Dr.-Ing. Heinrich Ehlebracht Hannelore Gelhaüs
Dr.-Ing. Rolf Gelhaus
Kleine Ingenieurmathematik Teil 1
Werner -Verlag
Inhaltsverzeichnis
Teil 1 WIT, Band 29
1. Aussagenlogik 11 1.1. Grundbegriffe .' 11 1.2. Aufgaben 19 2. Mengen, Zahlenmengen 20 2.1. Grundbegriffe 20 2.2. Mengenoperationen 21 2.3. Aufgaben 23 3. Koordinatensysteme 25 3.1. Ebene Koordinaten 25 3.1.1. Rechtwinklige Koordinaten 25 3.1.2. Polarkoordinaten 26 3.1.3. Beziehungen zwischen rechtwinkligen Koordinaten
und Polarkoordinaten. . 28 3.1.4. Strecken und Flächen im rechtwinkligen Koordinaten-
system ' .•* . . 31 3.1.5. Koordinatentransformationen 35 3.2. Räumliche Koordinaten 38 3.2.1. Rechtwinklige Koordinaten (drei Längenmaße) . . . 38 3.2.2. Ebene Polarkoordinaten und Höhe 40 3.2.3. Räumliche Polarkoordinaten (zwei Winkel, eine Ent-
fernung) 41 3.3. Aufgaben . 43 4. Funktionen und ihre Graphen . . . v. 45 4.1. Begriffe und Definitionen 45 4.1.1. Relationen 45 4.1.2. Abbildungen 46 4.1.3. Funktionen : 48
4.2. Ganzrationale Funktionen (Polynome) 54 4.2.1. Die lineare Funktion 54 4.2.2. Die quadratische Parabel 62 4.2.3. Polynome höheren Grades ' . 65 4.2.4. Fundamentalsatz der Algebra 66 4.3. Gebrochenrationale Funktionen 68 4.3.1. Echt gebrochenrationale Funktionen 70 4.3.2. Unecht gebrochenrationale Funktionen 71 4.4. Einfache irrationale Funktionen 72 4.4.1. Quadratwurzel aus einem linearen Polynom . . . . 72 4.4.2. Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom . . 74 4.4.2.1. Der Kreis . 76 4.4.2.2. Die Ellipse 77 4.4.2.3. Die Hyperbel 79 4.4.3. Kegelschnitte 81 4.4.4. Beispiele weiterer einfacher irrationaler Funktionen . 82 4.5. Transzendente irrationale Funktionen 86 4.5.1. Exponentialfunktionen und logarithmische Funktionen 86 4.5.1.1. Exponentialfunktionen 86 4.5.1.2. Logarithmische Funktionen 87 4.5.2. Trigonometrische Funktionen und deren Umkehr-
funktionen 88 4.5.2.1. Trigonometrische Funktionen 88 4.5.2.2. Arcusfunktionen 92 4.5.3. Hyperbel-Funktionen und deren Umkehrfunktionen . 93 4.5.3.1. Hyperbelfunktionen 93 4.5.3.2. Areafunktionen 96 4.6. Überblick über Funktionenklassen 98 4.7. Nichtelementare Funktionen 99 4.8. Funktionen von Funktionen 102 4.9. Schnittaufgaben und Nullstellenbestimmung 104 4.9.1. Regula falsi 105 4.9.2. NEWTONsches Iterationsverfahren 106 4.9.3. Abdividieren von Nullstellen bei Polynomen . . . . 109 4.10. Interpolation 111 4.10.1. Interpolation durch gewöhnliche Polynome . . . . 111 4.10.2. Interpolation durch trigonometrische Polynome . . 114 4.11. Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlicher . . . 116 4.12. Aufgaben 117
5. Folgen, Grenzwerte 122 5.1. Folgen f* 122
5.1.1. Darstellungsformen von Folgen . . 122 5.1.2. Eigenschaften von Folgen 124 5.2. Grenzwert einer Folge 125 5.2.1. Definition des Grenzwertes 125 5.2.2. Sätze über Grenzwerte von Folgen 128 5.2.3. Rechnen mit Grenzwerten 129 5.2.4. Die EULE Rsche Zahle . . . 129 5.3. Aufgaben 130
6. Differentialrechnung 131 6.1. Stetigkeit 131 6.2. Der Differentialquotient als Grenzwert des Differenzen-
quotienten 134 6.3. Grundregeln der Differentiation 136 6.3.1. Differentiation einer konstanten Funktion 137 6.3.2. Differentiation der Funktion mit der Gleichung^ = x. 137 6.3.3. Differentiation einer Funktion mit konstantem Faktor 137 6.3.4. Differentiation der Summe mehrerer Funktionen . . 138 6.3.5. Differentiation des Produktes mehrerer Funktionen . 139 6.3.6. Differentiation des Quotienten zweier Funktionen . 141 6.3.7. Differentiation der Umkehrfunktion 142 6.3.8. Differentiation von Funktionen von Funktionen . . 142 6.3.9. Differentiation von Funktionen in impliziter Darstel-
lung der Funktionsgleichurig 144 6.4. Überblick über die Differentiation von Funktionen : . . . .145 6.4.1. Differentiation ganzrationaler Funktionen 145 6.4.2. Differentiation gebrochenrationaler Funktionen. . . 147 6.4.3. Differentiation einfacher irrationaler Funktionen . . 150 6.4.3.1. w-te Wurzel aus einem Polynom 150 6.4.3.2. Kegelschnitte 151
±5?
6.4.3.3. Funktionen der Gleichungsform y = ax n . 1 5 5 6.4.4. Differentiation transzendenter irrationaler Funktionen 157 6.4.4.1. Exponential-und Logarithmusfunktionen . . 157 6.4.4.2. Trigonometrische Funktionen und deren
Umkehrfunktionen 159 6.4.4.3. Hyperbelfunktionen und deren Umkehrfunk-
tionen 163 6.4.5. Differentiation von Funktionen von Funktionen . . 165 6.4.6. Differentiation nach Logarithmieren 166 6.5. Zusammenstellung der Differentiationsregeln 167 6.6. Mehrfache Differentiation 170
6.7. Differential und Differentialquotient 172 6.8. Untersuchung von Funktionsgraphen 173 6.8.1. Definitionen 173 6.8.2. Regeln zur Bestimmung von Maxima, Minima und
Wendepunkten 174 6.8.3. Diskussion von Funktionsgraphen 178 6.9. Besondere Anwendungen der Differentialrechnung . . . . 184 6.10. Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlicher . 195 6.11. Aufgaben 200 7. Lösungen 203 Sachverzeichnis 215 Literaturauswahl 219
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