eine Faktorisierung modulo 5 ist φ5(a(x

SS 2010 10.06.2010 Übungen zur Vorlesung Computeralgebra

Blatt 8

Prof. Dr. Klaus Madlener Abgabe bis 18.06.2010

Aufgabe 1:

Zeigen Sie den Satz 5.18 auf Folie 260: Der Algorithmus für den quadratischen Hensel- Lifting-Schritt ist korrekt.

Aufgabe 2:

Betrachten Sie das Faktorisierungsbeispiel aus der Vorlesung: Seia(x) = 12x³+ 10x²− 36x+ 35∈Z[x]; eine Faktorisierung modulo 5 ist

φ5(a(x)) = 2·x·(x²+ 2)∈Z₅[x].

Wenden Sie quadratisches Hensel-Lifting (s. F 257f.) an, um eine Faktorisierung von a(x) in Z[x] zu berechnen.

Aufgabe 3:

Wir definieren für ein Polynomf = ^P

0≤i≤n

fixⁱ=fn Q

1≤i≤n

(x−zi)∈C[x] das Landau-Maß M(f) durch

M(f) =|fⁿ| · ^Y

1≤i≤n

max{1,|zⁱ|},

wobei f0, . . . , fn, z1, . . . , zn ∈ C. Weiter definieren wir noch die Maximumsnorm kfk^∞, die 1-Norm kfk¹ und die 2-Normkfk² durch

kfk^∞= max

0≤i≤n|fi| kfk¹ = ^X

0≤i≤n

|fi|

kfk² =^{s X}

0≤i≤n

|fi|².

Dabei ist|a|=√

a¯afüra∈C(¯a ist dieC-Konjugierte zua).

a) Zeigen Sie, dass für jedesf ∈C[x] gilt: (a.1)M(f)≥ |fn|, (a.2)M(f) =M(g)M(h), fallsf =ghmitg, h∈C[x], und (a.3)M(f)≤ kfk².

b) Wenn h = ^P

0≤i≤m

hixⁱ ∈ C[x] vom Grad m ein Teiler von f = ^P

0≤i≤n

fixⁱ ∈ C[x]

vom Gradn≥m ist, so gilt:

khk² ≤ khk¹ ≤2^mM(h)≤2^m

h^m fn

kfk².

c) Nun zum eigentlichen Ziel: Seien f, g, h ∈ Z[x] mit degf = n ≥ 1, degg = m, degh=kund es sei ghein Teiler von f in Z[x]. Zeigen Sie

kgk^∞khk^∞≤2^m+kkfk²≤√

n+ 1·2^m+kkfk^∞ sowie

khk^∞ ≤√

n+ 1·2^kkfk^∞.

Aufgabe 4:

Seif(x, y) =f0x^d+f1x^d−1y+f2x^d−2y²+· · ·+fdy^dein bivariates homogenes Polynom.

Geben Sie eine Reduktion des Faktorisierungsproblems für solche Polynome auf das Faktorisierungsproblem für univariate Polynome an.