmuster. Kn¨ upfmuster durch

Parkettsteine.

(34)

Tag und Nacht

(35)

Begegnung

(36)

Engel und Teufel

(37)

Inhalt

1 Mathematische Grundlagen der Parkettierungen

2 M. C. Escher – Parkettierung als regelm¨ aßige Fl¨ achenaufteilung

3 Das Penrose-Parkett

4 Tangram - eine etwas ”andere” Parkettierung

5 Parkettieren als ”Spiel mit Fl¨ achen” in der Geometrie

6 Entdeckungen zu Parkettierungen der Ebene

(38)

Das Penrose-Parkett

Die Penrose-Parkettierung besteht aus unz¨ ahlig vielen, zwei

verschiedenen großen Rauten. Das Penrose-Parkett nach seinem Erfinder,

dem britischen Physiker Robert Penrose benannt, der 1974 entdeckte,

dass man mit nur zwei geometrischen Formen anhand weniger,

bestimmten Regeln der Zusammensetzung eine unendlich große Fl¨ ache

mit unendlich vielen Kombinationen bedecken konnte, ohne dass sich

einzelne Teilausschnitte je wiederholten. In diesem Zusammenhang muss

beachtet werden, dass sich gew¨ ohnliche Muster auf einer unendlichen

Fl¨ ache unendlich oft wiederholen und somit die Eigenschaft besitzen,

dass sie symmetrisch und periodisch sind. Die Penrose-Parkette sind

unsymmetrisch und aperiodisch, da sie einzelne sehr symmetrische

Kleinbereiche aufweisen, aber gr¨ oßere gleichende Fl¨ achen nie auftreten.

(39)

Wir betrachten nun, wie man aus einem Zehneck eine Penrosefigur konstruieren kann.

1

Zun¨ achst wird das regul¨ are Zehneck konstruiert.

(40)

2

Konstruktion der f¨ unf schmalen Rauten. Der Winkel der Raute muss 36 ^◦ besitzen und der weitere Winkel 180 ^◦ − 36 ^◦ = 44 ^◦ .

Das regul¨ are Zehneck mit f¨ unf 36

^◦

-Rauten

(41)

3

Die restlichen f¨ unf Rauten ergeben sich dann durch

Parallelverschiebung. Dabei gilt ³⁶⁰ ₅

^◦

= 72 ^◦ , also

72 ^◦ = 180 ^◦ − 3 · 36 ^◦ und 108 ^◦ = 180 ^◦ − 72 ^◦ .

(42)

F¨ uhrt man diese Konstruktion mehrfach aus und legt die Parkette

aneinander, so stellt man fest, dass von sechs verschiedenen

Parkettierungen f¨ unf achsensymmetrisch sind.

(43)

Das Penroseparkett

(44)

Wir betrachten nun weitere n-Ecke. Hierbei gehe man genauso vor wie bei der Konstruktion des Zehnecks. Man erh¨ alt f¨ ur den Winkel der Rauten ³⁶⁰ _n

^◦

. Dieses sind die schmalen Rauten, f¨ ur die die Winkel ³⁶⁰ _n

^◦

und 180 ^◦ − ³⁶⁰ _n

^◦

betragen. Eine weitere Raute passt an zwei solche schmalen Rauten, welche die Winkel

( ⁿ ₂ − 3) · ³⁶⁰ _n

^◦

= 180 ^◦ − ¹⁰⁸⁰ _n

^◦

und 180 ^◦ − ( ⁿ ₂ − 3) · ³⁶⁰ _n

^◦

= ¹⁰⁸⁰ _n

^◦

besitzen.

(45)

Es ergibt sich n 360

^◦

n 180

^◦

− 360

^◦

n 180

^◦

− 1080 n

1080 n

3 120

^◦

60

^◦

−180

^◦

360

^◦

4 90

^◦

90

^◦

−90

^◦

270

^◦

5 72

^◦

108

^◦

−36

^◦

216

^◦

6 60

^◦

120

^◦

0

^◦

180

^◦

7 51.4

^◦

128.6

^◦

25.7

^◦

154.3

^◦

8 45

^◦

135

^◦

45

^◦

135

^◦

(46)

Hierbei stellt man folgendes fest:

F¨ ur gerades n sind die betrachteten Winkel bei den anstoßenden Rauten Vielfache voneinander.

Dieses ist bei ungeraden n nicht mehr der Fall (wird im Folgenden nicht weiter betrachtet).

Dividiert man die Winkel 180 ^◦ − ¹⁰⁸⁰ _n

^◦

durch ³⁶⁰ _n

^◦

so stellt

man fest, dass eine ganzzahlige Zahl entsteht.

(47)

Bei der Konstruktion des Penrose Parketts beginne man mit den

beiden schmalen Rauten und f¨ uge dann n − 3 weitere hinzu. In die

dabei entstehenden Zwischenr¨ aume passe n − 2 Rauten mit dem

spitzen Winkel 360 ^◦ − 2(180 ^◦ − ¹⁸⁰ _n

^◦

) = ³⁶⁰ _n

^◦

= 2 · ¹⁸⁰ _n

^◦

und dem

stumpfen Winkel 180 ^◦ − 2 · ¹⁸⁰ _n

^◦

= (n − 2) ¹⁸⁰ _n

^◦

.

(48)

Damit erh¨ alt man zwischen den Winkeln zweier Rauten bei 2n-Ecken folgenden Zusammenhang

n 360 ^◦

2n = 180 ^◦

n 180 ^◦ − 1080 ^◦

2n = 180 ^◦ − 540 ^◦

n Vielfachfaktor

4 45 ^◦ 45 ^◦ 1

5 36 ^◦ 72 ^◦ 2

6 30 ^◦ 90 ^◦ 3

7 25.7 ^◦ 102.9 ^◦ 4

8 22.5 ^◦ 112.5 ^◦ 5

(49)

In den entstehenden Zwischenr¨ aumen der n − 2 Rauten passen

wieder n − 3 Rauten u. s. w. Weitere M¨ oglichkeiten erh¨ alt man

durch Drehen der Fl¨ achen. Insgeamt ben¨ otigt man somit ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾ ₂

Puzzle.

(50)

Puzzle-Belegungen des regul¨ aren 8-, 10-, 12-, 14-, 16- und 18-Ecks

(51)

Geometrie und Tangram - eine interessante Aufgabe

Inhalt

1 Mathematische Grundlagen der Parkettierungen

2 M. C. Escher – Parkettierung als regelm¨ aßige Fl¨ achenaufteilung

3 Das Penrose-Parkett

4 Tangram - eine etwas ”andere” Parkettierung

5 Parkettieren als ”Spiel mit Fl¨ achen” in der Geometrie

6 Entdeckungen zu Parkettierungen der Ebene

(52)

Tangram - eine etwas ”andere” Parkettierung

Unter den vielen in Europa beliebten Legespielen nimmt das Tangram eine besondere Stellung ein. W¨ ahrend zum Beispiel beim Puzzle ein Bild aus vielen ganz verschieden geformten Teilen zusammengesetzt wird und die Schwierigkeit haupts¨ achlich von der Teilezahl abh¨ angt, bleibt die Anzahl der Teile beim Tangram immer gleich und ihre Formen ¨ andern sich nicht. Das Spiel besteht aus 7 einfachen geometrischen Formen, die sich durch die

Unterteilung eines Quadrats ergeben. Schon dieses Quadrat

nachzulegen, ist ohne die Aufl¨ osung nicht einfach.

(53)

Die Regeln sind einfach: F¨ ur alle Vorlagen werden immer alle 7 Formen verwendet, auch wenn dies manchmal einiges

Kopfzerbrechen bereitet. Das Spiel entfaltet sich ausschließlich in

der Fl¨ ache; die Formen werden also nie ¨ ubereinandergelegt. Dabei

muss das Vorbild ganz genau getroffen werden.

(54)

Sieben Teile des Tangrams als Quadrat

(55)

Sieben Teile des Tangrams

(56)

Sieben Teile des Tangrams

(57)

Sieben Teile des Tangrams

(58)

Sieben Teile des Tangrams

(59)

Geometrie und Tangram - eine interessante Aufgabe

Unter den sieben Tangram -Teilen befinden sich drei verschiedene große Dreiecke. Nun l¨ aßt sich ein weiteres Dreieck aus folgenden vier Teilen legen: Dem großen Dreieck, zwei kleineren Dreiecken und dem Quadrat.

@

(60)

Kannst Du ein weiteres Dreieck der gleichen Gr¨ oße auch aus den folgenden Teilen legen:

Einem großen Dreieck, zwei kleinen Dreiecken und dem Parallelogramm? (zwei Ergebnisse) . . .

Einem großen Dreieck, dem mittleren Dreieck und zwei kleineren Dreiecken?

L¨ aßt sich ein Dreieck auch aus nur zwei Teilen . . . drei Teilen . . . f¨ unf Teilen . . . sechs Teilen . . . allen sieben Teilen

zusammenlegen?

Es ist offensichtlich, daß man mit allen sieben Teilen ein Quadrat legen kann. Wie sieht es jedoch aus, wenn man nur zwei Teile benutzen will? . . . drei Teile? . . .

Aus welchen verschiedenen Teilen lassen sich Rechtecke legen?

Welche weiteren Vielecke lassen sich noch konstruieren?

(61)

Lernbezogene Einsatzm¨ oglichkeiten des Tangrams sind:

Kreativer Umgang mit Fl¨ achenformen (Offenheit durch freies Legen);

Erkennen einfacher Fl¨ achenformen;

Grundformen umfahren (Zeichnen mit Schablone), nachzeichnen und ausschneiden;

Formenkundliches Kategorisieren (Sortieren, Beschreiben von Eigenschaften, Unterscheiden von Form und Gr¨ oße,

Benennen);

Figuren auslegen (= Belegen einer begrenzten

Fl¨ ache/Umrissfigur), auch Umlegen, Auffinden mehrerer

(62)

Legen nach Anweisung (z. B. aus gegebenen Teilen die Fl¨ achenformen Rechteck, Dreieck, Quadrat, Viereck legen);

Figuren nach Vorlage legen (evtl. nur Umrissfigur gegeben);

Erlernen geometrischer Grundbegriffe (Ecke, Winkel, Kante, Seite, rechtwinklig);

L¨ angenbetrachtungen (z. B. Welche Seiten passen genau aneinander?);

L¨ angenmessung;

Erkennen von Zusammenh¨ angen zwischen Figuren (z. B. zwei Dreiecke bilden Quadrat; Figur in Figur);

Vergleich ¨ ahnlicher und kongruenter Figuren (z. B.

gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke);

Vorbereitung der zentrischen Streckung durch Vergleich

verschieden großer Formen;

(63)

Erarbeitung des Symmetriebegriffs:

Symmetrie mit Hilfe eines Spiegels herausfinden;

Spiegelbildliches Nachlegen von Tangramfiguren;

Heraussuchen der symmetrischen Tangramfiguren (z. B.

Zwillingstangrame) und Einzeichnen der Spiegelachse;

Zeichnen von Tangramfiguren auf Karopapier und Spiegelung an der Achse;

Erfassen der Begriffe Symmetrie, Parallelit¨ at, Geradlinigkeit,

Klappen, Drehen, Verschieben;

(64)

Erarbeitung des Fl¨ acheninhaltsbegriffs:

” Messen“einer Fl¨ ache durch Auslegen mit Einheitsfl¨ achen;

Fl¨ achengleichheit bei Formverschiedenheit;

Unterscheidung Fl¨ acheninhalt (kann mit flacher Hand

bestrichen werden) und Fl¨ achenumfang (= Randlinie, mit dem Finger nachzufahren);

Schulung des r¨ aumlichen Vorstellungsverm¨ ogens, des

vorausschauenden Denkens, der Formauffassung,

Formunterscheidung und Formcharakterisierung als

Vorbereitung auf den sp¨ ateren Geometrieunterricht.

(65)

Parkettieren mit Vielecken

Parkettieren mit krummlinig begrenzten Formen

Inhalt

1 Mathematische Grundlagen der Parkettierungen

2 M. C. Escher – Parkettierung als regelm¨ aßige Fl¨ achenaufteilung

3 Das Penrose-Parkett

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5 Parkettieren als ”Spiel mit Fl¨ achen” in der Geometrie

6 Entdeckungen zu Parkettierungen der Ebene

(66)

Parkettieren als ”Spiel mit Fl¨ achen” in der Geometrie

Parkettierungen ist ein einfaches, l¨ uckenloses,

¨

uberschneidungsfreies Auslegen der Ebene mit deckungsgleichen Figuren. Das bedeutet, dass genau eine Fl¨ achenform verwendet wird. Ein zus¨ atzliches Merkmal einer Parkettierung ist die

theoretisch unendliche Fortsetzbarkeit. Beim Parkettieren steht vor

allem die Idee des Passens im Vordergrund, indirekt auch die des

Messens.

(67)

Parkettieren mit Vielecken

Mit jedem beliebigen Dreieck ist das Parkettieren m¨ oglich.

Beachtung finden dann zusammenpassende Seitenl¨ angen und die Winkelsumme des Dreiecks von 180 ^◦ .

Ebenso kann mit jedem beliebigen — außer mit einem

¨

uberschlagenden — Viereck parkettiert werden, da die Winkelsumme 360 ^◦ betr¨ agt.

Erste Einschr¨ ankungen erlebt man mit F¨ unfecken. So gibt es gerade eine einzige gleichseitige F¨ unfecksform, mit der eine

Parkettierung m¨ oglich ist, mit folgenden Innenwinkeln: zwei rechte

Winkel, zwei Winkel von 114.3 ^◦ und ein Winkel von 131.4 ^◦ .

(68)

(69)

Parkettieren mit krummlinig begrenzten Formen

Ausgehend von Polygonen lassen sich nach bestimmten Regeln krummlinig begrenzte Formen entwerfen, die sich zum Parkettieren eignen. Als einfachste Regel bietet sich die Verschiebung an, welche bei Polygonen angewendet wird, deren gegen¨ uberliegende Seiten parallel und gleich lang sind.

Die ” Knabber-Technik“besteht darin, dass man in einer Ecke beginnend mit der Schere in die Figur schneidet und bei einer benachbarten Ecke endet. Das abgeschnittene St¨ uck wird

anschließend zur gegen¨ uberliegenden Seite verschoben, bis sich die

urspr¨ unglichen Außenkanten ber¨ uhren, welche mit einem St¨ uck

(70)

(71)

Eine zweite Transformationsregel, die Drehung, kann bei

Polygonen angewendet werden, die gleich lange benachbarte Seiten

besitzen, also bei Quadrat, gleichseitigem Dreieck oder Raute,

Drachen und Sechseck. Dabei wird ebenfalls an einer Seite von

Ecke zu Ecke ein St¨ uck herausgeschnitten, nun aber um einen

Eckpunkt gedreht und an der anderen Seite wieder angeklebt.

(72)

Die technisch schwierigste Ver¨ anderung ist die Drehung um den Seitenmittelpunkt, z. B. bei einem Dreieck. Zun¨ achst muss der Mittelpunkt einer Seite durch Messen oder Falten ermittelt werden.

Dann wird von einem Eckpunkt ausgehend bis zu diesem

Mittelpunkt ein St¨ uck abgeschnitten und durch eine Drehung um

den Seitenmittelpunkt an der gleichen Seite angelegt. Dies kann f¨ ur

alle Seiten mit unterschiedlichen Kurvenst¨ ucken wiederholt werden.

(73)

(74)

Zwei verschieden große Quadrate?

(75)

(76)

(77)

(78)

(79)

Zerlegungsbeweis des Satzes von Pythagoras nach G¨opel Zerlegungsbeweis des Satzes von Pythagoras nach Perigal Zerlegung eines Quadrates u. eines 8-Eckes mit gleichen Puzzlest¨ucken

Inhalt

1 Mathematische Grundlagen der Parkettierungen

2 M. C. Escher – Parkettierung als regelm¨ aßige Fl¨ achenaufteilung

3 Das Penrose-Parkett

4 Tangram - eine etwas ”andere” Parkettierung

5 Parkettieren als ”Spiel mit Fl¨ achen” in der Geometrie

6 Entdeckungen zu Parkettierungen der Ebene

(80)

Entdeckungen zu Parkettierungen

Auslegung eines Badezimmerbodens mit quadratischen Fliesen

( ” Q-Muster“)

(81)

Die Auslegung der Ebene mit Quadraten geh¨ ort sicherlich zu den

” langweiligen“Mustern. Abwechselungsreicher wirkt die

Parkettierung mit zwei unterschiedlich großen Quadraten

( ” guk-Muster“)

(82)

Insgesamt

” ruhiger“wirkt die Parkettierung der Ebene mit

Achtecken und Quadraten mit gleich großen Seitenl¨ angen

( ” A-Q-Muster“)

(83)

Zerlegungsbeweis des Satzes vom Pythagoras (1)

1

Herstellung eines Q-Musters, bei dem die Fl¨ ache eines Quadrates gerade so groß ist wie die beiden Fl¨ achen der guk-Musters. F¨ ur die Seitenl¨ ange c des Q-Musters und Seitenl¨ ange a und b der beiden Quadrate gilt a ² + b ² = c ² .

2

Uberlagerung der beiden Raster f¨ ¨ uhrt zu zwei Puzzle-Beweisen

des Satzes von Pythoagoras.

(84)

Man sieht, dass das Q-Muster im guk-Muster f¨ unf Fl¨ achenst¨ ucke abtrennt, ein Viereck und vier rechtwinklige Dreiecke. Dies

bedeutet, dass sich das Hypotenusenquadrat zusammensetzen l¨ asst durch f¨ unf Puzzlest¨ ucke. Man muss nur das kleinere

Kathetenquadrat nach rechts verschieben und erh¨ alt die

Pythagoras-Satz-Figur nach G¨ opel.

(85)

Zerlegungsbeweis des Satzes vom Pythagoras (2)

Man kann das Q-Muster aber auch so ¨ uber das guk-Muster legen,

dass sich das kleine Quadrat vollst¨ andig innerhalb eines Quadrates

des Q-Musters befindet.

(86)

Die so entstehenden f¨ unf Puzzlest¨ ucke ergeben genau die Parkettierung des Hypotenusenquadrats, wie sie im Perigalschen Zerlegungsbeweis des Satzes von Pythagoras vorgeschlagen wird.

Das kleinere Kathetenquadrat wird unzerlegt als Puzzlest¨ uck f¨ ur

die Parkettierung des Hypothenusenquadrats verwendet, das

gr¨ oßere Kathetenquadrat wird in vier - im symmetrischen Fall

gleich große - Vierecke zerlegt.

(87)

Man kann das Q-Muster auch parallel zu den Quadratseiten

verschieben: Solange sich die kleinen Quadrate des guk-Musters

innerhalb der Quadrate des Q-Musters befinden, ergibt sich eine

Zerlegung im Sinne Perigals.

(88)