Summen,Verteilungen&Produktr¨aume ¨Ubungsblatt5 Stochastik ¨UbungenzurVorlesung

Wolfgang L¨ohr Sommersemester 2018

Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastik

Ubungsblatt 5¨

Summen, Verteilungen & Produktr¨ aume

Aufgabe 5.1 (Summen & Indikatorvariablen). (3 Punkte) Seien X₁, X₂, . . . Zufallsvariablen mitE(X_k²)<∞, und S_n:=Pn

k=1X_k. (a) Zeigen Sie, dass Var(Sn) =

n

X

i=1 n

X

j=1

Cov(Xi, X_j).

F¨ur den Rest der Aufgabe nehmen wir an, dass die X_k,k= 1, . . . , n, nur die Werte 0 und 1 annehmen. Solche Zufallsvariablen heißen auch Indikatorvariablen.

(b) Bestimmen Sie (f¨ur festes n) den maximal m¨oglichen Wert f¨ur Var(Sn).

(c) Nun sei zus¨atzlich n gerade und P({X_k = 1}) = ¹₂ f¨ur alle k. Bestimmen Sie den kleinsten m¨oglichen Wert f¨ur Var(Sn).

Aufgabe 5.2 (Wald’sche Identit¨aten). (5 Punkte)

Seien X_n, n ∈ N, identisch verteilte, (paarweise) unkorrellierte, R-wertige Zufallsvariablen.

Sei T eine N₀ := N∪ {0}-wertige Zufallsvariable, die von (der (R^N,B(R)^⊗N)-wertigen Zu- fallsvariable) (X_n)_n∈N unabh¨ang ist. Setze

Z :=

T

X

k=1

X_k, also Z(ω) =

T(ω)

X

k=1

X_k(ω).

(a) Zeigen Sie: Z ist eine Zufallsvariable.

(b) Zeigen Sie: sind X₁ und T zus¨atzlich integrierbar, so ist auch Z integrierbar und E(Z) = E(T)E(X₁).

Hinweis: Zeigen Sie zun¨achst die Integrierbarkeit von Z, und verwenden Sie dann do- minierte Konvergenz.

(c) Seien nun X₁,T quadratintegrierbar (also in L²(P)). Zeigen Sie, dass dann Z quadra- tintegrierbar ist und

Var(Z) = E(T) Var(X₁) + Var(T)E(X₁)².

Bitte wenden!

Aufgabe 5.3 (Teufelstreppe). (5 Punkte) Sei X auf gleichverteilt auf der Cantormenge, also die Zufallsvariable aus Aufgabe 4.4, und F_X die Verteilungsfunktion vonX. Zeigen Sie:

(a) F_X(0) = 0, F_X(1) = 1.

(b) F_X ist stetig.

(c) Es gibt eine Lebesgue-Nullmenge N ⊆ [0,1] so dass f¨ur jedes x ∈ R\N gilt: F_X ist differenzierbar in x mitF_X^′ (x) = 0.

Bemerkung:Die Funktion F_X heisst auch Teufelstreppe.

Aufgabe 5.4 (¨uberabz¨ahlbarer Produktraum). (3 Punkte) Sei (E,B) ein messbarer Raum undIeine ¨uberabz¨ahlbare Menge. F¨urJ ⊆Iseiπ_J:E^I →E^J die kanonische Projetkion. Wir betrachten die ¨uberabz¨ahlbare Produkt σ-Algebra B^⊗I = N

i∈IB auf E^I. (a) Zeigen Sie

B^⊗I = [

J⊆Iabz¨ahlbar

π⁻¹_J (B^⊗J).

Bemerkung: B^⊗I ist also ,,klein” im Sinne dass Ereignisse durch abz¨ahlbar viele Ko- ordinaten schon festgelegt sind.

(b) Zeigen Sie, dass das ¨uberabz¨ahlbare Produktmaß µ^⊗I auf (E^I,B^⊗I) existiert (also ein Maß ν mit ν π⁻¹_J (Q

j∈JAj)

= Q

j∈Jµ(Aj) f¨ur alle J ⊆ I endlich und Aj ∈ B f¨ur j ∈J).

Hinweis:Verwenden Sie die durch Ionescu-Tulcea garantierte Existenz des abz¨ahlbaren Produktmaßes.

Abgabe Mi, 09.05.2018 in der ¨Ubung