Karlsruher Institut f¨ur Technologie (KIT) WS 2010/2011 Institut f¨ur Theoretische Festk¨orperphysik
Prof. Dr. K. Busch, Dr. R. Frank 29.10.2010
http://photonics.tfp.uni-karlsruhe.de/teaching kurt@tfp.uni-karlsruhe.de rfrank@tfp.uni-karlsruhe.de
Klassische Theoretische Physik III - Elektrodynamik
WS10/11
Ubungsblatt 3 ¨ - 36 Punkte
Abgabe bis Freitag, 05.11.10
Aufgabe 1 Kugel- und Zylinderkoordinaten (12 Punkte)
Oftmals vereinfachen sich Probleme, wenn man anstatt des kartesischen Koordinatensystems (x, y, z) ein der Symmetrie des Problems angepasstes Koordinatensystem w¨ahlt (insbesondere Zylinder- und Kugelkoordinaten). Dies gilt auch f¨ur die Darstellung von Gradient, Divergenz und Rotation. In dieser Aufgabe wird der Gradient in Kugelkoordinaten (r;θ;φ) transformiert, und die Rotation in Zylinderkoordinaten (ρ;φ;z).
Der Zusammenhang zwischen kartesischen und Kugelkoordinaten ist:
x=r·sinθcosφ, y=r·sinθsinφ, z =r·cosθ, und f¨ur die Einheitsvektoren gilt:
ˆ
er = (sinθ·cosφ)ˆex+ (sinθ·sinφ)ˆey+ cosθeˆz, ˆ
eθ = (cosθ·cosφ)ˆex+ (cosθ·sinφ)ˆey−sinθeˆz, ˆ
eφ=−sinφeˆx+ cosφeˆy.
Der Zusammenhang zwischen kartesischen und Zylinderkoordinaten ist:
x=ρcosφ, y=ρsinφ, z =z, und f¨ur die Einheitsvektoren gilt:
ˆ
eρ= cosφeˆx+ sinφeˆy, eˆφ=−sinφeˆx+ cosφeˆy, eˆz = ˆez.
a) Berechnen Sie aus den Angaben oben die Kugelkoordinatenr(x, y, z)θ(x, y, z) undφ(x, y, z) als Funktion der kartesischen Koordinaten. (4P)
b) Berechnen Sie∇f~ (r(x, y, z), θ(x, y, z), φ(x, y, z)) in Kugel-Koordinaten-Komponenten unter Verwendung der ersten oben angegebenen Gleichung und Benutzung der Kettenregel. Be- rechnen Sie außerdem∇ ×~ f~(ρ(x, y), θ(x, y), z) in Zylinder-Koordinaten-Komponenten. (4P) c) Ersetzen Sie schließlich mit obigem Hinweis die kartesichen Einheitsvektoren f¨ur den Zylinder
ˆ
ex,eˆy durch ˆeρ,eˆφ, und f¨ur die Kugel ˆex,eˆy,ˆez durch ˆer,ˆeθ,eˆφ. (4P)
Aufgabe 2 Anwendungen von krummlinigen Koordinaten (12 Punkte)
Wenden Sie die neu gewonnenen Darstellungen an. Die Vektorableitungen in Zylinderkoordinaten sind:
∇f~ = ∂f
∂ρeˆρ+1 ρ
∂f
∂φeˆφ+∂f
∂zeˆz
∇ ·~ ~v = 1 ρ
∂
∂ρ(ρvρ) + 1 ρ
∂vφ
∂φ +∂vz
∂z
∇ ×~ ~v = µ1
ρ
∂vz
∂φ − ∂vρ
∂z
¶ ˆ eρ+
µ∂vρ
∂z −∂vz
∂ρ
¶ ˆ eφ+1
ρ µ ∂
∂ρ(ρvφ)−∂vρ
∂φ
¶ ˆ ez
Dabei sei~v =vρeˆρ+vφeˆφ+vzˆez.
Die Vektorableitungen in Kugelkoordinaten sind:
∇f~ = ∂f
∂reˆr+ 1 r
∂f
∂θˆeθ+ 1 r sinθ
∂f
∂φeˆφ
∇ ·~ ~v = 1 r2
∂
∂r(r2vr) + 1 r sinθ
∂
∂θ(sinθvθ) + 1 r sinθ
∂vφ
∂φ
∇ ×~ ~v = 1 r sinθ
µ ∂
∂θ(sinθvφ)−∂vθ
∂φ
¶ ˆ er+ 1
r µ 1
sinθ
∂vr
∂φ − ∂
∂r(rvφ)
¶ ˆ eθ+1
r µ ∂
∂r(rvθ)−∂vr
∂θ
¶ ˆ eφ
Dabei sei~v =vreˆr+vθeˆθ+vφˆeφ.
Berechnen Sie mit Hilfe dieser Angaben:
a) den Gradienten der Funktion f(ρ, φ, z) = 1ρ. (3P)
b) die Divergenz von~v(ρ, φ, z) = ρ12eˆρ und~v(ρ, φ, z) = ˆeφ . (3P) c) den Gradienten der Funktion f(r, θ, φ) = 1r. (3P)
d) die Divergenz der Rotation von~v(r, θ, φ) = r12ˆer und ~v(r, θ, φ) = ˆeφ. (3P) Aufgabe 3 Potential auf Kugeloberfl¨ache (12 Punkte)
Zeigen Sie folgenden ’Mittelwertsatz’: Im ladungsfreien Raum ist der Wert des elektrostatischen Potentials an jedem Punkt ~r gleich dem Mittelwert des Potentials auf der Oberfl¨ache S einer beliebigen Kugel um diesen Punkt, also:
Φ(~r) = 1 4πR2
I
S
da′Φ(~r′) R =|~r| ist der Betrag des Vektors.
