Wir nehmen ein Polynom vom Grad n. p n (x) = A 0 +A 1 (x-a)+a 2 (x-a) 2 +A 3 (x-a) 3 +A 4 (x-a) A n (x-a) n. und berechnen Ableitungen:

Taylorreihenentwicklung:

Idee: Wir wollen eine Funktion f(x) in einer Umgebung einer bestimmten Stelle a durch eine Polynomfunktion p(x) möglichst gut approximieren.

Dazu sollen an der Stelle a der Funktionswert und alle nicht verschwindenden Ableitungen des Polynoms übereinstimmen mit dem Funktionswert bzw. den Ableitungen von f.

Wir nehmen ein Polynom vom Grad n

p_n(x) = A₀+A₁(x-a)+A₂(x-a)²+A₃(x-a)³+A₄(x-a)⁴+. . .+A_n(x-a)ⁿ und berechnen Ableitungen:

p⁰_n(x) = A₁+2A₂(x-a)+ 3A₃(x-a)²+4A₄(x-a)³+. . .+nA_n(x-a)ⁿ⁻¹

p⁰⁰_n(x) = 2A₂+ 3 · 2A₃(x-a)+4 · 3A₄(x-a)²+. . .+n · (n − 1)A_n(x-a)ⁿ⁻² p⁰⁰⁰_n (x) = 3 · 2A₃+4 · 3 · 2A₄(x-a)+. . .+n · (n-1) · (n-2)A_n(x-a)ⁿ⁻³

p^(IV_n ⁾(x) = 4 · 3 · 2A₄ +. . .+n · (n-1) · (n-2) · (n-3)A_n(x-a)ⁿ⁻⁴

Für den Funktionswert bzw. die Ableitungen an der Stelle a erhalten wir:

p_n(a) = A₀ p⁰_n(a) = A₁ p⁰⁰_n(a) = 2A₂ p⁰⁰⁰_n(a) = 3 · 2A₃ p^(IV_n ⁾(a) = 4 · 3 · 2A₄

... ... ...

allg.: p^(k)_n (a) = k!A_k p⁽ⁿ⁾_n (a) = n!A_n p⁽ⁿ⁺¹⁾_n (a) = 0

p^(n+j)_n (a) = 0 für j = 1,2, . . .

Wenn wir nun eine beliebige Funktion f an der Stelle a durch das Polynom p_n(x) approximieren wollen, so gilt für die Koeffizienten A₀, A₁, A₂, . . .:

p(a) =f(a) ⇒ A₀ =f(a) p⁰(a) =f⁰(a) ⇒ A₁ =f⁰(a)

p⁰⁰(a) =f⁰⁰(a) ⇒ 2A₂ =f⁰⁰(a) ⇒ A₂ = ¹₂f⁰⁰(a) p⁰⁰⁰(a) =f⁰⁰⁰(a) ⇒ 3 · 2A₃ =f(a) ⇒ A₃ = _3·2¹ f⁰⁰⁰(a) p^(IV)(a) =f^(IV)(a) ⇒ 4 · 3 · 2A₄ =f(a) ⇒ A₄ = _4·3·2¹ f^(IV)(a) Allgemein:

p(a)^(k) =f^(k)(a) ⇒ k!A_k =f^(k)(a) ⇒ A_k = _k!¹f^(k)(a) Damit erhalten wir:

f(x) ≈ p_n(x) = A₀+A₁(x-a)+A₂(x-a)²+A₃(a)(x-a)³+. . . + A_n(x-a)ⁿ bzw.

f(x) ≈ f(a)+f⁰(a)(x-a)+ 1

2!f⁰⁰(a)(x-a)²+ 1

3!f⁰⁰⁰(a)(x-a)³+. . .+ 1

n!f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ

Kurz:

f(x) ≈

n

X

k=0

1

k!f^(k)(a)(x − a)^k

Die Approximation wird umso besser, je größer der Grad des Polynoms ist. und je näher der Wert x an der Stelle a liegt.

Beispiel: Approximiere die Funktion f(x) = √³

x

an der Stelle a = 1 durch eine Polynomfunktion 3. Grades und berechne damit einen Nährungswert für √³

1, 5.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1 0 1 2

-2 -1 0 1

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1 0 1 2

-2 -1 0 1

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1 0 1 2

-2 -1 0 1

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1 0 1 2

-2 -1 0 1

Für den exakten Wert von f an einer Stelle x muss man das sogenannte Restglied betrachten:

f(x) ≈

n

X

k=0

1

k!f^(k)(x − a)^k . . .Approximation f(x) =

n

X

k=0

1

k!f^(k)(x − a)^k + R_n+1(x) . . .Exakt Das Restglied nach Lagrange hat den Term

R_n+1(x) = 1

(n + 1)!f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x − a)ⁿ⁺¹ mit c ∈ [a; x]

Damit bekommen wir f(x) =

n

X

k=0

1

k!f^(k)(x − a)^k + 1

(n + 1)!f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x − a)ⁿ⁺¹

Mit dem Restglied können wir abschätzen, wie groß der Fehler bei der Approximation ist. Wir suchen den größtmöglichen Wert für den Betrag des Restglieds. Dieser Wert ist zugleich der größtmögliche Fehler unserer Approximation.

Beispiele:

1. Berechne die Taylorreihenentwicklung für f(x) = e^x

mit dem Entwicklungspunkt a = 0.

2. Berechne die Taylorreihenentwicklung für f(x) = ln(x + 1)

mit dem Entwicklungspunkt a = 0.

3. Berechne einen Näherungswert für √

18 mit einem Taylorpolynom 2. Grades.

Wähle einen günstigen Entwicklungspunkt und gib eine Abschätzung für den Fehler an!

Gliederabschätzung:

In einer Umgebung von a U(a, ε) = ]a − ε;a + ε[

gilt für alle x ∈ U(a;ε):

1

k!f^(k)(a)(x − a)^k

>

∞

X

j=k+1

1

j!f^(j)(a)(x − a)^j

Das heißt: In unmittelbarer Nähe von a ist der Summand mit dem kleinsten Expo- nenten dominant im Vergleich zu allen folgenden Summanden.

Verwendung der Taylorreihenentwicklung zur Klassifizierung von kritischen Punkten:

Wenn an der Stelle a ein kritischer Punkt liegt, dann gilt: f⁰(a) = 0 Das Taylorpolynom mit Entwicklungspunkt a hat dann die Form

f(x) = f(a) + 1

2!f⁰⁰(a)(x-a)² + 1

3!f⁰⁰⁰(a)(x-a)³ + 1

4!f⁽⁴⁾(a)(x-a)⁴ + . . .

Ist etwa f⁰(a) = 0 und f⁰⁰(a) > 0, dann gilt in einer Umgebung U(a, ε), also in der Nähe von a:

f(x) ≈ f(a) + 1

2!f⁰⁰(a)(x-a)² > f(a) für x ∈ ]a − ε; a + ε[

Die Funktionswerte in unmittelbarer Nähe von a sind größer als der Funktionswert an der Stelle a. Damit hat f an der Stelle a einen Minimizer.

Verwendung der Taylorreihenentwicklung zur Klassifizierung von kritischen Punkten:

Hat eine Funktion f an der Stelle a einen kritischen Punkt, d.h.: f⁰(a) = 0, dann ist für die Klassifizierung des kritischen Punktes das erste nichtverschwindende Glied _k!¹f^(k)(a)(x-a)^k mit k ≥ 2 in der Taylorreihenentwicklung an der Stelle a entscheidend für die Art des kritischen Punktes.

f(x) = f(a) + 1

k!f^(k)(a)(x-a)^k + 1

(k + 1)!f^(k+1)(a)(x-a)^k+1 + . . .

f(x) ≈ f(a) + 1

k!f^(k)(a)(x-a)^k

Fall 1: k ist ungerade

Fall 2: k ist gerade und f^(k)(a) > 0 Fall 3: k ist gerade und f^(k)(a) < 0

Ein Beispiel:

f(x) = −1

2(x² − 9)⁴ + 10 Suche kritische Punkte:

f⁰(x) = −4x(x² − 9)³

f⁰(x) = 0 ⇒ x₁ = 0, x₂ = 3, x₃ = −3

Um Taylorreihenentwicklungen anzugeben brauchen wir höhere Ableitungen:

f⁰⁰(x) = −24x²(x² − 9)² − 4(x² − 9)³ f⁰⁰⁰(x) = −96x³(x² − 9) − 72x(x² − 9)²

f⁽⁴⁾(x) = −192x⁴ − 576x²(x² − 9) − 72(x² − 9)²

Wir betrachten zunächst die Stelle x₁ = 0 : f(x) = f(0) + f⁰(0)x + 1

2!f⁰⁰(0)x² + 1

3!f⁰⁰⁰(0)x³ + . . . Es gilt: f(0) = −3270, 5, f⁰(0) = 0, f⁰⁰(0) = 2916

Damit erhalten wir in der Nähe der Stelle 0 bzw. für x ≈ 0:

f(x) ≈ −3270,5 + 1

2!2916x² ⇒ Min(0| − 3270,5) Nun betrachten wir die Stelle x₂ = 3:

f(x) = f(3) + f⁰(3)(x − 3) + 1

2!f⁰⁰(3)(x − 3)² + . . .

Es gilt: f(3) = 10, f⁰(3) = 0, f⁰⁰(3) = 0, f⁰⁰⁰(3) = 0, f⁽⁴⁾(3) = −15552 Damit erhalten wir in der Nähe der Stelle 3 bzw. für x ≈ 3:

f(x) ≈ 10 + 1

4!(−15552)(x − 3)⁴ ⇒ Max(3|10)

Krümmung:

Definition: Eine Kurve f heißt konvex gekrümmt auf einem Intervall ]b; c[, wenn die Kurve an jeder Stelle x₀ ∈]b; c[ oberhalb der Tangente liegt.

(Unterhalb für konkav)

Wir wissen: ist f⁰⁰(a) > 0, so ist f(x) in einer Umgebung von a konvex gekrümmt.

(f⁰⁰(a) < 0 für konkav)

Dieser Zusammenhang wird mit der Taylorreihenentwicklung augenscheinlich.

Für x ≈ a gilt:

f(x) ≈ f(a) + f⁰(a)(x − a)

| {z } Tangente a.d. Stelle a

+ 1

2!f⁰⁰(a)(x − a)²

Wendepunkte:

Wir wissen:

f⁰⁰(x₀) = 0 f⁰⁰⁰(x₀) 6= 0

)

⇒ W(x₀|f(x₀)) ist Wendepunkt von f

Es stellt sich natürlich die Frage, was im Falle von f⁰⁰⁰(x₀) = 0 los ist:

Sei f⁰⁰(a) = 0 und f^(k)(a) die erste nicht verschwindende Ableitung mit k ≥ 3, dann gilt für x ≈ a:

f(x) ≈ f(a) + f⁰(a)(x − a) + 1

k!f^(k)(a)(x − a)^k Fall 1: k ist ungerade

Fall 2: k ist gerade und f^(k)(a) > 0 Fall 3: k ist gerade und f^(k)(a) < 0

Beispiel:

Für die Funktion f(x) = 1

2x² − sin(x + 2) − e^x+2 gilt: f⁰⁰(−2) = 0

Finde heraus, ob die Funktion f an der Stelle x = −2 einen Wendepunkt hat!