Klassische Theoretische Physik III Elektrodynamik WS 16/17
Institut f¨ur Kernphysik, KIT Prof. T. Schwetz-Mangold, Dr. J. Enander, A. Pargner
https://cr.ikp.kit.edu/pargner/teaching/theoc1617/
11. ¨ Ubung Besprechung: 25.01.17
Aufgabe 1 14 Punkte
In dieser Aufgabe behandeln wir die Streuung von Licht im Detail. Betrachten Sie dazu folgende Situation: Eine monochromatische ebene Welle mit dem elektrischen FeldE~1 und dem magnetischen FeldB~1 bewege sich auf ein Objekt zu, dessen Ausmaß klein im Vergleich zur Wellenl¨ange des Lichtes sei (dλ, wobeiddie Ausmaße des Objektes charakterisiert undλdie Wellenl¨ange des Lichts). Diese Situation wird Rayleigh-Streuung genannt. Um das Objekt herum sei Vakuum. Das elektrische Feld E~1 sei in die Richtung ~η1 polarisiert, die einlaufende Richtung ist ~n1. Die Lichtwelle erzeugt einen elektrischen und magnetischen Multipol in dem Objekt. Dies ist die Quelle f¨ur das gestreute Licht mit den Komponenten E~2 und B~2. Das gestreute Licht bewege sich in die Richtung~n2 und habe die Polarisation ~η2.
a) Weit entfernt von dem Streuk¨orper dominiert der Beitrag des Dipolmoments das elektrische und magnetische Feld. Im Folgenden berechnen Sie f¨ur Entfernungen sehr viel gr¨oßer als die Wellenl¨ange des Lichts, d.h. r λ, das vom Dipolmoment abgestrahlte Feld E~2 und B~2. Um dies zu bestimmen, beginnen Sie mit dem bekannten Ausdruck f¨ur das Vektorpotential:
A(~~ r, t) = 1 c
Z
d3r0~j(~r 0, tret)
|~r−~r 0| . (1) Hier bezeichnen wir mit tret = t− |~r−~r 0|/c die retardierte Zeit. Da die einlaufende Welle monochromatisch ist, gibt es in dem gesamten Problem nur eine Zeitskala, n¨amlich ω = c/λ.
Dementsprechend k¨onnen wir die Zeitabh¨angigkeit der Quellen durch
ρ(~r, tret) =ρ(~r)e−iωtret, ~j(~r, tret) =~j(~r)e−iωtret (2) beschreiben. Bemerken Sie, dass wir bei einer komplexen Schreibweise immer implizit verstehen, dass am Ende der Berechnung nur der Realteil betrachtet wird. Benutzen Sie den Ansatz in Gl.
(2), umA~ f¨urλr durch das Dipolmoment ~pder Quelle auszudr¨ucken (erinnern Sie sich, dass sich die Dipolkomponente wie 1/rverh¨alt). Berechnen Sie damitE~2 undB~2 ausB~ =∇ ×~ A~ und E/c˙ =∇ ×~ B~. Bedenken Sie, dass~n2=~r/r und dass Sie folgende N¨aherungen benutzen:rλ und Terme von h¨oherer Ordnung als 1/rk¨onnen vernachl¨assigt werden. Ihr Ergebnis sollte von der Form
B~2(~r, t)'k2eikr
r (~n2×~p)e−iωt , (3)
E~2(~r, t)'B~2(~r, t)×~n2 (4) sein. Wobei benutzt wurde, dass k = ω/c und, dass das elektrische und das magnetische Feld ein Orhtogonalsystem mit~n2 bilden.
Hinweis: Benutzen Sie die Kontinuit¨atsgleichung, um das Integral ¨uber die Stromdichte in ein Dipolmoment umzuformen.
5 Punkte
b) Nun berechnen wir den differentiellen Wirkungsquerschnitt dσ/dΩ dieses Streuprozesses. Das elektrische und magnetische Feld der einlaufenden Welle sei durch
E~1 =~η1E0eik~n1·~r−iωt , (5)
B~1 =~n1×E~1 (6)
gegeben. Der differentielle Wirkungsquerschnitt ist definiert als Verh¨altnis aus abgestreuter Lei- stung pro Raumwinkelelement dΩ und einfallender Leistung pro Fl¨ache. Da der Energiefluss durch den Poynting-Vektor gegeben ist, schreiben wir in unserem Fall:
dσ
dΩ(~n2, ~η2;~n1, ~η1) =~n2·S(~~ n2, ~η2)r2dΩ
~
n1·S(~~ n1, ~η1)dΩ . (7) Der Poynting-Vektor in Vakuum ist durch
S(~~ r, t) = c 4π
E(~~ r, t)×B(~~ r, t) (8) gegeben. Benutzen Sie dies, um den differentiellen Wirkunsquerschnitt zu berechnen. Das Er- gebnis sollte
dσ
dΩ(~n2, ~η2;~n1, ~η1) = k4
|E0|2(~η2·~p)2 (9) lauten. Argumentieren Sie mit diesem Ergebnis, warum der Himmel vorwiegend blau ist.
3 Punkte c) Um ~n·~p in Gl. (9) explizit zu berechnen, ben¨otigen wir ein Modell des Streuk¨orpers. Im ein- fachsten Fall betrachten wir den Streuk¨orper als homogene Kugel. Hier ist der Zusammenhang zwischen dem einlaufenden FeldE~1 und dem Dipolmement der Quellep~durch
~
p∝E~1 (10)
gegeben. Benutzen Sie diese Relation in Gl. (9). Dr¨cken Sie weiter ~η2 als Funktion der einlau- fenden Polarisation und der auslaufenden Richtung aus. Benutzen Sie dazu, dass ~η2 ∼ E~2 ist.
Ihr Ergebnis sollte von der Form
~
η2 ∼~η1−~n2(~n2·~η1) (11) sein. Geben Sie damit das Verhalten des differentiellen Wirkunsquerschnittdσ/dΩ als Funktion von ~η1,~n1 und ~n2 an.
2 Punkte d) Mit den Ergebnissen aus den vorherigen Aufgabenteilen, beantworten Sie die folgenden Fragen:
1) Was sind die m¨oglichen Richtungen, in die das Licht gestreut werden kann? 2) F¨ur eine gegebene Richtung der Streuung, was sind die m¨oglichen Polarisationen? 3) Welche Polarisa- tion erwarten wir damit f¨ur unseren Himmel? 4) W¨urden Sie einen Polarisationsfilter, welcher nur linear polarisiertes Licht durchl¨asst, gegen den Himmel halten, w¨urde er blauer erscheinen.
Warum ist das so?
4 Punkte
Aufgabe 2 6 Punkte
In dieser Aufgabe betrachten wir den Unterschied zwischen den Strahlungsverlusten in einem Linear- beschleuniger und in einem Speicherring. F¨ur relativistische Geschwindigkeiten gelten die folgende Formeln f¨ur die abgestrahlte Leistung P:
P = 2q2 3m2c3
d~p dt
2
, (~vk~v)˙ (12)
P = 2q2 3m2c3γ2
d~p dt
2
, (~v ⊥~v)˙ (13)
Dabei istγ ≡p
1−v2/c2 und~p ist der Impuls des geladenen Teilchens.
a) In einem Linearbeschleuniger werde ein Elektron auf einer Strecke von 3 km auf eine Energie von 50 GeV beschleunigt (hier ist eV=Elektronvolt, eine h¨aufig gebrauchte Einheit in der Teil- chenphysik). Berechnen Sie zun¨achst die Streckel nach der die Energie des Elektrons 0.5 MeV betr¨agt. Beachten Sie, dass dies der Ruheenergie des Elektrons entspricht.
Hinweis: Das Ergebnis lautetl= 3 cm.
2 Punkte b) Im hochrelativistischen Fall, d.h. wenn der Impuls des Teilchen gr¨oßer als seine Ruheenergie ist, giltE = (m2ec4+c2p2)1/2 ≈cp. Benutzen Sie diese Beziehung umdp/dtund damit ∆Estr=P l/c f¨url aus a) zu berechnen.
Hinweis: Benutzen Sie, dass e2/A˚= 14.4 eV gilt, dabei ist ˚A die L¨angeneinheit Angstr¨om. Das Ergebnis lautet ∆Estr= 3×10−8 eV.
2 Punkte c) In einem Speicherring werden Elektronen beschleunigt, welche wiederum Strahlung abgeben.
Diese Strahlung bezeichnet man als Synchrotronstrahlung. Ein Elektron werde in solch einem Speicherreing mitR0 ≈1 km beschleunigt. Berechnen Sie ∆Estr wenn die Energie des Elektrons 30 GeV betr¨agt. F¨ur diese Energie giltγ4 ≈1.3×1019. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit ∆Estr
aus b).
Hinweis: Es gilt~p=meγ~v.
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