Paraboloid und die Ableitung der Quadratfunktion 1 Worum geht es?
Anhand eines räumlichen Paraboloid-Modells wird die Ableitung der Quadratfunktion hergeleitet.
2 Das Paraboloid
Beat lernt in der Schule, dass durch die Gleichung z=x2−y2 ein Paraboloid beschrie- ben wird (Abb. 1).
−1
−1
−0.5
−0.5
−1
−1
−1
−1
x 0 x 0
−0.5
−0.5
−0.5
−0.5
0 0 yy zz 00
0.5 0.5 0.5
0.5 0.5
0.5
1 1 11 11
Abb. 1: Paraboloid
3 Parabeln als Konturlinien
Sofort sieht er, dass es in der Ebene y=0 eine nach oben offene Parabel gibt (Abb. 2).
Die Parabel hat die Gleichungen z=x2,y=0.
−1 1
−0.5 0
−1 0.5 1
0.5
0
−0.5 zz
yy
−0.5 1
x
−1 −0.5 0
−1 0.5
x
0.5 1
0
Abb. 2: Konturparabel
Entsprechend gibt es eine nach unten offene Parabel mit den Gleichungen z=−y2 und x=0 (Abb. 3).
Abb. 3: Untere Konturparabel
−1 −0.5 0 0.5 1
−1 −0.5 0 0.5 1 yy
1
0
−0.5
−1 z
0.5
−0.5 1
z 0
−1 0.5
x x
In der Abbildung 4 sind die beiden Parabeln schwarz eingezeichnet.
−1
−1
−0.5
−0.5
−1
−1
−1
−1
x 00 x
−0.5
−0.5
−0.5
−0.5
00 yy zz 00
0.5 0.5 0.5
0.5 0.5
0.5
11 11 1
1
Abb. 4: Die beiden Parabeln
4 Das Modell
Nun denkt sich Beat folgendes Modell aus: Er biegt zwei Lochstreifen parabelförmig und schraubt sie in der Mitte orthogonal zusammen so dass eine Parabel nach oben und die andere nach unten offen ist. Dann verbindet er mit Bindfäden (Abb. 5).
Abb. 5: Modell von Beat
Die Abbildung 6 zeigt einen elektronischen Nachbau des Modells.
−1
−1
−0.5
−0.5
−1
−1
−1
−1
x 00 x
−0.5
−0.5
−0.5
−0.5
00 yy zz 00
0.5 0.5 0.5
0.5 0.5
0.5
11 11 1
1
Abb. 6: Modell von Beat
5 Die Ableitung
Die Abbildung 7 zeigt wiederum die obere Profilparabel.
0
−1 0 0.5 1
−1
−0.5 0.5
−0.5 1
zz
yy
−0.5
x
0 0.5
x
1
0.5 1
−1 −0.5 0
−1
Abb. 7: Profilparabel
Nun interpretiert Beat die Figur zweidimensional in einem x,z-Koordinatensystem. Die blauen und gelben Bindfäden sind offensichtlich Tangenten an die Parabel z=x2. Die Tangente im Berührpunkt
( )
x0,x02 schneidet die z-Achse aus Symmetriegründen im Punkt( )
0,−x02 . Sie hat also die Steigung x02− −
( )
x02x0 =2x0. Daraus ergibt sich, dass die Funktion f x
