Aufgabe 1: Koordinatentransformation 1

(1)

12. December 2012 1

Aufgabe 1: Koordinatentransformation 1

a. Gegeben sind , , und . Gesucht ist die Transformation von einem Weltpunkt in einen Kamerapunkt

. Mit gilt:

b.

Aufgabe 2: Koordinatentransformation 2

Gegeben sind die beiden Transformationen:

und

Transformation lokal in Welt: .

3. Übungsblatt zur Vorlesung CV-Integration (Lösung)

Wintersemester 2012/2013 Prof. Dr. Stefan Müller

AG Computergraphik

i_w j_w kw t_w p_w

p_c R_w^c =  i_w j_w kw

p_c = R_w^{c T}⋅(p_w–t_w) = R_w^{c T}⋅T(–t_w)⋅p_w p_w = R_w^c ⋅p_c+t_w = T t( )_w ⋅R_w^c ⋅p_c

M T⋅ ( )–t

x^T 0 y^T 0 z^T 0 0^T 1

 

 

 

1 0 0 0 1 0 –t 0 0 1 0 0 0 1

 

 

 

⋅

x^T –x^T⋅t y^T –y^T⋅t z^T –z^T⋅t 0^T 1

 

 

 

1 0 0 –x^T⋅t 0 1 0 –y^T⋅t 0 0 1 –z^T⋅t 0 0 0 1

 

 

 

x^T 0 y^T 0 z^T 0 0^T 1

 

 

 

⋅ T M( ⋅–t)⋅M

= = = =

S M⋅

s_x 0 0 0 s_y 0 0 0 s_z

 

 

  z₁^T

z₂^T z₃^T

 

 

 

⋅

s_x⋅z₁^T s_y⋅z₂^T s_z⋅z₃^T

 

 

 

M S⋅

≠  s₁ s₂ s₃ s_x 0 0 0 s_y 0 0 0 s_z

 

 

 

⋅  s_x⋅s₁ s_y⋅s₂ s_z⋅s₃

= = = =

T t( )⋅S

1 0 0 t_x 0 1 0 t_y 0 0 1 t_z 0 0 0 1

 

 

 

s_x 0 0 0 0 s_y 0 0 0 0 s_z 0 0 0 0 1

 

 

 

⋅

s_x 0 0 t_x 0 s_y 0 t_y 0 0 s_z t_z 0 0 0 1

 

 

 

= =

S T t⋅ ( )

≠

s_x 0 0 0 0 s_y 0 0 0 0 s_z0 0 0 0 1

 

 

  1 0 0 t_x

0 1 0 t_y 0 0 1 t_z 0 0 0 1

 

 

 

⋅

s_x 0 0 s_xt_x 0 s_y 0 s_yt_y 0 0 s_z s_zt_z 0 0 0 1

 

 

 

= =

R_w^l =  x_w^l y_w^l z_w^l  R_w^c =  x_w^c y_w^c z_w^c 

p_w = R_w^l ⋅p_l+t_w^l

M us

te rlö

su ng

(2)

12. December 2012 2

Transformation Welt in Kamera:

In Matrixnotation:

Aufgabe 3: Markertracking

Aus den Punkten A, B und C werden die normierten Achsen , und bestimmt. Der Punkt A bes- chreibt den Ortsvektor des Ursprungs des Weltkoordinatensystems (in Kamerakoordinaten). Die gesuchte Trans- formation erhalten wir durch:

Aufgabe 4: Rotation

Betrachten wir die Rotationsmatrix als Koordinatentransformation, so wird ein Punkt von einem Start-Koordina- tensystem in ein Ziel-Koordinatensystem transformiert mit:

wobei die Spalten der Matrix die s-Achsen (in z-Koordinaten) und die Zeilen die z-Achsen (in s-Koordinaten) definieren.

Aufgabe 5: Intrinsische Parameter

Bei Verwendung von gluPerspective und glViewport ergibt sich ausmultipliziert folgende Matrix, die in Anlehnung an die BV-Notation als K notiert wird. Diese würde die Kamerakoordinaten in die Pixelkoordinaten abbilden, wenn die Homogenisierung erst ganz am Ende erfolgen würde. (Tatsächlich erfolgt sie in OpenGL vor der Viewport-Trans- formation).

p_c = R_w^{c T}⋅(p_w–t_w^c) p_c = R_w^{c T}⋅T(–t_w^c)⋅T t( )_w^l ⋅R_w^l ⋅p_l

x_c z_c y_c = z_c×x_c t_c^w

p_c = T t( )_c^w ⋅R_c^w⋅p_w =  x_cy_cz_ct_c^w

p_s

p_z

α

cos –sinα 0 α

sin cosα 0

0 0 1

 

 

 

p_s

⋅ R_z^s⋅p_s R_s^zT⋅p_s

= = =

p_s α

x y

p_z

x^s y^s

x_s^z cosα α sin

– 

 

 

= y_s^z sinα

α

 cos 

 

 

=

α α

p_s

x_z^s cosα α

 sin 

 

 

α =

α

p_s

y_z^s –sinα α

 cos 

 

 

=

y^z

x^z

Projektion Linearkombination

(3)

12. December 2012 3

mit

Es gibt damit 3 intrinsische Parameter:

• Auflösung B und H des Bildes

• Der volle vertikale Öffnungswinkel der Kamera (in Grad!).

(Voraussetzung ist, dass das aspect ratio bei gluPerspective nicht willkürlich sondern durch festgelegt wurde.)

Aufgabe 6: Rendering-Pipeline

a. Als Beispiel verwenden wir das einfache Kameramodell (symmetrisches Frustum). Vereinfacht lautet die Render- ing-Pipeline dann:

Variante 1: Erst perspektivische Division, dann Viewport:

,

Variante 2: Perspektivische Division am Schluß:

b. Gegeben sind die Koordinaten eines Pixels in (diskreten) Bildschirmkoordinaten x, y und sein Tiefenwert z.

. Weiterhin sind die Matrizen zur Viewporttransformation , Projektion und die Viewmatrix bekannt.

Die Abbildung von Welt erreichen wir durch , wobei in der letzten Aufgabe gezeigt wurde, dass es egal ist, wo die perspektivische Division durchgeführt wird.

Die Weltkoordinate für einen Pixelpunkte berechnet sich daher mit der inversen Abbildung:

K

F H⋅ ---2 0 B

2--- – 0 F H⋅

---2 H ----2 –

0 0 1

 

 

 

= F θ

2--- cot

=

θ

B H⁄

p˜p

B --- 02 B

---2 0 H

----2 H ----2 0 0 1

 

 

 

H

---- FB⋅ 0 0

0 F 0

0 0 –1

 

 

 

i^T j^T k^T

 

 

 

p_w–t_w

( )

⋅ ⋅ ⋅

=

p_{m x}_, H F⋅

---B io(p_w–t_w) ko(p_w–t_w) ---

⋅ –

=

p_{m y}_, F jo(p_w–t_w) ko(p_w–t_w) ---

⋅ –

=

p_{p x}_, B ---2 H F⋅

---2 io(p_w–t_w) ko(p_w–t_w) ---

⋅ –

=

p_{m y}_, H ----2 H F⋅

---2 jo(p_w–t_w) ko(p_w–t_w) ---

⋅ –

=

p˜p

B 2--- 0 B

2--- 0 H

----2 H ----2 0 0 1

 

 

  H F⋅

--- iB ⋅ o(p_w–t_w) F j⋅ o(p_w–t_w)

ko(p_w–t_w)

 – 

 

 

⋅

H F⋅

--- i2 ⋅ o(p_w–t_w) B

--- k2 ⋅ o(p_w–t_w) –

H F⋅

--- j2 ⋅ o(p_w–t_w) H

---- k2 ⋅ o(p_w–t_w) –

ko(p_w–t_w)

 – 

 

 

= =

p_{p x}_, B ---2 H F⋅

---2 io(p_w–t_w) ko(p_w–t_w) ---

⋅ –

=

p_{m y}_, H ----2 H F⋅

---2 jo(p_w–t_w) ko(p_w–t_w) ---

⋅ –

=

p_p = (x y z 1, , , )^T M_Viewport P

V

p_p = M_Viewport⋅ ⋅ ⋅P V p_w

(4)

12. December 2012 4

mit anschließender Division durch die homogene Koordinate.

Anmerkung: die rekonstruierten Kamerakoordinaten orientieren sich an der schlechten Diskretisierung der Tiefen- werte im Tiefenpuffer. Wichtig ist auch, dass nicht die Inverse der ModelView-Matrix von OpenGL verwendet wird (sonst erhält man die lokalen Koordinaten), sondern nur die View-Matrix.

Aufgabe 7: Quaternionen

Und damit:

p_w = V^–¹⋅P^–¹⋅M_Viewport^–¹ ⋅p_p

c s n, ⋅

( )⋅(0 p, )⋅(c,–s⋅n) = s n p( o ),cp+s n( ×p)

(– )⋅(c,–s⋅n) =

sc n( op)

– +(cp+s n( ×p))osn,–s n( op)⋅(–sn)+c cp( +s n( ×p))+(cp+s n( ×p))×(–sn)

( ) =

sc n( op)

– +sc n( op)+s²(n×p)on,s²(nop)⋅n+c²p+sc n( ×p)+sc n( ×p)+s²n×(n×p)

( ) =

0 c, ²p+s²(n po )⋅n+2sc n( ×p)+s²n×(n×p)

( ) =

0,(1–s²)p+2sc n( ×p)+s²[(nop)⋅n+n×(n×p)]

( ) =

0 p, +2sc n( ×p)+s²[(n po )⋅n–p+n×(n×p)]

( ) =

0 p, +2sc n( ×p)+2s²n×(n×p)

( )

p' = p+2sc n( ×p)+2s²n×(n×p)

p+sinϕ⋅(n×p)+(1–cosϕ)⋅n×(n×p)

=

p+sinϕ⋅(n×p)+(1–cosϕ)⋅((pon)⋅n–p)

= p no

( )⋅n+cosϕ⋅(p–(pon)⋅n)+sinϕ⋅(n×p)

=