Symmetrie als !Werkzeug !

Hans Walser!

!

Symmetrie als ! Werkzeug !

www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20170908!

Hans Walser!

!

Klassifikation der Symmetriegruppen 
 der Flächenornamente als Werkzeug!

www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20170908!

Inhaltsübersicht!

!

!

•  Ein Theorem (E. V.)!

!

!

•  Beweiswerkzeug: Klassifikation der Flächenornamente!

!Exkurs: Schweizerische Alpenflora


!Exkurs: Kristallografische Restriktion!

!

!

•  Beweis des Theorems!

!Exkurs: Schubspiegelsymmetrie (Gleitspiegelsymmetrie)!

www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20170908!

Das Theorem (E. V.)!

Sehnenviereck!

Parallelogramm aus Seite und Gegenseite. Winkel beliebig!

Das Theorem (E. V.)!

Parallelogramme ansetzen. Gleiche Winkel!

Das Theorem (E. V.)!

Gegenparallelogramme ungleichsinnig kongruent!

Das Theorem (E. V.)!

Mittelpunkte!

Das Theorem (E. V.)!

Mittelpunkte bilden ein Rechteck (E. V.)!

Das Theorem (E. V.)!

Invarianz der rechten Winkel. Maß-Symmetrie!

Das Theorem (E. V.)!

Erwachende Wissenschaft!

!

Sammeln!

!

Ordnen – Ordnungskriterien!

!

Struktur!

!

Theorie!

Erwachende Wissenschaft!

!

Sammeln!

!

Ordnen – Ordnungskriterien!

!

Struktur!

!

Theorie!

Erwachende „Bildung“!

!

Primarstufe!

!

Sekundarstufe 1!

!

Sekundarstufe 2!

!

Universität!

Alhambra, Taj Mahal, ...!

!

Schöne Bildchen!

! Erwachende Wissenschaft!

!

Sammeln!

!

Alhambra, Taj Mahal, ...!

!

Schöne Bildchen!

! Erwachende Wissenschaft!

!

Sammeln!

!

!!

Schweizerische Alpenflora!

Alhambra, Taj Mahal, ...!

!

Schöne Bildchen!

! Erwachende Wissenschaft!

!

Sammeln!

!

Anordnungssymmetrie:!

!

Ohne Farbe: 


Diedergruppe D_3!

!!

Schweizerische Alpenflora!

Alhambra, Taj Mahal, ...!

!

Schöne Bildchen!

! Erwachende Wissenschaft!

!

Sammeln!

!

Anordnungssymmetrie:!

!

Ohne Farbe: 


Diedergruppe D_3!

!Mit Farbe:


Zyklische 
 Gruppe C₃!

!

Schweizerische Alpenflora!

Alhambra, Taj Mahal, ...!

!

Schöne Bildchen!

! Erwachende Wissenschaft!

!

Sammeln!

!

Anordnungssymmetrie:!

!

Ohne Farbe: 


Diedergruppe D_3!

!Mit Farbe:


Zyklische 
 Gruppe C₃!

!

Schweizerische Alpenflora!

Maß-Symmetrie:


6⁴ = 1296 Dreiecke
 mit gleichem


Flächeninhalt!

Alhambra, Taj Mahal, ...!

!

Schöne Bildchen!

! Erwachende Wissenschaft!

!

Sammeln!

!

Anordnungssymmetrie:!

!

Ohne Farbe: 


Diedergruppe D_3!

!!

Maß-Symmetrie:


6¹ = 6 Dreiecke
 mit gleichem
 Flächeninhalt!

Alhambra, Taj Mahal, ...!

!

Schöne Bildchen!

! Erwachende Wissenschaft!

!

Sammeln!

!

Anordnungssymmetrie:!

!

Ohne Farbe: 


Diedergruppe D_3!

!Mit Farbe:


Zyklische 
 Gruppe C₃!

!

Maß-Symmetrie:


6² = 36 Dreiecke
 mit gleichem


Flächeninhalt!

Alhambra, Taj Mahal, ...!

!

Schöne Bildchen!

! Erwachende Wissenschaft!

!

Sammeln!

!

Anordnungssymmetrie:!

!

Ohne Farbe: 


Diedergruppe D_3!

!Mit Farbe:


Zyklische 
 Gruppe C₃!

!

Maß-Symmetrie:


6³ = 216 Dreiecke
 mit gleichem


Flächeninhalt!

Iterations-
 Symmetrie!

Alhambra, Taj Mahal, ...!

!

Schöne Bildchen!

! Erwachende Wissenschaft!

!

Sammeln!

!

Anordnungssymmetrie:!

!

Ohne Farbe: 


Diedergruppe D_3!

!Mit Farbe:


Zyklische 
 Gruppe C₃!

!

Schweizerische Alpenflora!

Maß-Symmetrie:


6⁴ = 1296 Dreiecke
 mit gleichem


Flächeninhalt!

Iterations-
 Symmetrie!

Alhambra, Taj Mahal, ...!

!

Schöne Bildchen!

! Erwachende Wissenschaft!

!

Sammeln!

!

Anordnungssymmetrie:!

!

Ohne Farbe: 


Diedergruppe D_3!

!Mit Farbe:


Zyklische 
 Gruppe C₃!

!

Maß-Symmetrie:


6⁵ = 7776 Dreiecke
 mit gleichem


Flächeninhalt!

Iterations-
 Symmetrie!

Alhambra, Taj Mahal, ...!

!

Schöne Bildchen!

!

Symmetrien!

!

Klassifikation!

!

17 Symmetrieklassen!

Erwachende Wissenschaft!

!

Sammeln!

!

Ordnen – Ordnungskriterien!

!

Struktur!

!

Theorie!

man-made!

Alhambra, Taj Mahal, ...!

!

Schöne Bildchen!

!

Symmetrien!

!

Klassifikation!

!

17 Symmetrieklassen!

Erwachende Wissenschaft!

!

Sammeln!

!

Ordnen – Ordnungskriterien!

!

Struktur!

!

Theorie!

Erwachende Wissenschaft!

!

Sammeln!

!

Ordnen – Ordnungskriterien!

!

Struktur!

!

Theorie!

Alhambra, Taj Mahal, ...!

!

Schöne Bildchen!

!

Symmetrien!

!

Klassifikation!

!

17 Symmetrieklassen!

Anordnungssymmetrie!

Ornament

Drehungen?

ja nein

Nur Halbdrehungen?

ja nein Nur

Translationen?

ja nein

ja nein

ja Nur noch nein Translationen?

ja Nur nein

Drittelsdrehungen?

p1 ^{ja nein}

Spiegelachsen?

ja nein

ja nein

Spiegelachsen?

p2 _{Nur noch}

Translationen?

Viertels-

drehungen? ja Gleitspiegelachsen, nein die keine Spiegelachsen

sind?

pg

Dreh- zentrum außerhalb

Spiegelachse?

ja nein pgg p3

Dreh- zentrum außerhalb

Spiegelachse?

ja nein

cm pm

ja nein

Spiegelachsen?

ja nein

Spiegelachsen?

p31m p3m1 p6m p6

p4 pmm

ja nein

Orthogonale Spiegelachsen?

Spiegelachsen durch 4er Zentrum?

ja nein

cmm pmg

p4m p4g

Klassifizierungshilfe!

Handout!

Erwachende Wissenschaft!

!

Sammeln!

!

Ordnen – Ordnungskriterien!

!

Struktur!

!

Theorie!

Alhambra, Taj Mahal, ...!

!

Schöne Bildchen!

!

Symmetrien!

!

Klassifikation!

!

17 Symmetrieklassen!

Erwachende Wissenschaft!

!

Sammeln!

!

Ordnen – Ordnungskriterien!

!

Struktur!

!

Theorie!

Beweis?!

Alhambra, Taj Mahal, ...!

!

Schöne Bildchen!

!

Symmetrien!

!

Klassifikation!

!

17 Symmetrieklassen!

Erwachende Wissenschaft!

!

Sammeln!

!

Ordnen – Ordnungskriterien!

!

Struktur!

!

Theorie!

Beweis?!

Empirisch nicht möglich!

Alhambra, Taj Mahal, ...!

!

Schöne Bildchen!

!

Symmetrien!

!

Klassifikation!

!

17 Symmetrieklassen!

Erwachende Wissenschaft!

!

Sammeln!

!

Ordnen – Ordnungskriterien!

!

Struktur!

!

Theorie!

Beweis?!

Pólya & Niggli, 1924!

Alhambra, Taj Mahal, ...!

!

Schöne Bildchen!

!

Symmetrien!

!

Klassifikation!

!

17 Symmetrieklassen!

Beweis:!

!

Pólya, George (1924): 


Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene. 


Zeitschrift für Kristallographie und Mineralogie, 
 Band 60, 278-282. !

!

Niggli, Paul (1924): 


Die Flächensymmetrien homogener Kontinuen. 


Zeitschrift für Kristallographie und Mineralogie, 
 Band 60, 283-298.!

George Pólya
 1887 – 1985 !

Paul Niggli 
 1888 – 1953!

Exkurs: Kristallografische Restriktion!

!

!

Exkurs: Kristallografische Restriktion!

!

!

Drehwinkel!

!

!

!

180° !Halbdrehungen!

!

120° !Dritteldrehungen!

!

90° !Vierteldrehungen!

!

60° !Sechsteldrehungen!

Exkurs: Kristallografische Restriktion!

!

!

Drehwinkel!

!

!

!

180° !Halbdrehungen!

!

120° !Dritteldrehungen!

!

90° !Vierteldrehungen!

!

60° !Sechsteldrehungen!

Winkel!

zwischen Symmetrieachsen!

!

0° (parallel)!

!

90° (orthogonal)!

!

60°!

!

45°!

!

30°!

Erwachende Wissenschaft!

!

Sammeln!

!

Ordnen – Ordnungskriterien!

!

Struktur!

!

Theorie!

!

Alhambra, Taj Mahal, ...!

!

Schöne Bildchen!

!

Symmetrien!

!

Klassifikation!

!

17 Symmetrieklassen!

!

Erwachende Wissenschaft!

!

Sammeln!

!

Ordnen – Ordnungskriterien!

!

Struktur!

!

Theorie!

!

!

!

Anwendung? !

!

Alhambra, Taj Mahal, ...!

!

Schöne Bildchen!

!

Symmetrien!

!

Klassifikation!

!

17 Symmetrieklassen!

!

Wochamedabruuche?!

!

Anwendung?!

!

!

Beweis des Theorems!

Mittelpunkte bilden ein Rechteck!

Zu zeigen:!

Beweis des Theorems!

Sehnenviereck!

Beweis des Theorems!

Sehnenviereck: Gegenwinkel ergänzen sich auf 180°!

Beweis des Theorems!

Sehnenviereck: Gegenwinkel ergänzen sich auf 180°!

Nochmals Ergänzung auf 180°!

Beweis des Theorems!

Gelbe Winkel gleich!

Beweis des Theorems!

Entgegengesetzt gleiche Winkel!

Beweis des Theorems!

Ungleichsinnig


kongruentes Viereck!

Beweis des Theorems!

Ungleichsinnig


kongruentes Viereck!

Beweis des Theorems!

Verkleinerung!

Beweis des Theorems!

Weiteres Viereck!

Beweis des Theorems!

Weitere Vierecke!

Beweis des Theorems!

Weitere Vierecke!

Beweis des Theorems!

Flächenornament!

Beweis des Theorems!

Flächenornament!

Beweis des Theorems!

Symmetrien?!

Eines von den 17 muss es sein. !

Beweis des Theorems!

Symmetriezentren!

Beweis des Theorems!

Symmetriezentren


Schubspiegelachse (Gleitspiegelachse)!

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie ! Gleitspiegelsymmetrie!

! ! ! !glide reflection !

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie!

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie!

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie!

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie!

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie!

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie!

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie!

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie!

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie!

Der hinkende Bote!

Hausaufgabe: Schubspiegelsymmetrie?!

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie!

Der hinkende Bote!

Hausaufgabe: Schubspiegelsymmetrie?!

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie!

Der hinkende Bote!

Hausaufgabe: Schubspiegelsymmetrie?!

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie!

Der hinkende Bote!

Hausaufgabe: Schubspiegelsymmetrie?!

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie!

Hausaufgabe: In welcher Richtung fuhr der Traktor?!

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie!

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie!

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie!

Symmetrieachse!

Symmetrieachse!

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie!

Symmetrieachse!

Schubspiegelachse!

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie!

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie!

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie!

Weder Symmetrieachse 
 noch Schubspiegelachse!

Hausaufgabe: Gleiche Symmetrieklasse?!

Exkurs: Schubspiegelsymmetrie!

Beweis des Theorems!

Symmetriezentren
 Schubspiegelachse!

Beweis des Theorems!

Symmetriezentren


Schubspiegelachsen!

Beweis des Theorems!

Symmetriezentren


Schubspiegelachsen!

è Symmetrieklasse pgg! Handout!

Beweis des Theorems!

!

Symmetrieklasse pgg:!

!

Keine Symmetrieachsen !

Orthogonale Schubspiegelachsen!

Dazwischen zweizählige Drehzentren!

Rechteckgitter!

Handout!

Beweis des Theorems!

!

Symmetrieklasse pgg:!

!

Keine Symmetrieachsen !

Orthogonale Schubspiegelachsen!

Dazwischen zweizählige Drehzentren!

Rechteckgitter!

!

!

Damit ist das Theorem von E. bewiesen.!

Danke!

Dank an ! E. V.!

www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20170908!